机械振动理论中的一些原理问答

1.请指出弹簧的串、并联组合方式的计算方法。

确定弹性元件的组合方式是串联还是并联的方法是什么？对两种组合方式分别加以说明。

答：n 个刚度为i k 的弹簧串联，等效刚度∑==n
i i
eq k k 11
1；n 个刚度为i k 的弹簧
并联的等效刚度为∑==n
i i eq k k 1
；并联弹簧的刚度较各组成弹簧“硬”，串联弹簧较
其任何一个组成弹“簧软”。

确定弹性元件是串联还是并联的方法：若弹性元件是共位移——端部位移相等，则为并联关系；若弹性元件是共力——受力相等，则为串联关系。

2.非粘性阻尼包括哪几种？它们的计算公式分别是什么？ 答:非粘性阻尼包括：
（1）库仑阻尼计算公式⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=.sgn -x mg F e μ，其中，sgn 为符号函数，这里
定义为)
()()(sgn t x t x x ∙
∙
∙
=
，须注意，当0)(x =∙
t 时，库仑阻尼力是不定的，它取决
于合外力的大小，而方向与之相反；
（2）流体阻尼计算公式：是当物体以较大速度在粘性较小的流体（如空气、
液体）中运动是，由流体介质所产生的阻尼，计算公式为⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∙∙x x F n sgn 2
γ；
（3）结构阻尼：由材料内部摩擦所产生的阻尼，计算公式为2
X E s α=∆ 3.单自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程是什么？其自然频率、振幅、初相角的计算公式分别是什么？
答：单自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程()0=+∙
∙t kx x m ； 自然频率：m
k f n n π
πω21
2==
； 振幅：2
02
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=n
v x X ω；
初相角：0
x v arcran
n ωϕ=。

4.对于单自由度无阻尼系统自由振动，确定自然频率的方法有哪几种？具体过程是什么？
答：单自由度无阻尼系统自由振动，确定自然频率的方法：
（1）静变形法：该方法不需要到处系统的运动微分方程，只需根据静变形的关系就可以确定出固有频率具体如下：mg k st =δ，又m
k
n =ω，将这两个式子联立即可求得st
n g
δω=
；
（2）能量法，该方法又可以分为三种思路来求自然频率。

A ：用能量法确定运动微分方程，然后根据运动微分方程来求自然频率。

无阻尼系统满足能量守恒定律，因此有常数==+E V T ，对该式进行求导可得
()0dt dE =+=V T dt
d
根据此式即可导出运动微分方程，其中T 为质的动能，V 为弹簧的势能。

B ：用能量法直接确定固有频率：其原理是依据系统在任意时刻的能量和（势能，动能和）相等，因此取两个特殊时刻静平衡位置（动能达到最大值max T ）和最大位移处（势能达到最大max V ），可得max T =max V 该方法不用导出系统运动微分方程，因此对于复杂系统非常有效。

C ：用能量法计算弹簧的等效质量，该方法利用弹簧的分布质量对系统振动频率的影响加以估计，从而得出较准确的频率值。

3
'
m m k
n +=ω其中'm 为弹簧的质量。

5.对于单自由度有阻尼系统自由振动，其运动微分方程是什么？对无阻尼、小阻尼、过阻尼、临界阻尼的情况分别加以介绍。

对于小阻尼情况，其阻尼自然频率、振幅、初相角的计算公式是什么？
答：单自由度有阻尼系统自由振动，其运动微分方程是
()()()0=++∙
∙
∙t kx t x c t x m 或()()()022
=++∙
∙∙t x t x t x n n ωξω。

无阻尼： 0=ξ，此时运动微分方程的特征方程的特征根为虚数，此时系统运动微分方程的解为：()()ϕω-=n X t x cos 其中，X 、ϕ由初始条件确定此时特征根在复平面虚轴上，且处于原点对称的位置，此时，()t x 为等幅振动。

小阻尼：（10<<ξ），此时运动微分方程的解为：()()ϕωξω-=-t Xe t x d t n cos ， 其中n d ωξω21-=为有阻尼自然
()2
2
002
0d
n x v x X ωξω++
=，
系统的特征根为共轭复数，具有负实部，分别位于复平面左半面与实轴对称的位置上；
有阻尼系统的自由振动是一种减幅振动，其振幅按指数规律衰减，阻尼率ξ越大，振幅衰减的越快；
特征根的虚部的取值决定了自由振动的频率，阻尼系统的自然频率完全有系统本身的特性决定。

