《工程力学》习题答案(豆照良等编)

第1章静力学基础
思考题
1-1 说明下面两个式子的意义。

（1）F1=F2（2）F1=F2
解：
（1）式中F表示力矢量；因此F1=F2表示力F1和F2的大小相等，方向相同。

（2）式中F表示力的大小；因此F1=F2表示力F1和F2的大小相等。

1-2 能否说合力一定比分力大，为什么？
解：
不一定。

例如，大小相等、方向相反，且作用在同一直线上的两个力的合力为零。

1-3 二力平衡原理与作用和反作用定律有何异同？
解：
二力平衡原理是指：作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。

作用和反作用定律是指：任何两个物体间的作用，总是大小相等、方向相反、沿同一作用线分别作用在两个物体上。

可以看出，二力平衡原理描述的是，两个不同的力作用在同一个物体上的情况；作用和反作用定律描述的是两个不同物体之间相互作用的情况。

但它们有一个相同点，即上述两种情况下的一对力均满足大小相等、方向相反。

1-4 约束反力的方向和主动力的方向有无关系？
解：
约束反力的方向总是与约束限制物体位移的方向相反。

对于有些约束类型，如具有光滑接触表面的约束，其约束反力必然作用在接触点处，作用线沿着接触面的公法线方向，且指向被约束物体。

又如绳索类柔性约束，其约束反力只能是沿柔性体的轴线而背离被约束物体的拉力。

页脚内容
页脚内容
而对于圆柱铰链约束等，其约束反力的作用点位置（即接触点位置）、方向和大小由构件所受主动力确定。

因此，约束反力的方向是否和主动力的方向有
关，取决于约束类型。

1-5 什么叫二力构件？分析二力构件受力时与构件的形状有无关系？ 解：
所谓二力构件，是指只有两点受力而处于平衡状态的构件，如下图所示。

二力构件受力时，二力大小相等、方向相反，且都沿两作用点的连线方向；
与构件的形状无关。

1-6 图1-18所示物体的受力图是否正确？如有错误如何改正？
（a ）
（b ）
图1-18 解：
图1-18（b ）所示受力图错误，正确的受力图所图1-18（c ）所示。

1-18（c ）
页脚内容 练习题
题1-1 画出图1-19中各物体的受力图。

假定所有接触均为光滑接触，且除有特殊说明外物体的重力忽略不计。

（a ）
（b ）
（c ）
（d ）
（e ）
（f ） （g ）
（h ） 图
1-19
解：
页脚内容
（a ）
（b ）
（c ）
（d ）
（e ）
（f ）
（g ） （h ）
图1-19 题1-2 改正图1-20各受力图中的错误。

页脚内容
（a ）
（b ）
（c ）
图1-20
解：
（a ）
（b ）
（c ）
页脚内容
第2章 平面基本力系
思考题
2-1 已知F 1、F 2、F 3、F 4的作用线汇交于一点，其力多边形如图2-15所示，试问这两种力多边形的意义有何不同？
（a ） （b ）
图2-15
解：
图2-15（a ）中，力多边形自行闭合，合力为零。

图2-15（b ）所示的力多边形中，F 1、F 2、F 3的合力F
4；因此该力多边形中，F 1、
F 2、F 3、F 4的合力为2F 4。

2-2 用解析法求平面汇交力系的合力时，若取不同的直角坐标轴，所求得的合力是否相同？
解：
用解析法求平面汇交力系的合力时，选取不同的直角坐标轴，只会影响各力在两坐标轴上的投影，不会影响最终计算结果，即所求得的合力是相同的。

2-3 力的分力与投影这两个概念之间有什么区别和联系？试结合图2-16说明之。

（a ） （b ）
图2-16 解：
页脚内容
分力仍然是一个力，是矢量；力在某轴上的投影是标量。

如图2-16（a ）所示，力F 沿x 、y 轴的分力分别为
1,22
x y F F =
=F i F j 力F 在x 、y 轴上的投影分别为
1,22
x y F F F F == 图2-16（b ）中，力F 沿x 、y 轴的分力分别为
,x y F F ==F i F j
力F 在x 、y 轴上的投影分别为
11,22
x y F F F F == 因此，力在两正交轴上的分力的大小，分别等于力在对应轴上的投影。

