宜兴市芳庄中学八年级数学上册第十三章《轴对称》经典测试(含答案)

一、选择题
1．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的一动点，则PA PB +的最小值是（ ）．
A ．6
B ．8
C ．10
D ．11B
解析：B
【分析】 根据题意，设EF 与AC 的交点为点P ，连接BP ，由垂直平分线的性质，则BP=CP ，得到PA PB PA PC AC +=+=，即可得到PA PB +的最小值．
【详解】
解：根据题意，设EF 与AC 的交点为点P ，连接BP ，如图：
∵EF 是BC 的垂直平分线，
∴BP=CP ，
∴8PA PB PA PC AC +=+==，
∴PA PB +的最小值为8；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是正确找出点P 的位置，使得PA PB +有最小值．
2．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ， OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动，若72BDE ︒∠=，则CDE ∠的度数是（ ）
A ．84︒
B ．82︒
C ．81︒
D ．78︒A
解析：A
【分析】 根据OC=CD=DE ，可得∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC ，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC=72°，即可求出∠ODC 的度数，进而求出∠CDE 的度数．
【详解】
解：∵OC=CD=DE ，
∴∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC ，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°，
∴∠ODC=24°，
∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=108°，
∴∠CDE=108°-∠ODC=84°．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
3．点1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，则()
2021a b +的值为（ ） A ．1-
B ．1
C ．0
D ．2021- A
解析：A
【分析】 关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a ，b 的值，进一步可得答案．
【详解】
解：∵1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，得
a-1=2017，1-b=2020．
解得a=2018，b=-2019，
∴()
()()202120212021=2018201911a b +-=-=- 故选：A ．
【点睛】
本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 4．如图，已知60AOB ∠=︒， 点P 在OA 边上，8OP cm =，点M 、N 在边OB 上，
PM PN =，若2MN cm =，则OM 为（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．1cm B
解析：B
【分析】 过P 作PC 垂直于MN ，由等腰三角形三线合一性质得到MC=CN ，求出MC 的长，在直角三角形OPC 中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC 的长，由OC-MC 求出OM 的长即可．
【详解】
解：过P 作PC ⊥MN ，
∵PM=PN ，
∴C 为MN 中点，即MC=NC=
12MN=1， 在Rt △OPC 中，∠AOB=60°，
∴∠OPC=30°，
∴OC= 12
OP=4， 则OM=OC-MC=4-1=3cm ，
故选：B ．
【点睛】
此题考查了含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
5．已知123n A A A A 、、中，1A 与2A 关于x 轴对称，2A 与3A 关于y 轴对称，3A 与4A 关于x 轴对称，4A 与5A 关于y 轴对称……，如果1A 在第二象限，那么100A 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限A
【分析】
根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，以及循环的规律就可以得到．
【详解】
解：A 1与A 2关于x 轴对称，A 2与A 3关于y 轴对称，A 3与A 4关于x 轴对称，A 4与A 5关于y 轴对称，
A 1与A 5是同一个点，
四次一循环，
100÷4=25，
A 100与A 4重合，
即第一象限，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
6．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；
④:2:5DAC ABC S S =△△
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4C
解析：C
【分析】 根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，由此判断①正确；
先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，判断②正确；
过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断③正确；
