132奇偶性第2课时函数奇偶性的应用(改)精品PPT课件
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《奇偶性的应用》课件
奇偶性在数据可视化和信息呈现 中的应用
利用奇偶性可以设计更加直观和易于理解的数据可视化 图表和界面，提高数据分析和信息传递的效率。
奇偶性与量子计算的结合
奇偶性在量子算法设计中 的应用
利用奇偶性可以设计更加高效和稳定的量子 算法，为量子计算的发展和应用提供新的思 路和方法。
奇偶性与量子纠错码的结 合
$f(-x)=-f(x)$
偶函数
$f(-x)=f(x)$
非奇非偶函数
既不满足奇函数也不满足偶函数的函数。
02
奇偶性在数学中的应用
代数方程的奇偶性
奇次方程
一个代数方程中，未知数的最高次数 为奇数的方程称为奇次方程。奇次方 程关于原点对称，可以通过代入法求 解。
偶次方程
一个代数方程中，未知数的最高次数 为偶数的方程称为偶次方程。偶次方 程关于y轴对称，可以通过因式分解法 求解。
总结词
化学反应中的奇偶性表现在分子结构和 化学键的对称性上。
VS
详细描述
在化学反应中，分子结构和化学键的对称 性可以通过奇偶性来描述。例如，在有机 化学中，分子可能具有对称轴或对称面， 这种对称性可以通过奇偶性来分析。此外 ，化学键的形成和断裂也可以通过奇偶性 来解释。
生物现象中的奇偶性
总结词
生物现象中的奇偶性表现在细胞分裂、遗传规律等方面。
函数奇偶性的应用
奇函数
如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数。奇函数图像关于原点对 称，具有反函数的性质。
偶函数
如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则称该函数为偶函数。偶函数图像关于y轴对称， 具有对称性。
几何图形中的奇偶性
几何图形中的奇偶性是指图形中点、 线、面的数量关系。
人教A版必修第一册 3-2-2 第2课时 函数奇偶性的应用(习题课) 课件(25张)
则f(-x)+g(-x)=(-x)2+(-x)-2=x2-x-2,
又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,
所以f(x)-g(x)=x2-x-2,②
联立①②可得f(x)=x2-2,g(x)=x.
[例3] 偶函数f(x)的定义域为R,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,则f(-π),
f(2),f(3)的大小关系是(
)
A.f(-π)>f(2)>f(3)
B.f(-π)>f(3)>f(2)
C.f(-π)<f(2)<f(3)
D.f(-π)<f(3)<f(2)
解析:因为f(x)是定义域为R的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,
解析:(2)定义在R上的奇函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,且f(3)=0,
则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
且f(-3)=-f(3)=0,
由f(x)>0得,-3<x<0或x>3.故选C.
当堂检测
1.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有(
A
A.f(-1)>f(2)>f(-3)
所以函数的图象关于原点对称,且关于 x=1 对称,
( )-( )
当 x1,x2∈[0,1],且 x1≠x2 时,
f(-2)=0,
其大致图象如图所示,
-
>0,即函数在[0,1]上单调递增,f(2)=f(0)=
< ≤ , - ≤ < ,
则当-3≤x≤1 时,不等式 xf(x)>0 可转化为
意分类讨论.
针对训练 4:(1)设 f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且 f(x)在[0,1)上单调递减,f(- )=1,
又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,
所以f(x)-g(x)=x2-x-2,②
联立①②可得f(x)=x2-2,g(x)=x.
[例3] 偶函数f(x)的定义域为R,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,则f(-π),
f(2),f(3)的大小关系是(
)
A.f(-π)>f(2)>f(3)
B.f(-π)>f(3)>f(2)
C.f(-π)<f(2)<f(3)
D.f(-π)<f(3)<f(2)
解析:因为f(x)是定义域为R的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,
解析:(2)定义在R上的奇函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,且f(3)=0,
则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
且f(-3)=-f(3)=0,
由f(x)>0得,-3<x<0或x>3.故选C.
