中美高中数学教材比较研究——以指数、对数函数为例

[教育教学]
中美高中数学教材比较研究
以指数㊁对数函数为例
孙双双 文 萍①
(玉溪师范学院数学与信息技术学院,云南玉溪653100
)[关键词]高中数学教材;指数函数;对数函数
[摘 要]运用课程难度系数模型对中国和美国高中数学教材中指数㊁对数函数两个方面的内容进行比较研究,利用量化数据分析得出两种版本教材中的课程难度差异,同时对教材在概念引出㊁教材排版㊁呈现方式㊁课程难度㊁内容编排等方面进行分析,总结归纳出两国教材的异同点以及优缺点.
[作者简介]孙双双.研究方向:数学教育.[基金项目]云南省大学生创新创业训练计划项目 中美两国中学数学教材的比较研究”,项目编号:2016A 19.[中图分类号]G 633.6[文献标识码]A [文章编号]1009-9506(2018)08-0061-06
随着经济全球化发展,教育的国际化成为一种新的发展趋势,数学教育的国际交流与国际合作也变得越来越频繁,数学教材的国际比较也逐渐成为教育研究的热点问题.美国的数学教育历史悠久且水平较高,在国际数学教育中占有重要的地位,因此美国的数学教材值得深入研究学习.函数是高中数学课程中的重要内容,也是高中数学教材编排的一根主线,本文选取指数㊁对数函数作为中美教材的比较对象,从两种教材的编排方式㊁课程难度等方面进行比较,为我国高中教材改革和编写提供有益的借鉴.
1 研究的对象与方法
1.1 研究对象
本文主要对中美两国高中数学教材进行对比研究,中国教材选取人教版高中数学A 版教材(以下简
称人教版),具体章节为高中数学必修一第二章 2.1指数函数㊁2.2对数函数”;美国教材选取的是美国P r e n t i c eH a l l 出版的P r e n t i c eH a l lM a t h e m a t i c s 的中学数学教材(以下简称美国P H 版教材),该教材在美国具有代表性㊁权威性.具体比较内容为美国P H 版系列教材中的‘代数2(A l g
e b r a 2)“第8章(C h a p t e r 8) 指数函数与对数函数(E x p o n e n t i a l a n dL o g
a r i t h m i cF u n c t i o n )”.1
6玉溪师范学院学报(第34卷)2018年第8期 J o u r n a l o f Y u x i N o r m a l U n i v e r s i t y V o l .34N o .8A u g
.2018①通信作者:文 萍,讲师,研究方向:数学教育,代数学.
1.2 研究方法
本文主要采用史宁中教授的课程难度系数定量模型[1]对中美教材 指数㊁对数函数”部分的内容进行定性㊁定量分析,得出两种教材课程内容的课程难度系数.课程难度系数定量模型为:
N=a S T+(1-a)G T
式中:G代表课程广度,用教材中的知识点数来量化;T代表课程时间,用教学所用的课时数来量化;S 代表课程深度;N代表课程难度系数;S T代表可比深度;G T代表可比广度;a(0<a<1)为加权系数,加权
系数反映了课程难度对于可比深度与可比广度的侧重程度[4].
对于课程深度,在实际量化的过程中刻画方式并不相同,本文用中国课程标准中的 了解㊁理解㊁掌握㊁灵活运用”4个目标水平所要求的不同程度来量化.据此,根据中国课程标准4个知识技能目标水平分别赋予不同的值,具体如表1.
表1课程深度水平赋值[2]
赋值知识技能目标过程性目标
1了解经历(感受)
2理解体验(体会)
3掌握探索
4灵活运用
该课程难度模型实用性强,权威性高,具有代表性.史宁中教授利用该模型对建国以来对我国义务教育影响较大的1963‘全日制中学数学教学大纲“㊁2000‘全日制义务教育初中数学教学大纲(试用修订版)“㊁2011‘全日制义务教育数学课程标准(实验稿)“下的 三角函数”等数学教学大纲进行分析比较,得出2001年的教材较难,2009年的教材较容易;朱雪芳㊁叶立军利用该模型选取中国人教版和澳大利亚I B I D 版高水平数学教材的微积分部分进行比较,得出难度差异.