证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，得到S △ACD =S △AED ，根据等底同高得到S △AED =S △BED ，即可得到:1:3DAC ABC S S =，判断④错误．
解：由题意得：AD 是BAC ∠的平分线，故①正确；
∵90C ∠=︒，30B ∠=︒，
∴∠BAC=60︒，
∵AD 是BAC ∠的平分线，
∴∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，
∴60ADC ∠=︒，故②正确；
过点D 作DE ⊥AB 于E ，
∵∠BAD=30B ∠=︒，
∴AD=BD ，
∴△ABD 是等腰三角形，
∴AE=BE ，
∴点D 在AB 的中垂线上，故③正确；
∵AD 是BAC ∠的平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，
∴CD=DE ，∠C=∠AED=90︒，
又∵AD=AD ，
∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，
∴S △ACD =S △AED ，
∵AE=BE ，DE ⊥AB ，
∴S △AED =S △BED ，
∴:1:3DAC ABC S S =，故④错误；
故选：C ．
．
【点睛】
此题考查角平分线的作图方法及性质应用，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．
7．如图，在ABC ∆中，90,30C B ︒︒∠=∠= ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB AC 、于点M 和N ，再分别以M N 、为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP ，并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ︒∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上﹔④若2AD =，则点D 到AB 的距离是1，:1:2DAC ABC S S ∆∆=
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5B 解析：B
【分析】
先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用
∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．
【详解】
解：由作法得，AD 平分∠BAC ，所以①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAD=12
×60°=30°， ∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正确；
∵∠B=∠BAD ，
∴DA=DB ，
∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确；
在直角△ACD 中，∠CAD=30°，
∴CD=12
AD ， ∴BC=CD+BD=
12AD+AD=32AD ，1124DAC S AC CD AC AD ∆=⋅=⋅． ∴11332224
ABC S AC BC AC AD AC AD ∆=⋅=⋅=⋅， ∴13::1:344
DAC ABC S S AC AD AC AD ∆∆=
⋅⋅=，故④错误． 所以，正确的结论有3个
故选：B ．
【点睛】 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
8．已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则其周长为（ ）
A ．12
B ．9
C ．10
D ．12或9A
解析：A
【分析】 由等腰三角形有一边长为5，一边长为2，可分两种情况：①5为腰长，2为底边长；②2为腰长，5为底边长，依次分析即可求得答案．
【详解】
解：①若5为腰长，2为底边长，
∵5，5，2能组成三角形，
此时周长为：5+5+2=12；
②若2为腰长，5为底边长，
∵2+2=4<5，不能组成三角形，故舍去；
∴三角形周长为12．
故选：A ．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系，解题的关键是注意分类讨论． 9．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD 平分∠BAC ；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④2ABD ACD S S ．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4D
解析：D
【分析】 先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；
利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；
利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断． 利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【详解】
解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，
∴∠BAC ＝60°，
由作法得AD 平分∠BAC ，所以①正确；
∴∠BAD ＝∠CAD ＝30°，
∴∠ADC ＝90°﹣∠CAD ＝60°，所以②正确；
∵∠B ＝∠BAD ，
∴DA ＝DB ，
∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD 中，∠CAD ＝30°，
∴CD ＝12AD ， ∴BC ＝CD+BD ＝
12AD+AD ＝32AD ，S △DAC ＝12AC•CD ＝14AC•AD ． ∴S △ABC ＝12AC•BC ＝12AC•32AD ＝34
