电动力学总结 郭版

库仑定律F 3
04'r QQ πε=
r 电场强度E=304r Q
πεr 电场强度磁通量的高斯定理⎰s
E d s=0εQ 静电场的散度 ∆·E=
ερ
旋度 ∆×E=0 恒定电流时有∆·J =0 电荷守恒定律的微分形式（电流连续性方程）∆·J+t
∂∂ρ
=0 J 是电流密度 安培环路定律
⎰
L
Bdl =0μI
⎰
L
Bdl =0
μ⎰
s
J d s
恒定磁场的一个基本微分方程∆×B=0μJ 恒定磁场的散度∆·B=0 电场的散度只存在于电荷分布的区域，没电荷分布的空间中散度为0 磁场的旋度只存在于有电流分布的导线内部，而周围空间是无旋的 磁场对电场作用的基本规律∆×E=-t ∂∂B 位移电流J D =0εt
∂∂E 麦克斯韦方程组∆×E=-
t ∂∂B ∆×B=0μJ+0μ0εt
∂∂
E ∆·E=0ερ ∆·B=0
洛伦兹力公式F=q E+q v ×B 自由电荷密度f ρ 束缚电荷密度p ρ 电位移矢量D ：D=0εE+p ∆·D=f ρ 介质极化率e χ：p=e χ0εE 磁场强度H ：H=
1
μB-M ∆×H=J f +
t
∂∂
D 磁化率m χ：M=m χH 介质中的麦克斯韦方程组∆×E=-
t ∂∂B ∆×H=J+t
∂∂
D ∆·E=ρ ∆·B=0 介质中电磁性质方程D=ε
E B=μH J=σE
εμσ分别为电容、磁导、电导率
边值关系e n ×（E 2-E 1）=0 e n ×（H 2-H 1)=a e n ·（D 2-D 1)=σ e n ·(B 2-B 1)=0
能量守恒定律微分形式∆·S+t
∂∂
w=-f ·v 能流密度S=E ×H 能量密度变化率t ∂∂w=E t ∂∂D+H t ∂∂B w=2
1
(E ·D+H ·B )
真空中S=
1
μE ×B w=
2
1(0εE 2
+01μB 2)
静电势基本微分方程（泊松方程）∆2
ϕ=-
ερ边值关系21ρρ= σϕ
εϕε-=∂∂-∂∂n
n 1122
导体静电条件1内部不带静电荷，只能分布于表面，2导体内电场为0，3表面电场沿法线
方向，表面为等势面，整体电势相等。

导体表面边值条件ϕ=常量
σϕε
-=∂∂n 静电场总能量dv w v
⎰=ρϕ21
静电场唯一性定理设区域V 内给定自由电荷分布p （x ），在V 的边界S 上给定1）电势ϕs
或2）电势法线偏导
n
∂∂ϕ
s
，则V 内电场唯一确定。

有导体存在的唯一性定理设区域V 内有导体，给定电荷分布p ，给定导体上总电荷i Q 以及V 的边界S 上的 ϕ或
n
∂∂ϕ
值，V 内电场唯一确定 拉普拉斯方程∆
2
ϕ=0 两绝缘介质上的边值关系21ρρ= n
n ∂∂=∂∂2211
ϕ
εϕε 给出导体总电荷Q 导体面上边界条件为ϕ=常数（待定） Q ds n
=∂∂-⎰
ϕ
ε 格林公式ds n n dv v )()(2
2
∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰ψϕϕψ
ψϕϕψ
恒定电流磁场的基本方程∆×H=J ∆·B=0
磁场的失势A B=∆×A 物理意义：它沿任意闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任
一曲面的磁通量。

失势A 的微分方程∆×(∆×A)=μJ 取（∆·A=0）得（泊松方程）2
∆A=μJ 边值关系e n ·(⨯∆A 2-⨯∆1A )=0 e n ×（
2
1
μ⨯∆A 2-
1
1
μ⨯∆1A )=a
磁场总能量dv A A J J w e e )()(2
1→→→
→+•+=⎰
电流J 在外场 e A 中相互作用能量为dv A J w e v →→⋅=⎰
磁标势m ϕ: m H ϕ∆-=→
电磁场的基本方程组是麦氏方程组 自由空间中电磁场运动规律(0,0==→
J ρ)
电场E 的偏微分方程2
∆E-2200t ∂∂εμE=0 磁场B 的偏微分方程2
∆B-2200t
∂∂εμB=0
令c （波速）=0
01
εμ的波动方程 2
∆E 2221t c ∂∂-E=0 2
∆B 2221t c ∂∂-B=0
时谐波的麦氏方程组→→=⨯∆H iw E μ →→-=⨯∆E iw H ε 0=⋅∆→E 0=⋅∆→
H
一定频率下的麦氏方程组02
2
=+∆→→
E k E 0=⋅∆→E →→
⨯∆-=E w
i
B
平面电磁波:电磁波沿x 轴方向传播，其场强在与x 轴正交的平面上各点具有相同的值，及E 和B 仅与x ，t 有关，与y ，z 无关的电磁波。

平面电磁波：)
(00)cos(),(wt x k i e
E wt kx E t x E -⋅→
→
→→
→=-= μελ
π
==
2k μεω=→
k
旋度→
→
→
-⋅→
⨯=⨯∆=⨯∆→
→E k i E e
E wt x k i 0)
()( →→→
→
⨯=⨯=E e E k k B k μεμε
真空中
c B
E ==
→
→0
01
εμ特性：1）横波，E,B 都与传播方向垂直2）E,B 垂直，E,B 沿波矢
方向3）E,B 同向，振幅比为v
平面电磁波电场磁场能量相等2
2
1
B E w με== 能流密度→→
→
→→==⨯=k k e vw e E H E S 2μ
ε
时谐电磁波边值关系：0)(12=⨯→-→→E E e n →
→→→=-⨯α)(12H H e n 菲涅耳公式：E 垂直于入射面
)"sin()"sin('θθθθ+--=E E )
"sin("
sin cos 2"θθθθ+=E E E 平行于入射面
)"tan()"tan('θθθθ+-=E E )
"cos()"sin("
sin cos 2"θθθθθθ-+=E E 导体内部的麦氏方程组（→
→
==E J σρ,0）
全反射：反射波平均能流密度数值上和入射波平均能流密度相等，因此电磁波能量被全被反
射出去的现象。

趋肤效应：对于高频电磁波，电磁场以及和它相互作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内。

静电场 静磁场
0=⨯∆→E 0=⨯∆→
H
0)(ρρp f E +=•∆→
0μρm H =•∆→
→•∆-=P p ρ →
•∆-=M m 0μρ
→
→
→
+=P E D 0ε →
→
→
+=M H B 00μμ
ϕ∆-=→E m H ϕ∆-=→
02)(ερρϕp f +-=∆ 02μρϕm m -=∆
亥姆霍兹方程：022=+∆→
→
E k E
电多级矩：)1
611(41
)(2,0⋅⋅⋅+∂∂∂+∆•-=∑→→
R
x x D R p R Q x j i j i ij πεϕ。