2-4 比较力矩和力偶矩的异同。

解：
力矩是力使物体产生转动效应的度量，其大小与矩心位置有关；而力偶矩是力偶使物体产生转动效应的度量，其大小与矩心位置无关。

力矩和力偶矩都是代数量，其符号“±”表示转向，力（或力偶）使物体绕矩心逆时针转向转动时为正，反之为负；力矩和力偶矩的单位都是N•m 或K N•m 。

练习题
题2-1 如图2-17（a ）所示，等边三角形的边长为l ，现在其三顶点沿三边作用大小相等的三个力F ，试求此力系向B 点简化的结果。

页脚内容
（a ） （b ）
图2-17 解：
（1）建立直角坐标系xBy
（2）分别求出A 、B 、C 各点处受力在x 、y 轴上的分力
13,2,013,22
Ax Ay Bx By Cx Cy F F F F F F F F F F F =-====-=
（3）求出各分力在B 点处的合力和合力偶
11022
330223x Ax Bx Cx y Ay By Cy B By F F F F F F F F F F F F F M F l Fl
=++=-+-==++=-+===∑∑∑ 因此，该力系的简化结果为一个力偶矩3/2M Fl =，逆时针方向。

题2-2 如图2-18（a ）所示，在钢架的B 点作用有水平力F ，钢架重力忽略不计。

试求支座A 、D 的约束反力。

页脚内容
（a ） （b ）
图2-18
解：
（1）以钢架为研究对象。

（2）分析钢架受力情况。

钢架受到力F 以及约束反力F Ax 、F Ay 和F D 的作用而处于平衡状态。

由力偶系平衡条件知，约束反力F Ax 与力F 构成一个力偶，F Ax =F ，且由此可以确定的方向F Ax 为水平向左；约束反力F Ay 与F D 构成一个力偶，F Ay =F D ，假设方向如图2-18（b ）所示。

上述2个力偶应满足力偶系平衡条件。

（3）根据力偶系平衡条件列出方程，并求解未知量
0,20D M aF aF =-+=∑
可解得F Ay =F D ＝F/2。

求得结果为正，说明F Ay 和F D 的方向与假设方向相同。

题2-3 如图2-19（a ）所示，水平梁上作用有两个力偶，M 1=60kN •m ， M 2=40kN •
m ，已知AB =3.5m ，试求A 、B 两处支座的约束反力。

（a ）
页脚内容
（b ）
图2-19
解：
（1）以梁AB 为研究对象。

（2）分析梁AB 受力情况。

梁AB 受到两个力偶M 1和M 2，以及两个约束反力F A 和F B 的作用而处于平衡状态。

由力偶系平衡条件知，支座A 和B 对梁AB 的约束反力F A 和F B 应构成一个力偶，且与原合力偶平衡，又因为F B 的方位垂直于滚动支座支承面，指向假设如图2-15（b ）所示，从而可以确定F A 的方向。

即有F A =F B ，且满足力偶系平衡条件。

（3）根据力偶系平衡条件列出方程，并求解未知量
120,0AB A M M
M l F =-+-=∑
将题中条件代入后，可解得 10kN A B F F ==-
求得结果为负，说明F A 和F B 的方向与假设方向相反。

题2-4 如图2-20（
a ）所示，已知M=2Fl ，其余尺寸如图，试求A 、
B 两处支座的约束反力。

（a ） （b ）
图2-20 解：
（1）以图示支架ACB 为研究对象。

（2）分析支架受力情况。

支架受到力F 、力偶M ，以及3个约束反力F Ax 、F Ay 和F B 的作用而处于平衡状态。

由力偶系平衡条件可知，F 与F Ax 应构成一
页脚内容
个力偶M 1，F Ax 的方向水平向右；F Ay 和F B 应构成另一个力偶M 2，假设F Ay 和F B 的方向如下图2-20（b ）所示。

上述力偶系应满足力偶系平衡条件。

（3）根据力偶系平衡条件列出方程，并求解未知量
Ax F F =
0,
02
B Fl M M F l =-+=∑ 可解得 32
B F F =
32Ay B F F F == 结果为正，说明F Ay 和F B 的实际方向与假设方向相同，如图2-20（b ）所示。