AC•AD ， ∴S △DAC ：S △ABC ＝
14AC•AD ：34AC•AD ＝1：3， ∴S △DAC ：S △ABD ＝1：2．即S △ABD ＝2S △ACD ，故④正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
10．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；
③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个C
解析：C
【分析】 易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．
【详解】
解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形
∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，
∴∠DCE ＝60°，
在△ACE 和△DCB 中，
AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACE ≌△DCB （SAS ），
∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；
∠CBD ＝∠AEC ，
∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，
∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；
在△ACM 和△DCN 中，
60BDC EAC DC AC
ACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），
∴AM ＝DN ，④正确；
∠AMC ＝∠DNC ，②正确；
CM ＝CN ，
∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，
∴∠MCN ＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，
∴△CMN 是等边三角形，⑤正确；
故有①②④⑤正确．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE ≌△DCB 和△ACM ≌△DCN 是解题的关键．
二、填空题
11．平面直角坐标系xOy 中，先作出点P (2,3)-关于y 轴的对称点，再将该对称点先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P 1，称为完成一次图形变换，再将点P 1进行同样的图形变换得到点P 2，以此类推，则点P 2020的坐标为___________．【分析】按程序先作y 轴对称求出点坐标横坐标-2纵坐标-1完成一次图形变换求出P 变换后的坐标找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0偶次变换点的横坐标x=-2纵坐标变一次下移一个单位【详解】解：完成
解析：(2,2017)--
【分析】
按程序先作y 轴对称，求出点坐标，横坐标-2，纵坐标-1，完成一次图形变换求出P 变换后的坐标，找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．
【详解】
解：完成1次图形变换，点P (2,3)-关于y 轴的对称点（2，3），横坐标2-2=0，纵坐标3-1=2，P 1（0，2），
完成2次图形变换，点P 1 (0,2)关于y 轴的对称点（0，2），横坐标0-2=-2，纵坐标2-1=1，P 2（-2，1），
完成3次图形变换，点P 2（-2，1）关于y 轴的对称点（2，1），横坐标3-3=0，纵坐标1-1=0，P 3（0，0），
完成4次图形变换，点P 3（0，0）关于y 轴的对称点（0，0），横坐标0-2=-2，纵坐标0-1=-1，P 4（-2，-1），
……,
完成2020次图形变换，点P 2019（0，3-2019）关于y 轴的对称点（0，-2016），横坐标0-2=-2，纵坐标-2016-1=-2017，P 2020（-2，-2017）．
故答案为：（-2，-2017）．
【点睛】
本题考查图形规律探索问题，掌握图形程序变换的轴对称性质和平移特征，关键是找到变换规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．
12．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，
::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．
80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可
得∠DAC=∠C ∠BEA=∠B 再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x 再根据三角形外角的性质可得∠AED 【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上点 解析：80
【分析】
先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ，∠BEA=∠B ，再根据比例关系设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x ，再根据三角形外角的性质可得∠AED ．
【详解】
解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，
∴AD=CD ，AE=BE ，
∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，
∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，
∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，
∴,2C x B x ∠=∠=，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴322180x x x x x ++++=︒，
解得20x =︒，
∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，
故答案为：80．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．
13．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为10，则此等腰三角形的面积为_________．25
【分析】依据含30°角的直角三角形的性质即可得到该等腰三角形腰上的高再根据三角形面积计算公式进行计算即可【详解】解：如图所示AB=AC=10∠A ＝30°过B 作BD ⊥AC 于D ∵∠A ＝30°AB ＝1
解析：25
【分析】
依据含30°角的直角三角形的性质，即可得到该等腰三角形腰上的高，再根据三角形面积计算公式进行计算即可．
【详解】
解：如图所示，AB=AC=10，∠A ＝30°，过B 作BD ⊥AC 于D ，
∵∠A ＝30°，AB ＝10，
∴BD ＝12AB ＝5， ∴S △ABC ＝
12AC ×BD ＝12×10×5＝25， 故答案为：25．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，作出腰上的高并根据30°角求出高是解题关键．
14．如图，∠MON=30°，点123A A A 、、…在射线ON 上，点123B B B 、、…在射线OM 上，△112A B A 、△223A B A 、△334A B A …均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为1a ，第2个等边三角形的边长记为2a ，以此类推．若11OA ，则2021a =____．
【分析】根据等腰三角形的性质以及平
行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3以及A2B2=2B1A2得出
A3B3=4B1A2=4A4B4=8B1A2=8A5B5=16B1A2即：a1=1a2=2a3
解析：20202
【分析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及A 2B 2=2B 1A 2，得出A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2，即：a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，
，进而得出
答案．
【详解】
∵△A 1B 1A 2是等边三角形，
∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA 1=A 1B 1=1，
∴A 2B 1=1，
∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A 2B 2=2B 1A 2=2，A 3B 3=2B 2A 3，
∴A 3B 3=4B 1A 2=4，
A 4
B 4=8B 1A 2=8，
A 5
B 5=16B 1A 2=16，
即：a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，
， 以此类推：a n =2n-1．
∴2021a =20202，
故答案是：20202．
．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键．
15．给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可）
都是轴对称图
形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征【详解】解：答案不唯一例如：都是轴对称图形故答案为：都是轴对称图形【点睛】本题考查了轴对称图形解题的关键是正确把握轴对称图形的特征
解析：都是轴对称图形
【分析】
利用已知图形的特征分别得出其公共特征．
【详解】
解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形，
故答案为：都是轴对称图形．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征．
16．如图，DF 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ，若110BAC ∠=︒，则
DAE =∠__________°．
【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°再根据
线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得
∠B=∠BAD ∠C=∠CAE 则有∠BAD+∠CAE=70°进而求得∠DAE 的度数【详解】解：∵在△A
【分析】
先由已知求出∠B+∠C=70°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，则有∠BAD+∠CAE=70°，进而求得∠DAE的度数．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，
∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=70°，
∴∠ADE=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）=110°﹣70°=40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质是解答的关键．