初始条件0x 与0v 只影响有阻尼自由振动的初始幅值与初相角。

过阻尼：（1>ξ）()t s t s e X e X t x 2121+=，式中，1X 、2X 为由初始条件确定的常数，特征根为负实数，位于复平面的实轴上这时系统不产生振动很快就趋近平衡位置。

临界阻尼（1=ξ），此时系统微分方程的解为：()()[]t x v x e t x n t n 000ωω++=- 临界阻尼mk c 20=，临界阻尼率0c c =ξ。

6.对数衰减率的定义是什么？如何运用对数衰减率计算阻尼率？ 答：对数衰减率2
21122ln ln ξ
πξωπ
ξωδ-=
=-=d
n
A A 。

其中1A 、2A 为间隔j
个周期T 的振动位移的两个峰值，利用测得的峰值按公式()()
jT t x t x j i i +=
ln
1
δ可以求得δ，然后利用公式2
24δπδ
ξ+=
，当阻尼率ξ很小时12<<δ，与4π相比
可以略去，故ξ的近似计算公式为π
δξ2=。

7.对于谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动，其振幅和相位差的计算公式是什么？放大系数的定义是什么？幅频特性的定义是什么？幅频特性曲线的特性有哪些？幅频特性的极大值点和极大值是什么？
答：谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动： 振幅()[]()
2
2221n
n
A
X ωξωωω+-=
，相位差：2
12arctan n n
ωωωωξϕ-=。

放大系数的定义：振幅X 与激励的幅值A 成比例，即()A H X ω=，()ωH 是无量纲的，()2
2
2
211⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
n n
H ωωξωωω ，()ωH 表示动态振动的振幅X
较静态位移A 放大的倍数，称为放大系数。

幅频特性：()ωH 与振幅X 之间仅差一个常数A ，因此，()ωH 描述了振幅与激励频率ω之间的函数关系，故又称()ωH 为系统的幅频特性。

幅频特性曲线的特性： (1)
当0=ω时，()ωH =1，表明所有曲线从()ωH =1开始。

当激励频率很低，即n ωω<<时，()ωH 接近于1，说明低频激励时的振动幅值接近于静态位移。

这时的动态效应很小，强迫振动这一动态过程可以近似地用静变形过程来描述，1<<n ωω的这一频率范围又被称为“准静态区”或“刚度区”。

在这一区域内，振动系统的特性主要是弹性元件的作用结果。

(2)
当激励频率ω很高1>>n ωω时，()ωH <1，且∞→n ω时，
()0→ωH ，说明在高频率激励下，由于惯性的影响，系统来不及对高频做出响应，因而振幅很小。

因此，称为“惯性区”，这一区域内，振动系统的特性主要是质量元件作用的结果。

(3)
在激励频率与固有频率相近的范围内，()ωH 曲线出现峰值，说明此
时动态效应很大，振动幅值高出静态位移许多倍，当阻尼率较大时，
()ωH 峰值较低，反之()ωH 的峰值较高。

因此，这一频率范围又被称为“阻尼区”这一区域内振动系统的特性主要是阻尼元件作用的结果，在此区域中，增大系统的阻尼对振动有很强的抑制效果。

(4)
共振不发生在n ω处，而是发生在略低于n ω处，()ωH 的峰值点随ξ的增大而向低频方向移动。

当阻尼系数ξ<0.707时，系统不会出现共振，且动态位移比静态位移小。

(5)
当ξ=0时，共振频率r ω等于自然频率n ω此时()∞=ωH 即振幅无穷大，这种情况下，共振振幅将随时间按线性关系增长。

复频特性的极大值点：221ξωω-=n r ，极大值：()2
121ξ
ξω-=
r H 。

8.品质因数、半功率点、半功率带宽的定义是什么？如何运用半功率带宽计算系统的阻尼率？
答：品质因数：ξ
ω21
≈
=n H Q ； 复频特性曲线中，在峰值两边，()ωH 等于2Q
的频率，1ω、2ω称为半功
率点，1ω与2ω之间的频率范围12ωω-称为半功率带宽。