第3章 平面任意力系
思考题
3-1 什么叫力系的主矢？它与合力有什么区别和联系？它与简化中心的位置有没有关系？
解：
平面任意力系中所有各力的矢量和，称为该力系的主矢；主矢与简化中心的位置无关。

平面任意力系的合成结果为一个主矢和一个主矩；当主矩为零时，平面任意力系的主矢就是合力。

3-2 什么叫力系的主矩？它是否就是力偶系的合力偶矩？它与简化中心的位置有没有关系？
解：
平面任意力系中所有各力对任选简化中心之矩的代数和，称为该力系的主矩。

主矩一般与简化中心有关。

合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。

在平面力偶系中，各分力偶的合力偶矩等于该力系的主矩。

页脚内容
3-3 已知一平面任意力系可以简化为一个合力，问能否通过选择适当的简化中心，把力系简化为一个合力偶？反之，如果已知力系可以简化为一个合力
偶，问能否通过选择适当的简化中心，把力系简化为一个合力？为什么？
解：
当平面任意力系的简化结果为一个合力时，无法进一步把力系简化为一个合力偶；反之亦然。

因为，合力和合力偶都是平面任意力系简化的最简结果。

3-4 什么叫静不定问题？如何判断问题是静定还是静不定？如图3-8所示（a ）、（b ）、（c ）三图中哪些是静定问题？哪些是静不定问题？
（a ） （b ） （c ）
图3-8
解：
当整个物体系平衡时，物体系内各个刚体也处于平衡状态。

因此对每个受平面任意力系作用的刚体，都可以列出3个独立的平衡方程。

那么对由n 个刚体组成的物体系来说，独立平衡方程的数目为3n 。

如果物体系中未知量的总数等于或小于独立平衡方程的数目时，则所有的未知量都可以由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。

如果物体系中未知量的总数大于独立平衡方程的数目时，则未知量不能全部由平衡方程求出，而只能求出其中的一部分未知量，这样的问题称为静不定问题。

图3-8（a ）中刚体的数目为1个，可列出3个独立的平衡方程，而A 、B 点处共有4个约束反力，无法完全求解，属于静不定问题。

图3-8（b ）中刚体的数目为2个，可列出6个独立的平衡方程，而A 、B 及中间铰接点处共有6个约束反力，可以完全求解，属于静定问题。

图3-8（a ）中刚体的数目为2个，可列出6个独立的平衡方程，而A 、B 点处共有7个约束反力，无法完全求解，属于静不定问题。

练习题
题3-1 如图3-9所示，半径为r 的圆盘上，以O 为中心，边长为r 的正方形的四个顶点上分别作用着力F 1、F 2、F 3、F 4。

已知F 1=F 2=F 3=F 4=F ，该力系
页脚内容
对O 点的主矩为M O =2rF 。

问该力系对O ′点的主矩M O ′为何值？M O 与M O ′间有何关系？为什么是这种关系？
图3-9
解：
该力系的主矢为
12340R F'F F F F =+++=
因为主矢为零，力系简化为一个合力偶。

这种情况下，力系的主矩与简化中心的位置无关，因此
2O'O M M rF ==
题3-2 如图3-10（a ）所示，已知F 1、F
2、F 3分别作用在点C
、O 、B 点上，OABC 是一个正方形，边长为a （单位为mm ），F 1=2kN ，F 2=4kN ，F 3=10kN ，方向如图所示。

求力系的最终简化结果。

页脚内容
（a ） （b ）
图3-10
解：
（1）建立直角坐标系Oxy 如图3-10（b ）所示
（2）将题述力系向O 点简化
313234kN 544kN 5
Rx x Ry y F'F F F F'F F F ==-===-=∑∑
R F'==，tan =145Ry
Rx F'F'θθ=⇒=︒
1334kN mm O x y M F a F a F a a =-+=
由于该力系的主矢、主矩都不等于零，即力系简化的结果为一个力和一个力偶，根据力的平行定理的逆定理可知，主矢和主矩可合成为一个合力。