当堂检测
1.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有(
A
A.f(-1)>f(2)>f(-3)
所以函数的图象关于原点对称,且关于 x=1 对称,
( )-( )
当 x1,x2∈[0,1],且 x1≠x2 时,
f(-2)=0,
其大致图象如图所示,
-
>0,即函数在[0,1]上单调递增,f(2)=f(0)=
< ≤ , - ≤ < ,
则当-3≤x≤1 时,不等式 xf(x)>0 可转化为
意分类讨论.
针对训练 4:(1)设 f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且 f(x)在[0,1)上单调递减,f(- )=1,
课件4：1.3.2 第2课时 奇偶性的应用
2．几个基本函数的奇偶性： (1)y＝kx(k≠0)是奇函数； (2)y＝kx＋b(k≠0)，当 b＝0 时是奇函数，当 b≠0 时既不是奇 函数又不是偶函数； (3)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 b＝0 时是偶函数，当 b≠0 时既不 是奇函数又不是偶函数．
题型一 利用奇偶性求函数解析式
解析 设 x<0，则－x>0，∴f(－x)＝x＋1，又函数 f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1， ∴f(x)＝－x－1(x<0)．故选 B. 答案 B 规律方法 此类问题的一般解法是： (1)“求谁则设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区 间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x)．
－2≤m≤2， 又∵g(1－m)<g(m)，∴－2≤1－m≤2，
|1－m|>|m|.
解得－1≤m<12.
误区警示 利用奇偶性求函数解析式时因忽略定义域而出错 【示例】 已知函数 f(x)(x∈R)是奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝2x －1，求函数 f(x)的解析式． [错解] 当 x<0 时，－x>0，∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1. ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x＋1， ∴所求函数解析式为 f(x)＝22xx－＋11，，xx><00 .
题型三 函数奇偶性与单调性的综合应用 【例 3】设定义在[－2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减， 若 f(m)＋f(m－1)>0，求实数 m 的取值范围． 审题指导 fm＋fm－1>0 → f1－m<fm → 列不等式组 → 解得m的范围
函数的奇偶性(数学教学课件)课件
附录
奇函数举例
偶函数举例
数学符号标记
一些常见的奇函数示例及其图像。 一些常见的偶函数示例及其图像。 一些相关的数学符号和标记。
函数的奇偶性(数学教学 课件)ppt课件
本次课程将深入讲解函数的奇偶性概念及其应用。通过丰富的实例和图像， 我们将带您领略数学中的奥秘。
奇偶函数的定义
定义式
奇函数的定义和性质以及其与偶函数的关系。
函数图像
奇函数和偶函数的图像有什么特点，如何自行对称。
奇偶函数的性质
1
合成
如何通过奇函数和偶函数的合成得到一个新的函数。
奇阳偶阴
如何快速判断一个函数在正数和负数轴上的取值。
经典例题
1
解析式判断
看到一个函数的解析式，如何快速判断其是奇函数还是偶函数。
2
化简函数
如何通过奇偶性来化简给定函数。
总结
定义和性质
奇偶函数的基本概念和数学 性质。
判断方法
如何快速、有效地判断一个 函数的奇偶性。
应用场景
奇偶函数在数学和工数，偶数次幂的函数是偶函数。
3
积分
在奇函数或偶函数的范围内进行积分，得到什么样的结果。
如何判断函数的奇偶性
函数公式
如何看出一个函数的公式是奇函数还是偶函数。
图像判断
如何通过图像的对称性判断一个函数的奇偶性。
奇偶函数的应用
加减乘
如何通过奇函数和偶函数的性质来化简函数的加减 和乘积。
1.3.2 奇偶性(第2课时)奇偶性的应用(课件)(人教A版)(必修1)
思路探究：(1) 设x<0，则－x>0 fx―＝当―－x>→x0＋1 求f－x 奇――函→数 得x<0时fx的解析式 奇 的――函 性→数 质 f0＝0 分―段―函→数 fx的解析式 (2) fx＋gx＝x－1 1 ―用―－―x―代―式―中→x 得f－x＋g－x＝－x1－1 奇――偶→性 得fx－gx＝－x＋1 1 解―方―程→组 得fx，gx的解析式
5．已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求 f(x)，g(x)的 表达式．
“ THANKS ”
[跟踪训练]
2．函数 f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a
＋1)，则 a 的取值范围是( )
A．a>1
B．a<－2
C．a>1 或 a<－2
D．－1<a<2
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知函数 y＝f(x)为奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3，则当 x<0 时，f(x)
[跟踪训练]
1．设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则 f(－2)，
f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
角度二 解不等式问题 例 3 已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若 f(x－1)>0，则 x 的取值 范围是________．
[规律方法] 解不等式的策略 1 解 决 不 等 式 问 题 时 一 定 要 充 分 利 用 已 知 的 条 件 ， 把 已 知 不 等 式 转 化 为 fx1>fx2或 fx1<fx2的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式组， 要注意函数定义域对参数的影响. 2本题的关键是利用偶函数的性质：fx＝f－x＝f|x|，从而由 fx－1>f2转 化得 f|x－1|>f2，再由 fx在[0，＋∞上单调递减即可脱去“f”，得到|x－1|<2. 其优点在于避免了讨论.