17．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为
___________．25【分析】分腰长为10和腰长为5两种情况讨论不合题意的舍去据此即可求解【详解】解：当腰长为10时三边分别为10105构成三角形周长为10+10+5=25；当腰长为5时三边分别为5510∵5+5=1
解析：25
【分析】
分腰长为10和腰长为5两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解．
【详解】
解：当腰长为10时，三边分别为10、10、5，构成三角形，周长为10+10+5=25；
当腰长为5时，三边分别为5、5、10，∵5+5=10，无法构成三角形，不合题意．
故答案为：25
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知相关定理是解题关键．
18．如图，已知O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A＝50°，则∠BOC 的度数为_____度．
100【分析】连接AO延长交BC于D根据线段垂直平分线的性
质可得OB=OA=OC再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A即可求解【详解】解：连接AO延长交BC于D∵O为△A
【分析】
连接AO延长交BC于D，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC，再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A，即可求解．
【详解】
解：连接AO延长交BC于D，
∵O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴OB=OA=OC，
∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，
∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC，
∵∠BAC=50°，
∴∠BOC=100°．
故答案为：100．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握它们的性质和运用是解答的关键．
19．△ABC中，∠A=50°，当∠B=____________时，△ABC是等腰三角形．50°或80°或65°【分析】由已知条件根据题意分三种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角∠B＝∠A时③∠A是底角∠B＝∠A时利用三角形的内角和进行求解【详解】①∠A是顶角∠B＝（180°−∠A）÷
解析：50°或80°或65°
【分析】
由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角，∠B＝∠A 时，③∠A是底角，∠B＝∠A时，利用三角形的内角和进行求解．
【详解】
①∠A是顶角，∠B＝（180°−∠A）÷2＝65°；
②∠A是底角，∠B＝∠A＝50°．
③∠A是底角，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°−50°×2＝80°，
∴当∠B的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．
故答案为：50°或65°或80°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关
键．
20．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE ，如果∠A ＝44°，则∠EDF 的度数为__．
56°【分析】根据可求出根据△DBE ≌△ECF 利用三角形内角和
定理即可求出的度数【详解】解：∵AB ＝AC ∴∠ABC ＝∠ACB 在△DBE 和△CEF 中∴△DBE ≌△ECF （SAS ）∴DE ＝EF ∴△DEF
解析：56°
【分析】
根据44A ∠=︒可求出68ABC ACB ∠=∠=︒，根据△DBE ≌△ECF ，利用三角形内角和定理即可求出 EDF ∠的度数．
【详解】
解：∵AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠ACB ，
在△DBE 和△CEF 中
BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DBE ≌△ECF （SAS ），
∴DE ＝EF ，
∴△DEF 是等腰三角形，
∵△DBE ≌△ECF ，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴()118044682
B ∠=︒-︒=︒， ∴1218068∠+∠=︒-︒，
∴3218068∠+∠=︒-︒，
∴∠DEF ＝68°， ∴18068562EDF ︒-︒∠=
=︒． 故答案为：56°．
【点睛】 此题主要考查全等三角形的判定与性质的理解和掌握，主要应用了三角形内角和定理和平角是180︒，根据等腰三角形的性质得出B C ∠=∠是解题的关键．
三、解答题
21．如图1，点A 是射线OE ：y x =-（x≥0）上的一点，已知232OA =，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OE 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．
（1）求点A 的坐标；
（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．
（3）①若射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
②在①的条件下，在平面内另有三点1(8,8)P -、2P （4，32-）、
3(84
84)P +-，，请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）