该合力F R 矢量等于主矢F'R ，作用线在O 点右下方过O'点的直线，且简化中心到合力作用线的距离为
2
O R M d a F'== 题3-3 如图3-11（a ）所示，平面任意力系中F 1
N ，F 2=80N ，F 3=40N ，F 4=110N ，M =2000N •mm ，各力作用线位置如图所示（图中单位为mm ）。

求力系向O 点简化的结果。

页脚内容
（a ） （b ）
图3-11 解：
（1）力系向O 点简化的主矢
12413222150N 2
202()()150N
Rx x Ry y R Rx Ry F F F F F F F F F F F F ==
--=-==-==+=∑∑ 主矢F R 方向沿x 轴负方向。

（2）力系向O 点简化的主矩
234305030900N mm O M F F F M =+--=-,顺时针方向
力系向O 点简化的结果如图3-11（b ）所示。

题3-4 无重水平梁的支承和载荷如图3-12（a ）所示，已知力F 、力偶矩M 和强度为q 的均匀载荷。

求支座A 和B 处的约束反力。

（a ） （b ）
页脚内容
图
3-12
解：
（1）以梁为研究对象，受力情况如图3-12（b ）所示
（2）建立直角坐标系，列出平面任意力系的平衡方程，并求解未知量
0,0
0,0
()0,230x Ax y Ay B A B
F F F F F F M M F a F a ===-+-==-+-=∑∑∑F 可解得
1()21(3)2Ax Ay B F F aF M a
F aF M a ==
+=+ 题3-5 如图3-13（a ）所示，起重机重P 1=10kN ，可绕铅直轴AB 转动，起重机的吊钩上挂一重为P 2=40kN 的重物，起重机的重心C 到转动轴的距离为
1.5m ，其他尺寸如图所示。

试求在止推轴承A 和轴承B 处的约束反力。

（a ） （b ）
图3-13
页脚内容
解：
（1）以起重机为研究对象，受力情况如图3-13（b ）所示
（2）建立直角坐标系，列出平面任意力系的平衡方程，并求解未知量
12120,0
0,0
()0,5m 1.5m 3.5m 0
x Ax B y Ay A B F F F F F P P M F P P =+==--==---=∑∑∑F 可解得
31kN,50kN,31kN Ax Ay B F F F ===-
F B 为负，说明假设方向与实际方向相反，即应水平向左。

第4章 摩 擦
思考题
4-1 什么是静滑动摩擦力？其方向和大小是如何确定的？有人说摩擦力的方向永远与物体的运动方向相反，对吗？试举例说明。

解：
两个表面粗糙且相互接触的物体之间，有相对滑动的趋势时，在接触面上产生与相对滑动趋势相反的阻力，这种阻力称为静摩擦阻力。

摩擦力的方向与物体的相对运动或相对运动趋势方向相反，而不是与物体的运动方向相反。

下图所示为一个传送机构，在图（a ）所示上料过程中，物块的运动方向与静摩擦力的方向均向上，二者方向相同；而在图（b ）所示的下料过程中，物块的运动方向沿传送带向下，静摩擦力方向沿传送带向上，二者方向相反。

因此，静摩擦力的方向一定与相对运动趋势方向相反，但不一定与运动方向相反。

页脚内容
（a ） （b ）
4-2 什么是最大静滑动摩擦力？它与静滑动摩擦力有什么区别和联系？ 解：
最大静滑动摩擦力是静滑动摩擦力的一个临界值。

超越该临界值后，物体将发生相对滑动，此时静滑动摩擦力就被动滑动摩擦力所取代。

4-3 如图4-6所示，已知P =100N ，F
=500N
，摩擦系数f s =0.3，求此时物体所受的摩擦力。

图4-6
解：
由题意，可首先计算出墙面能够提供给物块的最大静摩擦力，
max N 0.3500N 150N s F f F ==⨯=
由于
max 100N 150N P F =<=
因此，物体将处于静止状态，此时物体所受的摩擦力为铅直向上的静摩擦力，且有
100N s F P ==
4-4 如图4-7所示，重为P 的物体置于斜面上，已知摩擦系数为f s ，且有tan α<f s ，问此物体能否下滑？如果增加物体的重量或在物体上再加一重量为P 1的物体，问能否达到下滑的目的？为什么？
页脚内容
（a ） （b ）
图4-7
解：
如图4-7所示，假设物体不下滑，则物体受到沿斜面向上的静摩擦力s F ，由静力平衡方程可知，
αsin P F s =
而斜面能够提供给物体的最大静摩擦力max F 的大小为
ααααsin tan cos cos max P P f P Nf F s s =⋅>⋅==
由于斜面能够提供给物体的最大静摩擦力大于维持物体不下滑所需要的摩擦力，因此物体不下滑。