2 研究结果
按照章节对两套教材中的知识点进行了梳理,并且根据表1的标准对所有知识点逐一鉴定㊁归类对比㊁分析归纳得到如下结果(见表2).
表2教材知识点对比
中国版本及版本内容(人教版)章 节知识点深度水平
美国版本及版本内容(P H版)
章 节知识点深度水平
2.1.1指数与指数幂运算根式
分数指数幂
无理数指数幂
第7章
7-1R o o t s a n dR a d i c a l E x p r e s s i o n s
(根与根式表达式)
7-2M u l t i p l y i n g a n dD i v i d i n g R a d i c a l
E x p r e s s i o n s(根式乘法和除法)
2.1.2指数函数及其性质指数函数概念理解
借助信息技术
探究指数函数
性质
了解
8-1E x p l o r i n g
E x p o n e n t i a l
M o d e l s(探索
指数模型)
E x p o n e n t i a lG r o w t h(指数式增长)理解
E x p o n e n t i a lD e c a y(指数式下降)理解
A c t i v i t y L a b:F i t t i n g E x p o n e n t i a l
C u r v e s t o
D a t a(实验:拟合指数曲线
数据)
了解
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玉溪师范学院学报
续表2
中国版本及版本内容(人教版)章 节知识点深度水平
美国版本及版本内容(P H版)
章 节知识点深度水平
2.1.2指数函数及其性质指数函数性质
和图像
掌握
对数字e没作特别讲解
8-2P r o p e r t i e s
o fE x p o n e n t i a l
F u n c t i o n s(指
数函数性质)
C o m p a r i n g G r a p h s(不同指数函数图像
对比)
掌握
T h eN u m b e r e(数字e)掌握
2.2.1对数与对数运算对数的概念理解
对数的运算掌握
对数的发明了解
常用对数掌握
自然对数掌握
未作介绍
未作介绍
8-3L o g a r i t h-
m i c F u n c t i o n s
a sI n v e r s e s(对
数函数作为逆)
8-6N a t u r a l
L o g a r i t h m s
(自然对数)
W r i t i n g a n dE v a l u a t i n g L o g a r i t h m i c
E x p r e s s i o n s(书写和计算对数表达
式)
灵活运用
未作介绍
没有特别分类此类对数
N a t u r a l L o g a r i t h m s(自然对数)理解
N a t u r a l L o g a r i t h m i c a n dE x p o n e n t i a l E-
q u a t i o n s(自然对数和指数方程)掌握
A c t i v i t y L a b:E x p o n e n t i a la n d L o g a-
r i t h m i c i n e q u a l i t i e s(实验:指数和对数
不等式)
了解
2.2.2对数函数及其性质对数函数概念理解
对数函数性质
和图像
掌握
反函数灵活运用
互为反函数的两
个函数图像关系
了解
8-3L o g a r i t h m i cF u n c t i o n(对数函数)理解
8-3G r a p h i n g L o g a r i t h m i cF u n c t i o n s
(描绘对数函数图像)掌握
8-4P r o p e r t i e s
o fL o g a r i t h m s
(对数的性质)
U s i n g t h eP r o p e r t i e s o fL o g a r i t h m s
(运用对数性质)灵活运用
第7章7-7I n v e r s eR e l a t i o n s a n dF u c t i o n s(逆和反函数)
8-3中体现了指数函数和对数函数互逆的关系反函数作为单独知识
点列出
对于指数㊁对数方程只在习题解题中有稍微的体现,并未作为单独知识点列出8-5E x p o n e n-
t i a l a n d L o g a-
r i t h m i c E q u a-
t i o n s(指数和对
数方程)
S o l v i n g E x p o n e n t i a lE q u a t i o n s(求解指
数方程)
掌握
S o l v i n g L o g a r i t h m i cE q u a t i o n s(求解对
数方程)
掌握
A c t i v i t y L a b:L i n e a r a n d E x p o n e n t i a l
M o d e l s(实验:线性和指数模型)了解
2.1 教材内容编排比较
上述表格对两种版本教材的知识点作了一一对应的比较,大部分知识点两种教材都具备且详细,而且共有的知识点都是本章重点,课程的编排顺序也大致相同,整体上都遵循着由指数到对数的安排顺序,按
36孙双双 文 萍:中美高中数学教材比较研究 以指数㊁对数函数为例
指数㊁对数函数知识的发生发展呈现内容.但在课程设置等方面两种版本的教材又存在明显的差异,主要表现如下:
课程设置单元不同 人教版指数㊁函数内容的单元名称是 基本初等函数”,包含指数函数㊁对数函数㊁
幂函数三节,每节根据内容又有不同的划分.而P H 版教材中的第8章呈现的全部都是指数㊁对数函数内容.人教版的2.1.1节对根式和指数幂的介绍在P H 版教材的第8章并没有编写,
而是编排在第7章.内容编排模式不同 人教版教材对内容的编排比较模块化,具体表现在指数函数㊁对数函数分别作为
大知识点都放在一节中去讲;P H 版教材比较分散化,
会把一个大的内容拆分到不同的章节,突出表现在8-3和8-4中编排了指数函数㊁对数函数的定义㊁图像以及性质,而8~5中又编写了相关内容,说明P H 版教材是根据知识的重要程度来安排编写顺序.