运用半功率带宽计算系统的阻尼率：利用()ωH 等于2Q 构建等式，结合
半功率点，半功率带宽的性质，化简后可得 n
ωωωξ21
2-=。

通过激振实验得到()ωH 曲线，然后找出共振频率n r ωω=和半功率带宽()12ωω-带入上式即可求出阻尼率。

9.对于谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动，相频特性的特点是什么？Nyquist 图的特点是什么？
答：相频特性的特点：
（1）当ω=0时，()00=ϕ，即所有曲线从()00=ϕ开始。

当激励频率ω很低
时，n ω取值很小，()ωϕ接近于0，说明低频激励时振动位移()t x 与激励()t f 之间几乎是同相；
（2）当n ωω>>时()ωϕπ→，即()t x 与()t f 的相位相反； （3）当n ωω≈时，()2πωϕ≈，这正是“阻尼区的特点。

Nyquist 图的特点：
（1）()ωϕ的变化范围为π~0，所以单自由度系统的Nyquist 图位于复平面的下半平面；
（2）随着阻尼率ξ的增大，Nyquist 曲线的“环”变小；
（3）在共振区域附近，()ωH 取值很大，()ωϕ变化剧烈，故在Nyquist 图上，共振区域的描述更加清楚，而非共振区域则“缩”得很小，显然，这对于分析研究共振区域附近的特性是方便的。

10.对于谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动，库仑阻尼、流体阻尼、结构阻尼的等效阻尼系数的计算公式是什么？
答：谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动 库伦阻尼：X
mg
c eq πωμ4=
；流体阻尼：X c eq γωπ38=；结构阻尼：πωα=eq c 。

11.如何运用Fourier 级数分析法对周期激励下的强迫振动响应进行分析？其幅频响应、放大系数和相位差分别是什么？
答：运用Fourier 级数分析法对周期激励下的强迫振动响应进行分析的方法： 将周期激励分解为基波及其高次谐波的组合，再将对这些谐波的响应进行叠加这就是Fourier 级数分析法。

基本步骤：将周期激励函数()t f 展开为Fourier 级数，然后根据叠加原理对基波和高次谐波的响应进行叠加：
()()()()()
()
∑∑∑∑∑∞
=-∞
=-∞
=∞
=∞======1
1
01
01
1
0000p t p i p p t p i p p t
ip p p t
ip p p p p
p
e
X e
A p H e
A p H e
X t x t x ϕωϕωωωωω 复频响应：()()[]
n n n n
n p i p p i p p H ωωξωωωξωωω
ωω02
00
2
022
0211
2+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=
+-=
；
放大系数：()()
[]()
2
2
20
0211
n n p p p H ωω
ξωω
ω+-=
；
相位差：()()2
00012arctan n n
p p p p ωωωωξωϕ-=；式中，n ω是单自由度系统的自然频率。

12.如何运用脉冲响应函数法对非周期激励下的强迫振动响应进行分析？运用该方法，当系统还受到初始激励的作用时，单自由度系统的全部响应是什么？脉冲响应函数法与Fourier 变换法之间的关系是什么？
答：（1）运用脉冲响应函数法对非周期激励下的强迫振动响应进行分析： 基本思路是将激励()t f 分解为一系列强度为()τf τ∆的脉冲，先求得系统对每一脉冲单独激励的响应，再根据叠加原理对这一系列脉冲响应进行叠加。

从而得到系统对整个激励()t f 的响应()t x 。

（2）当系统还受到初始激励的作用时，单自由度系统的全部响应是：
()()()()()⎰
----+
--+
-=
t
d t d
d t d t d
t
e v e x d t e F m t x n n n 0
2
0sin cos 1sin 1
ωωϕωξττωτωξωξωτξω （3）两种方法的关系：
脉冲响应函数法与Fourier 变换法是解决同一问题（非周期激励下的强迫振动）的两种不同的方法，从物理意义上看，器根本不同在于对于非周期函数f （t ）进行分解的方式不同：Fourie 变换法是将f （t ）分解为一系列的谐波，而脉冲响应函数法则是将f （t ）分解为一系列脉冲，不过这两种方法的基础都是叠加原理。

从数学处理方法上看Fourier ，变换法是求得f （t ）的Fourier 变换()ωF ，再在频域中由复频响应函数()ωH 与()ωF 的成绩而求得响应的频谱函数()ωX ，
()()()ωωωH F X =，最后再求()ωX 的Fourier 逆变换而得到响应()t x 。