同理可证，增加物体的重量或在物体上再加一重量为P 1的物体，不能达到下滑的目的。

4-5 何谓自锁现象？试举例说明。

解：
定义全约束反力与接触线法线的夹角为φ，其达到最大值φf ，称为摩擦角。

如果作用在物体上的全部主动力的合力的作用线在摩擦角φf 之内，则无论这个力多么大，物体必然保持平衡，这种现象称为自锁现象。

其中，φf =arctan f s 。

在工程中，自锁现象有广泛的应用。

例如，机床夹具、固定或锁紧螺丝、压榨机、千斤顶等等，自锁现象可以使它们始终保持在平衡状态下工作。

4-6 如图4-8所示，重为P 的物体置于水平面上，力F 作用在摩擦角之外，已知θ=25°，摩擦角φ=20°，F =P 。

问物体能否被推动？为什么？
页脚内容 图4-8
解：
若要推动物体，力F 在水平方向上的分力x F 必须克服地面提供给物体的最大静摩擦力max F 。

而本题中
sin sin 250.4226x F F F F θ==︒=
max s (cos 25)tan 20F Nf F P ==︒+︒
由于F =P
max (cos 251)tan 200.6939F F F =︒+︒=
因此F x <F max ，无法推动物体。

练习题
题4-1 如图4-9所示，已知物体重W =100N ，与水平面的静摩擦系数为f s =0.3，动摩擦系数为μ=0.28。

试问下列三种情况下，物体受到的摩擦力分别为多少？
（1）P =10N
（2）P =30N
（3）P =50N
图4-9
解：
首先计算物体受到的最大静摩擦力
页脚内容
max s s 0.3100N =30N F f N f W ===
（1）P =10N<F max ，物体静止，F s =P =10N ；
（2）P =30N=F max ，物体处于临界状态，F s =F max =30N ；
（3）P =50N>F max ，物体运动，max 0.28100N =28N F N W μμ=== 题4-2 判断图4-10中的物体能否静止？并求这两个物体所受摩擦力的大小和方向。

已知
（1）图（a ）中，物体重W =1000N ，拉力P =200N ，f s =0.3，μ=0.28；
（2）图（b ）中，物体重W =200N ，压力P =500N ，f s =0.3，μ=0.28。

（a ） （b ）
图4-10 解：
（1）图4-10（a ）中，
max 0.31000N =300N s s F f N f W ===
P =200N<F max ，物体静止，F s =P =200N ；静摩擦力方向水平向左。

（2）图4-10（b ）中，
max s s 0.3500N =150N F f N f P ===
W =200N>F max ，物体运动，N 140N 50028.0=⨯===P N F d μμ，动摩擦力方向铅直向上。

题4-3 如图4-11（a ）所示，物块与传送带之间的静摩擦系数f s =0.5。

试问传送带的最大倾角θ为多大？
页脚内容
（a ） （b ）
图4-11
解：
以物体为研究对象，受力情况如图4-11（b ）所示，由平面汇交力系的平衡方程，可知
s sin cos F P N P θ
θ
==
由临界状态下的补充方程，可知 max s F Nf =
从而
max s s sin tan arctan arctan 0.526.565cos F P f =f N P θθθθ
==⇒===︒ 题4-4 如图4-12（a ）所示，圆柱重W =500N ，直径d =24cm ，圆柱与V 型槽间的摩擦系数f s =0.2。