《奇偶性》PPT课件_人教版1
奇 函 数 、 偶 函 数 的 定 义 域 必 关 于 原 点 对 称
➢奇偶性与单调性、最值 《奇偶性》优秀课件人教版1-精品课件ppt(实用版)
例 1设 定 义 在 [ 2 ,2 ] 上 的 奇 函 数 f(x )在 区 间 [0 ,2 ]上 单
调 递 增 , 若 f(1 m ) f(m ),求 实 数 m 的 取 值 范 围 .
1 m< 1， 2
1 m 3
解得
2 m 2
1 m<
2
m的取值范围
1，12
四、练习巩固 《奇偶性》优秀课件人教版1-精品课件ppt(实用版)
3、偶函数f ( x)定义域是R，当x [0, )时f ( x)是
A 增函数，则f (2)、f ( )、f (3)大小是（ ）
A. f ( ) f (3) f (2) B. f ( ) f (2) f (3)
1 、 已 知 f(x)为 奇 函 数 ， 在 (0 , )存 在 最 大 值 3 ， 则 在 ( ,0 )上 存 在 最 （ ） 值 为 （ ）
奇 函 数 、 偶 函 数 的 定 义 域 必 关 于 原 点 对 称
1 、 已 知 f(x)为 奇 函 数 ， 在 (0 , )存 在 最 大 值 3 ， 则 在 ( ,0 )上 存 在 最 （ ） 值 为 （ ）
《奇偶性》优秀课件人教版1-精品课 件ppt( 实用版)
《奇偶性》优秀课件人教版1-精品课 件ppt( 实用版)
例2 已知函数f ( x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，
f ( x) x2 2x， (1)求f (0); (2)当x 0时，求f ( x)的解析式；
(3) f ( x)在R上的解析式.
3.2.2 奇偶性（第2课时)
➢奇偶性与单调性、最值 《奇偶性》优秀课件人教版1-精品课件ppt(实用版)
例 1设 定 义 在 [ 2 ,2 ] 上 的 奇 函 数 f(x )在 区 间 [0 ,2 ]上 单
调 递 增 , 若 f(1 m ) f(m ),求 实 数 m 的 取 值 范 围 .
1 m< 1， 2
1 m 3
解得
2 m 2
1 m<
2
m的取值范围
1，12
四、练习巩固 《奇偶性》优秀课件人教版1-精品课件ppt(实用版)
3、偶函数f ( x)定义域是R，当x [0, )时f ( x)是
A 增函数，则f (2)、f ( )、f (3)大小是（ ）
A. f ( ) f (3) f (2) B. f ( ) f (2) f (3)
1 、 已 知 f(x)为 奇 函 数 ， 在 (0 , )存 在 最 大 值 3 ， 则 在 ( ,0 )上 存 在 最 （ ） 值 为 （ ）
奇 函 数 、 偶 函 数 的 定 义 域 必 关 于 原 点 对 称
1 、 已 知 f(x)为 奇 函 数 ， 在 (0 , )存 在 最 大 值 3 ， 则 在 ( ,0 )上 存 在 最 （ ） 值 为 （ ）
《奇偶性》优秀课件人教版1-精品课 件ppt( 实用版)
《奇偶性》优秀课件人教版1-精品课 件ppt( 实用版)
例2 已知函数f ( x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，
f ( x) x2 2x， (1)求f (0); (2)当x 0时，求f ( x)的解析式；
(3) f ( x)在R上的解析式.