解析：（1）(4,4)A -；（2）见解析；（3）①存在，P （8，-4）；②满足全等的点有P 1、P 2、P 3，见解析．
【分析】
（1）根据题意，设(,)A a a -，在Rt △AOB 中，利用勾股定理，解得a 的值，即可解得点A 的坐标；
（2）过点C 作CM ⊥x 轴于M ，由平行线的性质得到∠MBC=∠ABC ，结合角平分线上的点到角两边的距离相等可得CM= CH ，据此可证明CG ＝CH ；
（3）①先计算∠BDC 的度数，再根据角平分线及平行线性质可证明∠BOC=∠BCO ，由等角对等边可解得BO=BC=AB ，继而得到∠ACP=∠BDC ，接着证明△APB 为等腰直角三角形，解答AP 的长，据此解题；
②根据全等三角形的判定方法，分别证明1
()BCD PCA AAS ≅、2()BCD P CA AAS ≅、3()BCD P AC AAS ≅即可解题．
【详解】
（1）∵AB ⊥x 轴
∴∠ABO=90°
∵A 在y x =-上
∴设(,)A a a -
则AB=OB=a
即△ABO 为等腰直角三角形 在Rt △AOB 中
∵222AB OB OA +=
∴2232a a +=
∴a=±4（负值舍去）
∴(44)A -，
（2）如图，过点C 作CM ⊥x 轴于M ∵BC//OE
∴∠MBC=∠BOA=45°，∠ABC=∠OAB=45° ∴∠MBC=∠ABC
∵CM ⊥x 轴，CG ⊥AB ∴CM= CG
∵OC 平分∠AOB ，CM ⊥x 轴 CH ⊥OE ∴CM= CH
∴CG ＝CH
（3）①存在点P
易证∠BDC=∠BOD+∠OBD=22.5°+90°=112.5° ∵OC 平分∠AOB ，BC ∥OE ∴∠BOC=∠COA ，∠BCO=∠COA ∴∠BOC=∠BCO
∴BO=BC=AB
又∠ABC =45°
∴∠BAC=∠BCA=67.5° ∴∠ACP=112.5°
∴∠ACP=∠BDC
又∠BAC=∠CDA=67.5°
∴CA=CD
∴当CP=BD 时，△ACP ≌△CDB ∴∠APC=∠DBC=45°
∴△APB 为等腰直角三角形 ∴AP=AB=OB=4
∴P （8，-4）
②如图，满足全等的点有P 1、P 2、P 3理由如下， 1(8,8)P -
∴点1P 在射线(0)OE x x =-≥：y 上，
84<
1P ∴在线段OA 上， 连接1CP
,45CG AB CBG ⊥∠=︒
BCG ∴是等腰直角三角形， CG BG ∴=
(4,4)A -
4OB ∴=
BC OB =
222216BC BG CG OB ∴=+==
4BG CG BC ∴===
(4C ∴+-
144CP ∴=+= 11,//CP BC CP x ∴=轴 145CP A BOA CBD ∴∠=∠=∠=︒ 1
90,PGA ∠=︒ 145P AG ∴∠=︒
1167.545112.5CAP CAG P AG ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒ 在BCD △与1PCA 中 111BDC P AC CP A CBD BC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
1
()BCD PCA AAS ∴≅ 2P 的横坐标为4，点(4,4)4A OB -=， 2P ∴在BA 的延长线上， 连接22,AP CP
67.5BAC ∠=︒
2180112.5CAP BAC ∴∠=︒-∠=︒ 2CAP BDC ∴∠=∠ 2P
的纵坐标为
2BP ∴==2BG =
22GP BP BG ∴=-=
CG ∴=2GP CG ∴=
CG AB ⊥
245AP C ∴∠=︒
2AP C ABC ∴∠=∠
在BCD △与2P CA 中，
22BDC P AC ABC AP C CD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
2()BCD P CA AAS ∴≅
3P
，点C
的横坐标为4，
3CP ∴所在的直线垂直于x 轴，
AB x ⊥轴
3//CP AB ∴
连接33CP AP 、，过点A 作3AQ CP ⊥交3P C 的延长线于点Q ，
3//CP AB
3180BAC ACP ∴∠+∠=︒
3180112.5ACP BAC ∴∠=︒-∠=︒
3ACP BDC ∴∠=∠
(4,4)A -
3
444(4)AQ PQ ∴=-==--=3
AQ PQ ∴= 3
AQ PQ ⊥ 3
45APQ ∴∠=︒ 3
APQ ABC ∴∠=∠ 在BCD △与3P AC 中
33BDC PCA APC ABC CD AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
3()BCD P AC AAS ∴≅
故答案为：123P P P 、、 ．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
22．如图，在△ABC 中，AB 边的中垂线PQ 与△ABC 的外角平分线交于点P ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．
（1）求证：BD =AE ；
（2）若BC =6，AC =4．求CE 的长度．
解析：（1）见解析；（2）CE =1
【分析】
（1）连接PA 、PB ，根据角平分线的性质得到PD=PE ，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB ，证明Rt △AEP ≌Rt △BDP ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ；
（2）结合图形计算得到答案．
【详解】
（1）连接PA 、PB ，
∵CP 是∠BCE 的平分线，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，
∴PD =PE ，
在Rt △CDP 和Rt △CEP 中，
PD PE PC PC =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △CDP ≌Rt △CEP （HL ）