试求转动圆柱的最小力偶矩。

θ
页脚内容
（a ） （b ）
图4-12
解：
（1）以圆柱为研究对象，并考虑临界状态，受力情况如图4-12（b ）所示
（2）建立图示直角坐标系，列出平面任意力系的平衡方程，及临界状态下的补充方程
122112
0,cos 450
0,sin 450()0,0x N y N O F F F W F F F W M F r F r M =+-︒==-+-︒==+-=∑∑∑F
11
22
N N F fF F fF ==
可解得 122212121cos 45408N 11cos 45272N 1()()1632N m N N N N f F W f
f F W f
M F F r f F F r +=
︒=+-=︒=+=+=+= 题4-5 如图4-13（a ）所示，两根相同的均质杆AB 和BC ，在端点B 用光滑铰链连接，A 、C 端放在不光滑的水平面上，当ABC 成等边三角形时，系统在铅直面内处于临界平衡状态。

求杆端与水平面间的摩擦系数。

（a ）
页脚内容
（b ） （c ） 图4-13
解：
（1）先以AB 、BC 杆整体为研究对象，设杆重均为P ，杆长均为l ，受力图如图4-13（b ）所示。

由对称性原理及平面任意力系的平衡条件可知，
A C A C N N P
F F ===
（2）以AB 为研究对象，受力图如图4-13（c ）所示。

由平面任意力系的平衡条件，对于B 点，有 3()0,0242
B A A l l M F l P N =+-=∑F 将N A =P ，F A =fN A 代入上式，可解得
36
f =
第5章空间力系
思考题
5-1 用矢量积⨯
A
r F计算力F对O点之矩，当力沿其作用线移动，改变了力作用点的坐标x、y、z，其计算结果是否变化？
解：
如下图所示，力F的作用线沿AB，O点为矩心，则力对该点之矩，称为力矩矢，用M O（F）表示。

力矩矢M O（F）的模（即大小）等于力F与力臂d 的乘积，方位垂直于力F与矩心O所决定的平面，指向可用右手法则来确定。

即有
()2
o OAB
F Fd A
=⨯==
A
M r F
当力沿其作用线移动时，ΔOAB的面积
OAB
A保持不变，力矩矢的大小和方位保持不变，因此计算结果没有变化。

5-2 力对轴之矩的意义是什么？如何计算？如何确定其正负号？哪些情况下力对轴之矩等于零？
解：
力对轴之矩用于度量力对刚体绕定轴的转动效应。

如果将力F对z轴之矩用M z（F）表示，则有
()()
z o
M M F d
==±
F F
页脚内容
页脚内容
其中，正负号用于表示转向。

从z 轴的正向看去，若力使物体逆时针转动，取正号；反之，取负号。

或用右手螺旋法则来确定：即以右手四指表示力使物体绕z 轴转动的方向，若拇指的指向与z 轴的正向相同，取正号；反之取负号。

当力与转轴平行时，此力在垂直于该轴平面上的分力为零，此时力对该轴之矩为零。

此外，当力与转轴相交时，力对该轴之矩也为零。

5-3 试根据空间任意力系的平衡方程，推导出各种特殊力系的平衡方程。

解：
空间任意力系简化的结果是一个主失和一个主矩，因此空间力系平衡的充要条件为：各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零，且各力对此三轴之矩的代数和分别等于零。

即
0,0,0
()0,()0,()0x y z x y z F F F M M M ⎫===⎪⎬===⎪⎭
∑∑∑∑∑∑F F F 根据空间任意力系的平衡方程，可以推导出前面几章中的各种特殊力系的平衡方程。

例如，对于平面汇交力系，由于各力在z 轴上的投影都等于零，故有ΣF =0；而各力对三个坐标轴之矩也都等于零，故有ΣM x (F )=0、ΣM y (F )=0、ΣM z (F )=0。

因此，平面汇交力系的平衡方程可以简化为
00x y F
F ⎫=⎪⎬=⎪⎭
∑∑ 5-4 对任意物体，如果它具有对称面，则该物体的重心是否一定在对称面上？为什么？
解：
对于均质物体来说，如果它具有对称面，则该物体的重心一定在对称面上。

而对于非均质物体，则不一定。

5-5 均质等截面直杆的重心在哪里？若把它弯成半圆形，重心位置如何变化？
解：
均质等截面直杆的重心位于杆的中心处。

若把它弯成半圆形，重心位置变为x C =2r /π，如下图所示。

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5-6 计算同一物体的重心，如选两个不同的坐标系，则对于这两个坐标系计算出来的重心坐标是否相同？如果不相同，这是否意味着物体的重心相对位置随坐标系的选择不同而变化呢？
解：
计算同一物体的重心，如选两个不同的坐标系，则对于这两个坐标系计算出来的重心坐标会有所不同，这说明物体重心的坐标随坐标系的选择不同而变化，但物体的重心相对位置是不变的。