3.2.2 奇偶性（第2课时)
3.1.3+函数的奇偶性(第2课时+函数奇偶性的应用)高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
(2)由题意可知函数y=f(x)在R上单调递减,所以不等式f(x-1)>f(1)等价于x1<1,解得x<2.
答案:(1)f(-1)<f(-3) (2)(-∞,2)
二、函数图象的对称性
1.已知二次函数f(x)=x2-4x,
(1)函数f(x)=x2-4x图象的对称轴是什么?
提示:直线x=2.
(2)对任意的实数h,是否都有f(2-h)=f(2+h)成立?
∵2a +a+1=2 +
2
2
2a -2a+3=2
1 2
- 2
1 2
4
+
+
7
>0,
8
5
>0,
2
且 f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3),
2
∴2a +a+1>2a -2a+3,解得 a>3,
2
∴实数 a 的取值范围为 > 3
2
2
.
随堂练习
1.f(x)=x2+|x|(
)
A.是偶函数,在区间(-∞,+∞)内是增函数
x-1
3
2
3
2
3
4
2
3
2
4
3
描点作图(描点略),再根据两部分图象关于点(1,1)对称可得函数 y=-1 的图
象,如图所示.
综上,函数 y=-1 的性质如下:
定义域:{x∈R|x≠1};
值域:(-∞,1)∪(1,+∞);
单调性:在区间(-∞,1),(1,+∞)内是减函数;
答案:(1)f(-1)<f(-3) (2)(-∞,2)
二、函数图象的对称性
1.已知二次函数f(x)=x2-4x,
(1)函数f(x)=x2-4x图象的对称轴是什么?
提示:直线x=2.
(2)对任意的实数h,是否都有f(2-h)=f(2+h)成立?
∵2a +a+1=2 +
2
2
2a -2a+3=2
1 2
- 2
1 2
4
+
+
7
>0,
8
5
>0,
2
且 f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3),
2
∴2a +a+1>2a -2a+3,解得 a>3,
2
∴实数 a 的取值范围为 > 3
2
2
.
随堂练习
1.f(x)=x2+|x|(
)
A.是偶函数,在区间(-∞,+∞)内是增函数
x-1
3
2
3
2
3
4
2
3
2
4
3
描点作图(描点略),再根据两部分图象关于点(1,1)对称可得函数 y=-1 的图
象,如图所示.
综上,函数 y=-1 的性质如下:
定义域:{x∈R|x≠1};
值域:(-∞,1)∪(1,+∞);
单调性:在区间(-∞,1),(1,+∞)内是减函数;
函数的奇偶性-精品PPT课件课件.
植入探索，发现新知
• 偶函数定义：设函 f(-x)=f(x) 数 y f ( x) 的定义 域为 D ，如果对定 义域 D 内的任意一 个 x 都有 x D， 且 f ( x ) f ( x ) ， 则这个函数叫做偶 图象关于y轴对称 函数.
偶函数
请同学们考察：图象关于原点中心对称的函 数与函数式有怎样的关系？
①
O y
x
O
②
y O ⑤
f ( x) x 3
O
x
③
1 f ( x) | x|
④
O
x
x
这些函数图像 体现着哪种对 称的美呢？
设计意图：培养学生由感性到理
性的观察思维能力，同时导入新课
人民教育出版社A版必修一《1.3.2函数的奇偶性》 四
过程分析
植入探索，发现新知
0 0 1 1 2 2 3 3 … …
二
目的分析
1.教学目标 [知识目标]
使学生理解函数奇偶性的概念、图象和性质，并能利用定 义判断一些简单函数的奇偶性
[能力目标]
通过设置问题情境培养学生判断、观察、归纳、推理的能 力.在概念形成过程中,同时渗透数形结合和具体到抽象，特殊 到一般的数学思想方法.
[情感目标]
通过绘制和展示优美的函数图像来陶冶学生的情操. 使学 生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于 探索的思维品质.