知识点的选取不同 对数的发明”是人教版在数学文化上独特的体现,P H 版没有体现;
人教版对于反函数定义㊁指数函数与对数函数互为反函数作了具体的介绍,P H 版反函数的定义设在第7章;P H 版对数字e 单独讲解,人教版在自然对数中体现,但没有特别讲解;P H 版中的 自然对数”单独占节,并拓展到方程和不等式,人教版只定义了自然函数并未展开;P H 版中指数和对数方程单独占节,人教版未编排在主课中,体现在习题解题中.
2.2 课程难度比较
由于对P H 版第7章未做深入研究,
所以对于第7章涉及较多的根式内容,本文没有列入比较指数㊁对数函数课程难度比较大的知识点中.按照课程深度㊁课程广度和课程时间的量化方法,根据表2可以得到如下量化结果(见表3). 表3
课程难度三种因素量化数据
因 素
人教版P H 版
课程时间(T )12课时
14课时
课程广度(G )
12个知识点
15个知识点
课程深度(S )
深度1:3个知识点,25% 深度1::3个知识点,20% 深度2:3个知识点,25% 深度2:4个知识点,26.7% 深度3:5个知识点,42% 深度3:6个知识点,40%
深度4:1个知识点,8%
深度42个知识点,13.3%
课程时间 高中数学必修配套教师用书人教版规定课时为指数函数约6个课时,对数函数约6个课
时,共12个课时.P H 版的课程标准并没有明确规定课时数量,根据教材编排节数和知识点数量判定教学时数为14个课时.
课程广度 在课程广度上,人教版有12个知识点,P H 版有15个知识点.总体上P H 版比人教版的
知识点含量多3个.具体来看,两种版本知识内容主体相同,包括指数㊁对数函数的定义㊁运算㊁性质以及应用,但在内容涉及的宽度上,P H 版的自然对数㊁指数和对数方程等内容人教版教材没有涉及.两者总体比较,P H 版教材指数㊁对数函数所编排划分的章节数多,内容涉及的方面较多较广,是 宽而广”的模式,而人教版指数㊁对数函数的内容则相对比较精简,是 窄而简”的模式.
课程深度 根据表3课程深度得到的量化结果,可以计算出两种版本教材在4个深度水平上所占的
百分比,绘制如附图所示的折线图,由附图可以看出,两条知识点深度水平折线的走势大致相同,折线的最高点深度值为3,最低点深度值为4,由此说明两个版本对指数㊁对数函数知识的要求 掌握”层次的较多,
4
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灵活应用”层次的较少
.
附图 知识点深度水平百分比
课程难度系数 根据表3的数据,利用前面定义的课程难度模型计算公式,取加权系数a =0.5
(可比广度和可比深度的侧重程度相同),人教版和P H 版指数㊁
对数函数课程的难度系数计算如下:人教版:S 1=
3×1+3×2+5×3+1×4=28 G 1=12 T 1=12N 1=0.5×2812+(1-0.5)×1212
≈1.