物体重心所在的位置，与该物体在空间的位置无关。

练习题
题5-1 如图5-20所示空间力系，已知F 1
=100N ，F 2=300N ，求力系对y 轴之矩。

图5-20
解：
首先求出力F 2在x 、y 轴上的分力，分别为
22222166.41N 13
200300x F F ===+，方向沿x 轴负方向；
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22222249.62N 13
200300y F F ===+，方向沿y 轴正方向。

由合力矩定理可得到力F 对y 轴之矩
12()200mm 100mm =36.64N m y x M F F =---F ，沿y 轴负向看为顺时针方向。

题5-2 求图5-21所示力F =1000N 对于z 轴的力矩M z 。

图5-21
解：
首先求出力F 在x 、y 轴上的分力，分别为
222222222222
221030169N 351030501030103030507N 351030501030x y F F
F F +===++++===+++ 由合力矩定理可得到力F 对z 轴之矩
()(10050)mm 150mm =101.4N m z x y M F F =-+--F
顺时针转向。

题5-3 如图5-22所示，水平圆盘的半径为r ，外缘C 处作用力F 。

力F 位于铅垂面内，且与C 处圆盘切线夹角为60°，其他尺寸如图所示。

求力F 对x 、y 、z 轴之矩。

页脚内容
图5-22
解： 力F 在三个轴上的分力分别为
3cos 60cos304
1cos 60sin 304
3sin 60x y z F F F F F F F F =︒︒=
=︒︒==︒= 由合力矩定理可得到力F 对x 、y 、z 轴之矩
()cos30(3)4
3()sin 30)1()cos602x y z y x z z F M hF rF h r F M hF rF h r M rF Fr =-︒=
-=+︒=+=-︒=-F F F 题5-4 如图5-23（a ）所示，力F 作用在长方体上，力的作用线位置如图所示。

试计算：
页脚内容
（1）F 在y 轴上的投影；
（2）F 在z 轴上的投影;
（3）F 对AB 轴之矩。

（a ）
（b ）
图5-23
解：
（1）设F 与水平面的夹角为θ，力在水平面上的投影为F yz ，F yz 与y 轴的夹角为β，如图5-23（b ）所示，由二次投影定理
222cos cos y F F a b c θβ=-=++
（2）力F 在z 轴上的投影；
页脚内容
222cos sin z F F a b c θβ=-=
++
（3）力F 对AB 轴之矩 222AB y M F c a b c ==++，逆时针转向。

题5-5 如图5-24所示，已知镗刀杆刀头上受切削力F z =500N ，径向力F x =150N ，轴向力F y =75N ，刀尖位于Oxy 平面内，其坐标为x =75mm ，y =200mm 。

试求被切削工件左端O 处的约束反力。

图5-24
解：
由空间任意力系的平衡方程
0,150N 0
0,75N 0
0,500N 0
()0,200mm =500N 200mm =0()0,75mm =500N 75mm =0()0,200mm 75mm =150N 200mm 75N 75mm =0
x x Ox Ox y y Oy Oy z z Oz Oz x x z x y y z y z z x y
x F F F F F F F F F F F F M M F M M M F M M M F F M =-+=-+==-+=-+==-+=-+==--=++=+-+-∑∑∑∑∑∑F F F
可解得
页脚内容
150N,75N,500N;
100N m,37.5N m,24.375N m Ox Oy Oz x y z F F F M M M =====-=-
题5-6 如图5-25（a ）所示，平面图形内每一方格的边长为20mm ，试求图示面积重心的位置。

（a ）
（b ）
图5-25
解：
本题可采用负面积法求解。

图示平面可看成是大矩形ABCD 去除2个小矩形以及1个圆后剩余的部分，
页脚内容
各部分的面积和重心坐标分别为
211122222333244422400mm ,80mm,70mm;
2400mm ,140mm,110mm;
1600mm ,40mm,130mm;
400mm ,40mm,60mm;
S x y S x y S x y S x y π====-===-===-==
剩余部分的重心为 78.26mm,59.63mm i
i i i C C i i S x
S y x y S S ====∑∑∑∑
题5-7 求图5-26所示工字钢截面的重心，尺寸如图所示。