∴CD =CE ，
∵PQ 是线段AB 的垂直平分线，
∴PA =PB ，
在Rt △AEP 和Rt △BDP 中，
PE PD PA PB =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △AEP ≌Rt △BDP （HL ），
∴AE =BD ；
（2）AC +CE +CD =BD +CD =BC =6， ∴1(64)12
CE CD ==
⨯-=． 【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．如图，点E 在ABC 的边AB 上，90ABC EAD ∠=∠=︒，
30BAC ADE ∠=∠=︒，DE 的延长线交AC 于点G ，交BC 延长线于点F ．AB=AD ，BH ⊥DF ，垂足为H ．
（1）求HAE ∠的度数；
（2）求证：DH
FB FH =+． 解析：（1）=15∠HAE ；（2）见解析
【分析】
（1）连接BG ，先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ，再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ，从而得出=∠∠HAE HAG ，继而得出HAE ∠的度数；
（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ，根据垂直平分线的性质得出BF=BM ，再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ，从而得出结论
【详解】
解：（1）连接BG
∵90EAD ∠=︒，30BAC ∠=︒，
∴∠DAG=120°，
∵30ADE ∠=︒，
∴30∠=∠=︒ADE AGD ，
∴AG=AD ，
∵AB=AD ，
∴AG=AB ，
∵30BAC ∠=︒，
∴75∠=∠=︒AGB ABG ，
∵BH ⊥DF ，90EAD ∠=︒，
∴=90∠∠=︒BHE EAD ，
∵=∠∠BEH AED ，
∴30∠=∠=︒ADE EBH ，
∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ，
∵90FHB ∠=︒，
∴∠=∠HBG HGB ，
∴GH=BH ，
∵AG=AB ，AH=AH ，
∴△AGH ≌△ABH ，
∴=∠∠HAE HAG ，
∵30BAC ∠=︒，
∴=15∠HAE ；
（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ；
∵90ABC EAD ∠=∠=︒，
∴AD//BF ，
∴30∠=∠=︒F ADE ，
∵BH ⊥DF ，HM=HF ，
∴BF=BM
∴30∠=∠=︒F BMF
∵AB=AD ，90EAD ∠=︒
∴45ADB ∠=︒，
∵30ADE ∠=︒
∴15∠=︒MDB ，
∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ，
∴==15∠∠MBD MDB ，
∴BM=DM=BF ，
∵DH=DM+HM ，
∴DH=FH+BF
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 24．如图，在ABC 中，60A ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ，连接DE ．
（1）若7AC BC ==，求DE 的长；
（2）求证：BE CD BC +=．
解析：（1） 3.5DE =；（2）见解析．
【分析】
（1）证明△ADE 为等边三角形，即可得结论；
（2）在BC 上截取BH=BE ，证明两对三角形全等：△EBF ≌△HBF ，△CDF ≌△CHF ，可得结论．
【详解】
（1）∵AC=BC=7，∠A=60°，
∴△ABC 为等边三角形，
∴AC=AB=7，
又∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，
∴D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴11=3.5,=3.522
=
=AD AC AE AB ， ∴AD=AE ，
∵∠A=60°，
∴△ADE 为等边三角形，
∴DE=AE=3.5；
（2）证明：在BC 上截取BH=BE ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠CBD ，
∵BF=BF
∴△EBF ≌△HBF （SAS ），
∴∠EFB=∠HFB=60°．
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，
∴∠ABD=∠CBD ，∠ACE=∠BCE ，
∴∠CBD+∠BCE=60°，
∴∠BFE=60°，
∴∠CFB=120°，
∴∠CFH=60°，
∵∠BFE=∠CFD=60°，
∴∠CFH=∠CFD=60°，
∵CF=CF ，
∴△CDF ≌△CHF （ASA ）．
∴CD=CH ，
∵CH+BH=BC ，
∴BE+CD=BC ．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．已知，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，连接,AC BD ，判断,AC BD 的位置关系，并加以证明．
解析：AC BD ⊥，见解析
【分析】
根据垂直平分线的判定证明即可．
【详解】
解：AC BD ⊥；
证明：∵AB AD =，
∴点A 在BD 的垂直平分线上，
∵CB CD =，
∴点C 在BD 的垂直平分线上，
∴AC 垂直平分BD ，
即AC BD ⊥．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，根据与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上和两点确定一条直线证明是解题关键．