脉冲响应函数法则是直接在时间域中求激励函数f （t ）与系统的单位脉冲响应函数()t h 的卷积而得到()t x 。

13.冲击的定义是什么？冲击的特点是什么？系统对半正弦脉冲冲击的响应分为几个阶段？每个阶段响应的表达式是什么？每个阶段的响应的最大峰值是
什么？
答：系统受到瞬态激励，器位移、速度、加速度突然发生变化的现象，称为冲击。

冲击的特点是：冲击作用时，系统之间传递动能的时间远较系统振动的周期短。

系统对正弦脉冲冲击响应分为两个阶段：载荷作用阶段和载荷拆除后的自由振动阶段。

（1）载荷作用阶段的响应表达式为()π<<t 0：
()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--∙
=
-=⎰
t t k P d t t m P t x n n n t
n ωωωωωωττωωωsin sin 11sin sin 200
， 最大峰值为：
（2）载荷拆除后的响应表达式：
()()()
()πωωωπωωπ>+
=∙
t t x t x t x n n
n 其中sin cos ，
最大峰值：
[
]
ω
πωωωω
ω2cos
122
0max n
n n k P x =-=。

14.对于两自由度无阻尼系统的自由振动，频率方程是什么？两个自然频率是什么？在每个自然频率下的振幅比是什么？固有振型的定义是什么？自然模态的定义是什么？两个同步解的具体形式是什么？响应通解的表达式是什么？
答：两自由度无阻尼系统的自由振动频率方程：
()()024=-++-bc ad d a ωω，
两个自然频率即是频率方程的两个根1ω，2ω：
()()()bc ad d a d a --++=
42
121
222,1 ω。

在两自然频率下的振幅：不能完全确定振幅1u ，2u ，只能确定它们的比值
21u u ：
()()
2
1
2
111
121ωω-=-==
d c
b a u u r ，
()()
2
2
2
221
222ωω-=-==
d c
b a u u r ； 固有振型定义：当系统已频率1ω或2ω做同步简谐运动时，具有确定比值的一对常数()
11u 、()
12u 或()
21u 、()
22u 可以确定系统的振动形态，称之为固有振型，可用向量形式表示为：
()
{}
()
()()(){}
()
()()⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎬⎫
⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=22122212
1111211111r u u u u r u u u u ， 该式中(){}1u ，(){}
2u 称为系统的模态向量，每一个模态向量和相应的自然频率构成系统的一个自然模态。

两个同步解的具体形式为：
()
()()()1111111cos ϕω-=t C u t x ，
()
()()()11111112cos ϕω-=C r u t x ； ()
()()()2222121cos ϕω-=t C u t x ，
()
()()()22222122
cos ϕω-=t C r u t x 。

响应通解的表达式：
()()()
()()()⎭
⎬⎫
-+-=-+-=2222111122221111cos cos cos cos ϕωϕωϕωϕωt r C t r C t x t C t C t x 。

15.弹性耦合和惯性耦合的定义分别是什么？自然坐标的定义是什么？对于两自由度系统的振动，坐标变换矩阵的表达式是什么？
答：（1）弹性耦合定义：研究系统运动微分方程的矩阵形式，当其中的刚度矩阵是非对角矩阵，则称这种耦合方式为弹性耦合；
惯性耦合的定义：研究系统运动微分方程的矩阵形式，当其中的质量矩阵是非对角矩阵，则称这种耦合方式为惯性耦合。

（2）自然坐标的定义：是在对描述系统运动方程 的通解时提出的，引入自然坐标 则系统运动方程的通解可写作
（3）两自由度系统的振动，坐标变换矩阵的表达式是：[]⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=2111
r r u 16.什么叫拍击现象？对于双摆系统而言，运动微分方程的通解表达式是什么？拍频和拍的周期定义是什么？
答：（1）当两自由度系统的两个自然频率很接近是，将会出现振幅以一种很低的频率周期变化的现象，即所谓拍击现象。

（2）运动微分方程的通解：
当02010θθθ==，02010==∙
∙
θθ时，t 101cos ωθθ=，t 102cos ωθθ= 当010θθ=，020θθ-=，02010==∙
∙
θθ时，t 201cos ωθθ=，t 202cos ωθθ= 当010θθ=，0201020===∙∙
θθθ时，
（3）拍频的定义：22
12gL
a m k ≈-=∆ωωω，拍的周期：ωπ∆=2T 。