一
教材分析
2.学情分析
本节课的学生是高一学生，他们在之前已经学习过函数 的单调性，在初中也接触过一些具有对称性的函数，因此， 对于探索函数的奇偶性有良好的认识基础，并且学生在初中 的时候已经学习过轴对称图形和中心对称，这也为本节课的 学习奠定了基础，但是学生对于轴对称性，中心对称这些抽 象的几何意义或者说抽象的几何特征要用数学符号语言展示 出来，这是学生比较有困难的，因此这就需要教师进行有效 的引导。
函数的奇偶性(数学教学课件)课件
例如
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
教学课件：1.3.2.2第2课时函数奇偶性的应用
• 奇偶性是研究函数性质的重要工具之一
实际应用中的启示与建议
01
建议
02
03
04
加强奇偶性在实际问题中的应 用训练
在数学学习中，注重培养利用 奇偶性解决问题的能力
鼓励跨学科学习，将奇偶性与 其他学科知识相结合
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根据奇偶函数的定义来判断。
图像法
通过观察函数的图像来判断。
代数法
通过代入特殊值来判断。
03 函数奇偶性的应用
利用奇偶性判断函数的单调性
奇函数在对称区间上的单调性
奇函数在对称区间上具有相同的单调性。如果奇函数在区间$(a, b)$上单调递 增，则它在区间$(-b, -a)$上也是单调递增。
偶函数在对称区间上的单调性
不同的奇偶性，市场均衡点将位于两个交点之间。
奇偶性在金融数据分析中的应用
在金融数据分析中，奇偶性可以用来分析股票价格、收益率等时间序列数据的波动性和 趋势。例如，股票价格的波动可能表现出某种程度的对称性或反对称性，这可以通过奇
偶性来描述和分析。
05 总结与思考
本节课的重点与难点回顾
重点回顾 奇偶性的定义与性质
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
奇函数与偶函数的性质
奇函数的图像关于原点对称，即对于 任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$。
偶函数的图像关于y轴对称，即对于任 意$x$，有$f(-x)=f(x)$。
奇偶性的判断方法
定义法
奇偶性判断方法
本节课的重点与难点回顾
奇偶性在函数图像和性质中的应用 难点回顾
如何判断复合函数的奇偶性
实际应用中的启示与建议
01
建议
02
03
04
加强奇偶性在实际问题中的应 用训练
在数学学习中，注重培养利用 奇偶性解决问题的能力
鼓励跨学科学习，将奇偶性与 其他学科知识相结合
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根据奇偶函数的定义来判断。
图像法
通过观察函数的图像来判断。
代数法
通过代入特殊值来判断。
03 函数奇偶性的应用
利用奇偶性判断函数的单调性
奇函数在对称区间上的单调性
奇函数在对称区间上具有相同的单调性。如果奇函数在区间$(a, b)$上单调递 增，则它在区间$(-b, -a)$上也是单调递增。
偶函数在对称区间上的单调性
不同的奇偶性，市场均衡点将位于两个交点之间。
奇偶性在金融数据分析中的应用
在金融数据分析中，奇偶性可以用来分析股票价格、收益率等时间序列数据的波动性和 趋势。例如，股票价格的波动可能表现出某种程度的对称性或反对称性，这可以通过奇
偶性来描述和分析。
05 总结与思考
本节课的重点与难点回顾
重点回顾 奇偶性的定义与性质
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
奇函数与偶函数的性质
奇函数的图像关于原点对称，即对于 任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$。
偶函数的图像关于y轴对称，即对于任 意$x$，有$f(-x)=f(x)$。
奇偶性的判断方法
定义法
奇偶性判断方法
本节课的重点与难点回顾
奇偶性在函数图像和性质中的应用 难点回顾
如何判断复合函数的奇偶性
3.2.2奇偶性课件(人教版)
但必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”。
对称现象
蝴蝶
雪花晶体
3.2.2 奇偶性
引入课题：
已知函数f(x)=x2,求f(0),f(－1),f(1),f(－2),f(2)及
f(－x) ,并画出它的图象。
解:
f(0)=0, f(－1)=1，f(1)= 1
f(－1)=f(1)
(-x,y) f(-x)
(2)f(x)=2x4+3x2
解：函数定义域为R， ∵ ∀x∈R，都有－x∈R，且
f(－x)=(－x)3+2(－x) =－x3－2x
解：函数定义域为R， ∵ ∀x∈R，都有－x∈R，且
f(－x)=2(－x)4+3(－x)2
=－(x3+2x)=－f(x)
=2x4+3x2 = f(x)
∴ f(x)为奇函数
温故知新：求函数最值的方法
（1）图像法：若函数的图象有最高（最低）点,则最 高（最低）点的纵坐标为函数的最大（最小）值；
(2)单调性法：若函数在某个闭区间上是单调函数，则 该函数在此闭区间上的最值在区间端点处取得；
(3) 配方法：适用于二次函数；
(4) 换元法：主要用于根式类的函数；
(5)分离常数法：用于分式，且分子、分母中有类似的项； (6)不等式法：适用于能利用基本不等式来求最值的函数，
答：因为在函数奇偶性的定义中，对任意一个x都有 f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，所以－x也属于定义域， 因此奇偶函数的定义域必须关于原点对称.
