2.1.1指数与指数幂的运算

n m mn n
n n
2.1.1
指数与指数幂的运算
2．观察以下式子，并总结出规律（a＞0）：
5
a 5 ( a ) a a , a8 ( a 4 ) 2 a 4 a
10
2 5 2
12 4 3 4 3 12 4
10 5
8 2
4
a (a ) a a ,
5
a (a ) a a
2.1.1
指数与指数幂的运算
例1.求值
3
1 64的6次方根
(3) ( 8)
3
2 -32的5方根
(4) ( 10) 2
(5) 5 ( 3)10
(6) 5 2 6 7 4 3
例2：若 9 x 2 6 x 1 3 (1 3x)3 , 则x的取值范围.
例3：求使等式 (a 3)(a 2 9) (3 a) a 3成立的 实数a的取值范围.
(3)(a a )(a a ) [(a a 1)(a a )]
3 3 4
3
3
4
1
(2)( x1 x0 x)( x x )

1 2
1 2
2.1.1
指数与指数幂的运算
1 2 1 2 1 2 1 2
练习：已知x y 12, xy 9且x y, 求
(2)a a
2
x
2
(3)a a
2
2
(4)a a
3 2

3 2
例6 : 已知a 2 x 2 1, 求 例7.化简（a,x>0）
(1) x 2 y 2 x
2 3
a3 x a 3 x a a
x
的值.
y

2 3

x 2 y 2 x
2 3
y

2 3
10
5
2 5
2
10 5
•小结：当根式的被开方数的指数能被根
指数整除时，根式可以写成分数作为指数
的形式.（分数指数幂形式）
2.1.1
指数与指数幂的运算
• 思考：根式的被开方数不能被根指数整除时，根 式也可以写成分数指数幂的形式 。如：
3 2 3
1 2
a a (a 0)
2
b b (b 0)
r s rs
r
r s
(a 0, r, s Q)
a a a
r
r s
(a 0, r, s Q)
(a ) a (a 0, r, s Q)
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r
对于任意的无理数 和实数a 0, 我们可以 定义a , 并且a R.(比如5
n n
(2)对于根式：a
n
n
2.1.1
指数与指数幂的运算
1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
a a a
m n
a a a a a, a 1 (a 0), n 1 n a n (a 0) a
n 0
m n
; (a ) a
m n
mn
(a ) a , (ab) a b
x x
y y
的值.
计算：
（1） [(1 2) ]
2 1 2
(1
2)
1
1 2 4
137Βιβλιοθήκη 2 3 1+ （2） 3
7 3 2 + 13 3
7 3
2.1.1
指数与指数幂的运算
a a (a 0, m, n N )
n m *
m n
a
r

m n

1 a
m n
(a 0, m, n N * )
2.1.1
指数与指数幂的运算
思考：1. ( a ) 等于a ? 2. a 等于a ?
思考1.( a ) =a成立. 思考2.当n为奇数时：
3 5 3 3 3 -3 3 = _____, （-3）=____, 3 5 5 2 -2 2 = _____, （-2）= ____, 5
n n
n n
n
n
n
n
a a a
s
r s
r s
r s
(a 0, r, s Q)同底数幂相乘
(a 0, r, s Q)同底数幂相除
a a a
r s
r
(a ) a (a 0, r, s Q)幂的乘方
rs
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)积的乘方
r r
2.1.1指数与指数幂
的运算
2.1.1
指数与指数幂的运算
一个数x的n次幂等于n个x连成积，即：
x x x x
n
0
x
整数指数幂：
1 2 2 1 4 2 ____,2 ___,2 ____ 1 1 1 2 2 ____, 2 ______, 2 4
n
分数指数幂：
2
2
2
1 2
4
c5 c (c 0)
n m m n *
5 4
即：a a (a 0, n N , n 1)
2.1.1
指数与指数幂的运算
• 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
a a (a 0, m, n N , 且n 1)
n m *
m n
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
2.1.1
指数与指数幂的运算
根式 a小结：
一、（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根互为相反数. 负数没有偶次方根 （3） 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 0 二、（） 1 ( n a )n =a成立.
n
a, a 0, 当n是偶数时，a =|a|= a, a 0. n n 当n是奇数时，a =a.
3

1 3
(5) 81
4
例3.化简
a 1 b1 (1) 1 1 a b
(2) a a
3
9 2
3
3
a a
3 3
13
2.1.1
指数与指数幂的运算
3 2
例4.求f(x)=(x-1) 的定义域.
例5 :已知a a
1 2 1 2
3, 求下列各式的值：
(1)a a
1
即：a

m n

1 a
m n
(a 0, m, n N * , 且n 1)
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数 指数幂无意义
2.1.1
指数与指数幂的运算
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指 数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有
理数指数幂，即：
r s
r s
a a a
2 2 ____,
1 3
2 ______,
3
无理数指数幂：
,2
2
,
2.1.1
指数与指数幂的运算
a ； x a, x叫做a的平方根,则x=____
2
a ； x a, x叫做a的立方根,则x=____
3
3
xn a, x叫做a的n次方根,则x=____.
当n是奇数时，x a.
当n是奇数时，a =a.
2.1.1
指数与指数幂的运算
n n
思考2. a 等于a ?
当n为偶数时：
2 3 3 3 = _____, （-3）=____,
2
4
2 （-2）= ____, 2 = _____, 2
4
n n
n n
4
4
所以，a
当n是奇数时，a =a.
a, a 0, 当n是偶数时，a =|a|= a, a 0. n n
n
当n是偶数时，x= a (a 0)
n
2.1.1
指数与指数幂的运算
幂 x
n
根式
n
a
2.1.1
计算：
指数与指数幂的运算
a 2 -2 32 _____, 32 _____, a _____. 4 4 2 -2 16 _____, 16 _____,
5 5 3 6
2
16的4次方根表示为 4 16= 2.
2
，含义P53)
以上运算性质同样也适用于无理数指数幂.
2.1.1
指数与指数幂的运算
例1.求值
(1)8
(1)a
2
2 3
(2)25

1 2
例2.用分数指数幂的形式表示
a,
9
1 5 (3) ( ) 2
a0
16 (4)( ) 81
7

3 4
(2)a a ,
3 3 2
2 3
(3) a a a ,
(4)( a )