3.3 垂径定理 浙教版数学九年级上册课件

分析：要证圆是轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直径
所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.
证明：过点A作AA'⊥CD交⊙O于点B，垂足为E，连
C
接OA、OB.
在△OAAB中
∵OA=OB ∴△OAB是
__等__腰__三__角_形_
·O
又∵AB⊥CD
∴AE= ___E_B___ ( 三线合 一) ∴CD是AB的 ___垂__直__平__分__线__ .
AE
B
即对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对
D
称点B
∴⊙O关于直线CD对称
即圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直
线都是它的对称轴.
垂直于弦AB的直径CD所在的直线是是⊙O的对
称轴，把圆沿着CD折叠时CD两侧的两个半圆重合,
点A与点B重合，AE与BE重合，因此， AE=BE C
弧: A⌒C=B⌒C, AD⌒=B⌒D
H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE4.如4.如图,圆O 与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
• 图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
• 的长.
如图，AB、AC都是圆O的 弦，OM⊥AB，ON⊥AC， 垂足分别为M、N，如果
（2）将直径AB向下或向上平移变成非直径的弦时，在圆纸片上
画出平移后的弦AB和直径CD ，交点记作点E,观察整个图形,它还
是轴对称图形吗？对称轴是什么？ 图中有哪些相等的线段和弧？
为什么？
C
C
O
A
B
D
O
A
B
A
E
B
D
通过这一组例题－-在圆中证明线段相等，弧相等 时，你又有什么经验或方法？
半弦 E
A 半径
O
B
AE
B
D
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧．
例1：如图,在⊙O中,弦AB=8㎝, A
OE⊥AB，OE=3㎝,求⊙O的半径.
E B
.O
通过这一组练习——在圆中求线段长度，你觉得 有什么好的经验或方法？
半弦 E
A 半径
CB
.
O
弦心距
在圆中求线段长度时，经常是连结半径,过圆心作弦的 垂线段(即弦心距) 等辅助线，构造Rt△，利用垂径定理和勾 股定理进行计算。
2.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂 线段，这是一条非常重要的辅助线．圆心到 弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便 将问题转化为解直角三角形的问题．
活动二：
（1）将圆纸片对折再对折后展开，你能发现这两条折痕有什么 位置关系？若将两条直径分别记作AB,CD,圆心记作点O,观察图 形，有哪些相等的线段和弧？为什么？
为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C，
D两点。
O.
求证：AC＝BD。
A
E C
DB
例3.已知：如图，⊙O中弦AB∥MN.
⌒
⌒
求证：AM＝BN
A M
O B
N
变式：已知AB,MN是圆O的两条弦,且AB∥MN, 圆O的半径是10,弦AB=16,弦MN=12，则AB与 MN的距离为___________
CB
.
O
弦心距
在圆中证明线段相等弧相等时，也是连结半径,过 圆心作弦的垂线段(即弦心距) 等辅助线，构造三角形， 利用垂径定理和等腰三角形等性质进行证明。
例3.如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽 MN=60cm，水深GF=10cm.若水面上升10cm （• E4G.如=1图0c,圆m）O与，矩则形此A时B水CD面交宽于AEB、为F多、少G？、
它是1400多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代劳动 人民勤劳和智慧的结晶。
7.23m
37m
赵州桥的主桥
C
拱是圆弧形，它的
A
跨度（弧所对的弦
D
B 长）为37米，拱高
（弧的中点到弦的
距离）为7.23米，
你能求出赵州桥主
桥拱的半径吗？
O
通过本节课的学习，你有什么收获？
1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 、垂 径定理.
MN= 3 ，那么BC=（ ）
变式2：如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P
是弦AB上一点．若OP的长为整数，则符合条件的点
P有
个.
例3.已知：如图，⊙O中弦AB∥MN.
⌒
⌒
（1）求证：AM＝BN
（2）若MN=60cm，GF=10cm，EG=10cm， 则AB为多少？
A M
O B
N
如果设圆的半径若为r，弦长为a,弦心距为d，则
这三者之间有怎样的关系？ d2+(
a 2
)2=r2
例1.如图,在⊙O中,弦AB=8㎝,
A
OE⊥AB，OE=3㎝,求⊙O的半径.
E B
.O
变式：
如图，CD是⊙O的直径，弦
A
AB⊥CD于E，CE=1，AB=10， 求直径CD的长。
C E O·
D
B
例2.已知：如图，在以O
M
C
D
A
B
A
B
.
OO.E.O NhomakorabeaAC
DB
N
总结:
解决有关弦的问题，经常是
过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦
的直径，连结半径等辅助线，为应用
垂径定理创造条件。
变式2：在平面直角坐标系xOy中，以原点O为
圆心的圆过点A（5，0），直线y=kx+4与⊙O
交于B、C两点，则弦BC的长的最小值
为
.
例4.如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水 面宽为12米，拱顶高出水面4米． （1）求这座拱桥所在圆的半径． （2）现有一艘宽5米，船舱顶部为正方形并高出水 面3.6米的货船要经过这里，此时货船能顺利通过 这座拱桥吗？请说明理由．
·O
AE
B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
C ∵ CD是直径， CD⊥AB ∴ AE=BE, A⌒C=B⌒C, A⌒D=⌒BD.
·O
AE
B
D
辨一辨：
在下列图形中，哪些图形可用垂径定理找到相等的 线段或相等的圆弧？
(6)
过圆心 垂直于弦
｛平分弦 平分弦所对的弧 C C
A
·O
第二十四章 圆
24.1.2 垂直于弦的直径
圆的研究思路：
圆的定义及 相关概念
圆的性质
活动一：
把圆形纸片沿着任意一条直径所在的直线对折， 观察两部分图形什么关系？由此你能得到什么结论？
圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直 径所在的直线都是它的对称轴。
已知：CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C、D以外的任意一点. 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.