667P H 版:S 2=
3×1+4×2+6×3+2×4=37 G 2=15 T 2=14N 2=0.5×3714+(1-0.5)×1514
≈1.857根据计算结果得到人教版课程难度系数为1.667,P H 版课程难度系数为1.857,
人教版课程难度系数小于P H 版.对于同一内容,课程深度相同,课程广度越大,则课程越难;课程广度相同,课程深度越大,则课程越难;课程广度和深度都相同时,课程时间越短,则课程越难.所以,P H 版教材比人教版难是由于在相同课程 指数函数㊁对数函数”下,人教版指数㊁对数函数的内容编排相对较少,知识点数量较少,即人教版课程广度低,而且两种教材的课程深度相差比较大,P H 版所要达到的思维深度要深一些,即人教版课程深度低,虽然人教版课程时间短,但是课程广度和深度的差异较大,课程难度没有受到影响,因此人教版课程要比P H 版容易一些.
3 结论与启示
在概念的引出上,人教版往往首先举出具体的生活实例,然后由特殊推广到一般,解决问题进而引出基本概念,有助于学生动手㊁动脑并能生动形象地理解概念;P H 版教材则是直接给出数据,然后做数据的分析㊁模型的建立以及描绘出函数图像,从而引出概念或者直接给出定义,这样直接性虽然清晰明了,但并不利于学生理解.
在教材排版上,人教版在教材的排版上较为清晰,栏目的划分比较明确,让学习者一目了然;P H 版的章节布局更细化,讲解内容更多㊁更详细,较灵活.
在教材内容上,人教版知识宽度较窄,知识编排跳跃性较强,知识体系系统性差;而P H 版教材恰恰注重知识的系统性和逻辑性,所包含的知识点比较全面,衔接紧密.
在呈现方式上,两种版本教材采用了图文并茂的呈现方式,尤其是对于函数,图像是必不可少的,利于
学生接受.人教版教材多以创设问题情境贯穿知识的学习过程中,从而让学生亲身感受,不会感到抽象;
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P H版多以实验性探究展开,有利于培养学生自主探究能力.
通过课程难度分析结果,P H版指数函数㊁对数函数的课程难度大,知识点涉及领域宽,系统性强,比较全面,这样的教材虽然体现了一个较高的水平,但无论是对于教师的 教”,还是学生的 学”都提出了一定的要求;而人教版指数㊁对数函数的内容不够丰富,知识选择范围较窄,有些知识不是循序渐进的,致使指数㊁对数函数知识体系的逻辑性得不到体现.
参考文献:
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AC o m p a r a t i v eS t u d y o fC h i n e s e a n dA m e r i c a n
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w i t hE x p o n e n t i a l a n dL o g a r i t h m i cF u n c t i o n s a s a nE x a m p l e
S U NS h u a n g s h u a n g W E NP i n g
(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n d I n f o r m a t i o nT e c h n o l o g y,Y u x i n o r m a lU n i v e r s i t y,Y u x i,Y u n a n653100,C h i n a) K e y W o r d s:e n i o r h i g hs c h o o lm a t h e m a t i c s t e x t b o o k;e x p o n e n t i a l f u n c t i o n;l o g a r i t h m i c f u n c t i o n
A b s t r a c t:Ac o n t e n t c o m p a r i s o nw a sm a d ew i t h t h e c o e f f i c i e n tm o d e l o f c o u r s e d i f f i c u l t y b e t w e e nC h i n e s e a n dA m e r i c a n s e n i o r h i g hs c h o o lm a t h e m a t i c s t e x t b o o k s i n t h e p a r t o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n a n d l o g a r i t h m i c f u n c t i o n.A n a l y s i s o f t h e q u a n-t i f i e dd a t a i n d i c a t e d t h e d i f f e r e n c e i nd i f f i c u l t y o f t h e t w o v e r s i o n s.T h e i r s i m i l a r i t i e s a n dd i f f e r e n c e s,a d v a n t a g e s a n dd i s a d-v a n t a g e sw e r e a l s o s u mm a r i z e d i n c o n c e p t i n t r o d u c t i o n,t e x t b o o k t y p e s e t t i n g,p r e s e n t a t i o nm o d e,c o u r s e d i f f i c u l t y a n d c o n-t e n t a r r a n g e m e n t.
收稿日期:2018年4月19日66。