学以致用： 1.已知f(x)＝ax2＋bx+3a+b是定义在[a－1，2a]上的偶 函数，则a＋b=______，单调递减区间为（__－__∞__，__0_]__
对称现象
蝴蝶
雪花晶体
3.2.2 奇偶性
引入课题：
已知函数f(x)=x2,求f(0),f(－1),f(1),f(－2),f(2)及
f(－x) ,并画出它的图象。
解:
f(0)=0, f(－1)=1，f(1)= 1
f(－1)=f(1)
(-x,y) f(-x)
(2)f(x)=2x4+3x2
解：函数定义域为R， ∵ ∀x∈R，都有－x∈R，且
f(－x)=(－x)3+2(－x) =－x3－2x
解：函数定义域为R， ∵ ∀x∈R，都有－x∈R，且
f(－x)=2(－x)4+3(－x)2
=－(x3+2x)=－f(x)
=2x4+3x2 = f(x)
∴ f(x)为奇函数
温故知新：求函数最值的方法
（1）图像法：若函数的图象有最高（最低）点,则最 高（最低）点的纵坐标为函数的最大（最小）值；
(2)单调性法：若函数在某个闭区间上是单调函数，则 该函数在此闭区间上的最值在区间端点处取得；
(3) 配方法：适用于二次函数；
(4) 换元法：主要用于根式类的函数；
(5)分离常数法：用于分式，且分子、分母中有类似的项； (6)不等式法：适用于能利用基本不等式来求最值的函数，
答：因为在函数奇偶性的定义中，对任意一个x都有 f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，所以－x也属于定义域， 因此奇偶函数的定义域必须关于原点对称.
学以致用： 1.已知f(x)＝ax2＋bx+3a+b是定义在[a－1，2a]上的偶 函数，则a＋b=______，单调递减区间为（__－__∞__，__0_]__
奇偶性的应用 课件
奇偶性的应用
知识点一 用奇偶性求解析式 思考 函数f(x)在区间[a，b]上的解析式与该区间函数图象上的点(x，y) 有什么关系？ 答案 满足y＝f(x).
一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式.如 果该等式同时满足两个条件： ①定义域符合要求； ②图象上任意一点均满足该式. 如果知道函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，那么就可以设出 关于原点对称区间[－b，－a]上任一点(x，y)，通过关于原点(或y轴)的 对称点(－x，－y)(或(－x，y))满足的关系式间接找到(x，y)所满足的解 析式.
类型三 对称问题 例3 定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x) ＝x，试画出f(x)的图象. 解 ∵f(x)是奇函数，∴f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)， ∴f(x)关于直线x＝－2对称. 反复利用f(x)关于原点对称又关于直线x＝－2对称， 可画出f(x)的图象如图：
∴f(x)－g(x)＝－x1－1，
②
(①＋②)÷2，得 f(x)＝x2－1 1； (①－②)÷2，得 g(x)＝x2－x 1.
类型二 奇偶性对单调性的影响 例2 设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间[－b， －a]上是增函数.
证明 设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2. ∵－b≤x1＜x2≤－a，∴a≤－x2＜－x1≤b. ∵f(x)在[a，b]上是减函数， ∴f(－x2)＞f(－x1).∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)， ∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1). ∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)＜f(x2). ∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数.