26．如图，等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 在线段AD 上，45EBC ∠=︒，求ACE ∠的度数．
解析：15°
【分析】
根据等边三角形的性质可得∠ACB 的度数，并证得 AD 是BC 的垂直平分线，利用线段垂直平分线性质定理可得BE=CE ，再由等腰三角形的性质可求得∠ECB 的度数，即可求得结论．
【详解】
解：∵△ABC 是等边三角形，AD BC ⊥ ，
∴60ACB ∠=︒，BD CD =，
∴AD 是BC 的重直平分线，点E 在线段AD 上
∴BE CE =．
∵45EBC ∠=︒，
∴45ECB EBC ∠=∠=︒，
∴6045=15ACE ACB ECB ∠=∠-∠=︒-︒︒．
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，掌握相关的性质定理并能灵活应用所学知识是解题的关键．
27．在平面直角坐标系中，点(0,)A a ，点(,0)B b ，点(3,0)C -，且a 、b 满足269||0a a a b -++-=．
（1）点A 坐标为______，点B 坐标为______，ABC 是______三角形．
（2）如图，过点A 作射线l （射线l 与边BC 有交点），过点B 作BD l ⊥于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，过点E 作EF DC ⊥于点F 交y 轴于点G ．
①求证：BD AE =；
②求点G 的坐标．
（3）如图，点P 是x 轴正半轴上一动点，APO ∠的角平分线交y 轴于点Q ，点M 为线段OP 上一点，过点M 作//MN PQ 交y 轴于点N ；若45AMN ∠=︒，请探究线段AP 、AN 、PM 三者之间的数量关系，并证明你的结论．
解析：（1）(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①见解析；②点 (0,
3)G -；（3）AP AN PM =+，证明见解析．
【分析】
（1）根据偶次方与绝对值的非负性，解得a b 、的值，即可解得点A 、B 的坐标，继而根据等腰直角三角形的判定方法解题；
（2）①由等角的余角相等，解得BAD ACE =∠∠，结合（1）中结论，进而证明AEC BDA ≌△△(AAS)，即可解题；
②由AEC BDA ≌△△可证CAE ABD ∠=∠，继而得到GAE CBD ∠=∠，设CF 交y 轴于点H ，根据等角的余角相等，得到HGE OCH ∠=∠，继而证明
AGE BCD ≌△△(AAS)解得AG 、OG 的长即可解题；
（3）在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，分别解得
45AMO α∠=︒+，=45NAM α∠︒-，由角平分线的性质解得2APO α∠=，45HAM α∠=︒-，进而得到NAM HAM ∠=∠，即可证明AMN AMH ≌(SAS)，继而证明PMH PHM ∠=∠，PH PM =即可解题．
【详解】
（1）269||0a a a b -++-=
2(3)||0a a b ∴-+-=
3,3a b a ∴===
(0,3)A ∴，(3,0)B ，
(3,0)C -
,AO OB CO AO ∴==
90AOB AOC ∠=∠=︒
45ACO ABO ∴∠=∠=︒
90CAB ∴∠=︒
()AOC AOB SAS ∴≅
AC AB ∴=
ABC ∴为等腰直角三角形，
故答案为：(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角； （2）①BD l ⊥，CE l ⊥
90BDA AEC ∴∠=∠=︒
90,90BAD CAE CAE ACE ∠+∠=︒∠+∠=︒ BAD ACE ∴∠=∠
AC AB =
AEC BDA ∴≌(AAS)，
∴BD AE =．
②
AEC BDA ≌ CAE ABD ∴∠=∠
45CAO ABO ∠=∠=︒
GAE CBD ∴∠=∠，
设CF 交y 轴于点H
EF DC ⊥
90CFG ∴∠=︒
90FGH FHG ∴∠+∠=︒
90COH ∠=︒
90OCH CHO ∴∠+∠=︒∴
CHO FHG ∠=∠
HGE OCH ∴∠=∠
又∵AE BD =
∴AGE BCD ≌△△(AAS) ∴6AG BC ==
又∵3AO =，
∴3OG =
∴点(0,3)G -．
（3）AP AN PM =+．证明过程如下： 在AP 上截取AH AN =，连接MH ，
设NMO α∠=，
45AMN ∠=︒
45AMO α∴∠=︒+，
∴()904545NAM αα∠=︒-︒+=︒-， 又∵//MN PQ
∴QPO NMO α∠=∠=， ∵PQ 平分APO ∠
∴2APO α∠=
∴45245HAM ααα∠=︒+-=︒- ∴NAM HAM ∠=∠
又∵AN AH =，AM AM =
∴
AMN AMH ≌(SAS)
∴45AMH AMN ∠=∠=︒ ∴90PMH α∠=︒-， 又∵()454590PHM αα∠=︒+︒-=︒- ∴PMH PHM ∠=∠
∴PH PM =
∴AP AH PH AN PM =+=+．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、角平分线的性质、平行线的性质、
绝对值的非负性、偶次方的非负性等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，完成下列作图（不必写作法，保留作图痕迹,标出相应字母）；
（1）作出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；
（2）尺规作图：在x 轴上找出一个点P ，使点P 到,A B 两点的距离相等．
解析：（1）见解析，（2）见解析，
【分析】
（1）根据轴对称的性质，分别画出A 、B 、C 三点的对称点，顺次连接即可；
（2）作AB 的垂直平分线，交x 轴于点P ．
【详解】
解：（1）ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆如图所示；
（2）如图，作AB 的垂直平分线，交x 轴于点P ；。