17.对于两自由度系统在谐波激励下的强迫振动，系统响应幅值的表达式是什么？对于无阻尼系统而言，系统响应幅值的表达式是什么？
答：（1）两自由度系统在谐波激励下的强迫振动系统响应幅值表达式： 其中：
()()21122111c c i m k k z ++-+=ωωω，
()()221221c i k z z ωωω--==，
()()32222322c c i m k k z ++-+=ωωω。

（2）无阻尼时系统响应的幅值表达式： 其中：
121m k k a +=
，12m k b =，22m k
c =，2
23m k k d += 18.广义坐标的概念是什么？对于多自由度系统而言，刚度系数、阻尼系数、质量系数的定义是什么？弹簧-质量-阻尼系统的规律是什么？
答：（1）振动理论中，把能够完备的描述系统运动的一组独立参变量成为系统的广义坐标（“完备”是指能完全确定系统在任一时刻的位置或形状；“独立”
是指各个坐标都能在一定范围内任意取值期间不存在函数关系）。

（2）刚度系数
ij k ： 只在坐标
j q 上产生单位位移（其他坐标上的位移为零）而在j q 上需要加的力；()
1
,,2,10=≠===j r q j r n r q i ij Q k 阻尼系数
ij c ： 只在坐标
j q 上有单位速度（其他坐标上的速度为零）时在坐标j q 上所需施加的力；()1
,,2,10=≠===j r q j r n r q i ij Q c
质量系数
ij m ： 只在坐标j q 上有单位加速度（而其他坐标上的加速度为零）时在坐标
j q 上所需施加的力。

()1
,,2,10=≠===j r q j r n r q i ij Q m
（3）弹簧-质量-阻尼系统的规律：
A ．刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的对角元素ii k （或ii c ）为联结在质量i m 上的所有弹簧刚度（或阻尼系数）的和；
B ．刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的非对角元素ij k （或ij c ）为直接联结在质量i m 与j m 之间的弹簧刚度（或阻尼系数），取负值；
C ．一般而言，刚度矩阵和阻尼矩阵都是对称矩阵；
D ．如果将系统质心作为坐标原点，则质量矩阵是对角矩阵，但一般情况下质量矩阵并不一定是对角的。

19.对于n 自由度无阻尼系统的自由振动，运动微分方程是什么？频率方程是什么？系统自由振动响应的通解是什么？
答：（1）n 自由度无阻尼系统的自由振动运动微分方程：
频率方程：()022=-=∆ij ij m k ωω
系统自由振动相应的通解：
20.对于n 自由度有阻尼系统的自由振动，运动微分方程是什么？对该方程解耦的方法是什么？具体分析说明。

答：（1）对于n 自由度有阻尼系统的自由振动运动微分方程：
（2）解耦方法：
采用自然坐标，并在两端左乘[]T
u ，（1）中的运动微分方程变为： [][][]()[][][]()[][][]()(){}{}0=+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∙∙∙t u k u t u c u t u m u T T T
ηηη， 然后利用
(){}[](){}0=r
T r u m u ()s r n s r ≠=;,,2,1, ， 和()
{}[](){}0=r
T r u k u ()s r n s r ≠=;,,2,1, 带入上式，得： ()[]()(){}{}0002=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∙∙∙t t C t r ηωηη ，可以看出质量矩阵与刚度矩阵均已对角化，但阻尼矩阵：[][][][]u c u C T
=一般不对角，需要对角化。

可以利用一些近似的方法将[]C 矩阵对角化。

A ． 如果在原来坐标中的阻尼矩阵[]c 可以近似地表示为质量矩阵与刚
度矩阵的线性组合，即[][][]k m c βα+=，其中αβ是大于或等于零的常数，在这种特殊情况下，坐标转换到自然坐标后，对应的阻尼矩阵[]C 也将是个对角矩阵。

B ． 工程中的大多数机械振动系统中，阻尼都是非常小的，在这种情况
下，虽然[]C 不是对角的仍可以用一个对角矩阵形式的阻尼矩阵近似代替[]C ，最简单的做法是将[]C 的非对角元素改为零。