知识点一 用奇偶性求解析式 思考 函数f(x)在区间[a，b]上的解析式与该区间函数图象上的点(x，y) 有什么关系？ 答案 满足y＝f(x).
一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式.如 果该等式同时满足两个条件： ①定义域符合要求； ②图象上任意一点均满足该式. 如果知道函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，那么就可以设出 关于原点对称区间[－b，－a]上任一点(x，y)，通过关于原点(或y轴)的 对称点(－x，－y)(或(－x，y))满足的关系式间接找到(x，y)所满足的解 析式.
类型三 对称问题 例3 定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x) ＝x，试画出f(x)的图象. 解 ∵f(x)是奇函数，∴f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)， ∴f(x)关于直线x＝－2对称. 反复利用f(x)关于原点对称又关于直线x＝－2对称， 可画出f(x)的图象如图：
∴f(x)－g(x)＝－x1－1，
②
(①＋②)÷2，得 f(x)＝x2－1 1； (①－②)÷2，得 g(x)＝x2－x 1.
类型二 奇偶性对单调性的影响 例2 设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间[－b， －a]上是增函数.
证明 设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2. ∵－b≤x1＜x2≤－a，∴a≤－x2＜－x1≤b. ∵f(x)在[a，b]上是减函数， ∴f(－x2)＞f(－x1).∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)， ∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1). ∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)＜f(x2). ∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数.
函数的奇偶性课件PPT
观察图象，你能发现它们的共同特征吗？
6 4
y
y=x
2
6y 4
y=
1 x
2
42 -2 -4 -6
246 x
42 -2 -4 -6
246 x
f(-3)=3=-f(3) f(- =-f(2) 2f()-=12)=1=-f(1)
f(-3)=- 13=-f(3) f(-2)=- 12=-f(2) f(-1)=-1 =-f(1)
f(-x)=f(x)
对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even
function)。
-3 -2 -1
y
5
4
3
y=x2+1
2
1
o1 2 3 x
0.20
y=
2 X2+11
0.10
-5 -4-3-2-1 o1 2 3 4 5 x
偶函数图象关于 y对轴称，在定义域内都 有 f(-x)=。f(x)
f(-x)=-f(x)
奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任 意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x) 就叫做奇函数(odd function)。
6 y y=x
4 2
6y 4
y=
1 x
2
42 -2 -4 -6
246 x
42 -2 -4 -6
246 x
奇函数图象关于 原点对称，在定义域内都 有 f(-x)=－f(x) 对定义域
内的任意一个x
偶函数
ｆ(-x)=ｆ(x)
图象关于y轴对称
奇函数
ｆ(-x)=－ｆ(x)
图象关于原点对称
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(2)当函数f(x)是奇函数时，满足f(x)=-f(-x)
当 x (时, 0，) x， (0, )
所以，当 x (时, 0，)
f (x) f (x) [2(x) 1] 2x 1
5
探究点3 函数的奇偶性与函数的单调性
回顾例1中两个函数的图象 第（1）个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的 区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一 般规律. 第（2）个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的 区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一 般规律.
第2课时 函数奇偶性的应用
1
例1.判断下列函数的奇偶性
g
(
x)
1 2
x 1
2 x2
1
1
(
x (
x
0) 0)
பைடு நூலகம்
2
y 1 x2 x2 1
2
例2.已知函数f(x)在（0,+∞）上的解析式是 f(x)=2x+1， （1）f(x)是偶函数，求（-∞，0）上的解析式. （2）f(x)是奇函数，求（-∞，0）上的解析式 (3)f(x)是奇函数，求R上的解析式
8
1.(2010·新课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)=x3-
8(x≥0)，则｛x|f(x-2)>0｝=( )
（A）{x|x<-2或x>4} （B）{x|x<0或x>4}
（C）{x|x<0或x>6}
（D）{x|x<-2或x>2}
解:选B.因为函数f(x)在（0,+∞）上为增函数，且
f(2)=0,由偶函数的性质可知，若f(x-2)>0,需满足|x-
2.函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，而函数 的单调性是函数在定义域上的局部性质.
3.具备奇偶性的函数，若是奇函数则在定义域关于原点 对称的区间上具有相同的单调性；若是偶函数则在定 义域对称的区间上具有相反的单调性.