图5-26
解：
本题可采用分割法求解。

图示工字钢截面可看成是由3个小矩形组合而成的，各部分的面积和重心坐标分别为
2111222223334000mm ,10mm,0;
4000mm ,100mm,0;3000mm ,210mm,0;
S x y S x y S x y ==-=======
因此，截面重心为
90mm,0i
i C C i S x
x y S ===∑∑
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第6章 点的运动学和刚体基本运动
思考题
6-1 什么叫点的运动方程？什么叫点的轨迹方程？二者有什么区别和联系？能否由点的轨迹方程确定点的运动方程？
解：
点的运动方程，是描述动点坐标随时间变化的方程；点的轨迹方程，是描述动点运动轨迹的空间曲线方程。

在点的运动方程中，消去参变量时间t ，则可以得到点的轨迹方程；但无法由点的轨迹方程确定点的运动方程。

6-2
d d t v 和d d v t ，d d t r 和d d r t 有何异同？ 解： d d t
v 用于描述点的速度矢量随时间的变化，即为点的加速度，它是一个矢量；而d d v t
则用于描述点的速度大小随时间的变化，即点的切向加速度大小，它是一个标量。

d d t r 用于描述点的速度，包含大小和方向，是一个矢量；d d r t
是指点的速度大小，是一个标量。

6-3 若动点在某瞬时的加速度为零，是否此时动点的速度也一定为零？反之，若动点在某瞬时的速度为零，是否此时动点的加速度也一定为零？
解：
动点在某瞬时的加速度为零，说明在该瞬时动点的速度变化为零，但此时动点的速度不一定为零；反之，若动点在某瞬时的速度为零，但其速度变化不一定为零，即此时动点的加速度也不一定为零。

6-4 如图6-14所示，点作曲线运动，点的加速度a 为恒矢量。

问这种情况下点是否作匀变速运动？
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图6-14
解：
匀变速运动的特征是动点的角加速度α为常数，在图示中虽然点的加速度a 为恒矢量，但其角加速度却α非常数，因此这种情况下点并不作匀变速运动。

6-5 点作曲线运动，判断下列说法是否正确？
（1）若切向加速度为正，则点作加速运动；
（2）若切向加速度和速度符号相同，则点作加速运动；
（3）若切向加速度为零，则速度为常矢量。

解：（1）错误；（2）正确；（3）错误。

6-6 “各点都作圆周运动的刚体一定是定轴转动”。

这种说法是否正确？ 解：
上述说法不正确。

6-7 刚体绕定轴转动时，刚体上各点的运动轨迹一定是圆周吗？
解： 不一定。

若转轴位于刚体内，则刚体中位于转轴上的各点位置始终不变。

6-8 手表的时针、分针和秒针的角速度各是多少？
解：
时针、分针和秒针的角速度分别为21600πrad/s 、1800πrad/s 和30
πrad/s 。

练习题
题6-1 已知M 点的运动方程
20.20.1(m)0.2(m)x t y t ⎫=-⎬=⎭
试求：点M 的轨迹方程、速度及加速度。

解：
点的轨迹为
2
0.2 2.5
x y
=-
点的速度为
d d
0.2()(m/s)
d d
x y
x y
v v t
t t
=++=--
v i j=i j i
j
点的加速度为
22
2
22
d d
0.2(m/s)
d d
x y
x y
a a
t t
=++=-
a i j=i j i
点的轨迹、速度和加速度如下图所示。

题6-2 如图6-15（a）所示机构，已知O1A＝O2B＝AM＝r＝0.2m，O1O2＝AB，O1轮按规律φ＝15πt运动。

试求t＝0.5s时，M点的速度和加速度。

图6-15
解：
由题意，O1O2BA是平行四边形，AB作半径为r的圆周运动，AB杆作平动，根据平动特性，杆上各点的速度、加速度都相同，因此求出了A点的速度和加速度，也就求出了M点的速度和加速度。

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