12
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
2|>2,得x>4或x<0,故选B.
9
2.画出函数f(x)=-x2+4|x|的图象. 答案：
10
3.已知奇函数f(x)，在（-∞，0]上的解析式是 f(x)=x2+2x，求这个函数在（0，+∞）上的解析式.
答案： f (x) f (x) [(x)2 2(x)] x2 2x
11
1.函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它与函数的单 调性一样是今后进一步研究函数问题的主要工具.
数就是f(x)=f(-x)，这样当 x (时,，0) x， (0, )
而在（0，+∞）上的函数解析式是已知的.对奇函数同 样处理.
4
解：（1）当函数f(x)是偶函数时，满足f(x)=f(-x)
当 x (时, 0，) x， (0, ) 所以，当 x (时, 0，) f (x) f (x) 2(x) 1 2x 1
13
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
3
分析：求函数f(x)在(-∞，0）上的解析式，就是求当
x (时, ，0)如何用含x的表达式表示f(x)
能够利用的已知条件是函数在（0，+∞）上的函数解析 式，这样就要把（-∞，0）上的自变量转化到（0，+∞） 上的自变量. 根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义 域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函
6
例3.设函数是定义在[-1,1]上递减的奇函数 ，解不等式 f (x 1) f (x) 0
7
提升总结：
函数的单调性与奇偶性的关系 (1)若f(x)是奇函数,则f(x)在其关于原点对称的区 间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在其关于定 义域对称的区间上单调性相反. (2)奇函数在对称区间上的最值相反,且互为相反数; 偶函数在对称区间上的最值相等.
当 x (时, 0，) x， (0, )
所以，当 x (时, 0，)
f (x) f (x) [2(x) 1] 2x 1
5
探究点3 函数的奇偶性与函数的单调性
回顾例1中两个函数的图象 第（1）个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的 区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一 般规律. 第（2）个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的 区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一 般规律.
第2课时 函数奇偶性的应用
1
例1.判断下列函数的奇偶性
g
(
x)
1 2
x 1
2 x2
1
1
(
x (
x
0) 0)
பைடு நூலகம்
2
y 1 x2 x2 1
2
例2.已知函数f(x)在（0,+∞）上的解析式是 f(x)=2x+1， （1）f(x)是偶函数，求（-∞，0）上的解析式. （2）f(x)是奇函数，求（-∞，0）上的解析式 (3)f(x)是奇函数，求R上的解析式
8
1.(2010·新课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)=x3-
8(x≥0)，则｛x|f(x-2)>0｝=( )
（A）{x|x<-2或x>4} （B）{x|x<0或x>4}
（C）{x|x<0或x>6}
（D）{x|x<-2或x>2}
解:选B.因为函数f(x)在（0,+∞）上为增函数，且
f(2)=0,由偶函数的性质可知，若f(x-2)>0,需满足|x-
2.函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，而函数 的单调性是函数在定义域上的局部性质.
3.具备奇偶性的函数，若是奇函数则在定义域关于原点 对称的区间上具有相同的单调性；若是偶函数则在定 义域对称的区间上具有相反的单调性.
12
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
2|>2,得x>4或x<0,故选B.
9
2.画出函数f(x)=-x2+4|x|的图象. 答案：
10
3.已知奇函数f(x)，在（-∞，0]上的解析式是 f(x)=x2+2x，求这个函数在（0，+∞）上的解析式.
答案： f (x) f (x) [(x)2 2(x)] x2 2x
11
1.函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它与函数的单 调性一样是今后进一步研究函数问题的主要工具.
数就是f(x)=f(-x)，这样当 x (时,，0) x， (0, )
而在（0，+∞）上的函数解析式是已知的.对奇函数同 样处理.
4
解：（1）当函数f(x)是偶函数时，满足f(x)=f(-x)
当 x (时, 0，) x， (0, ) 所以，当 x (时, 0，) f (x) f (x) 2(x) 1 2x 1
13
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
3
分析：求函数f(x)在(-∞，0）上的解析式，就是求当
x (时, ，0)如何用含x的表达式表示f(x)
能够利用的已知条件是函数在（0，+∞）上的函数解析 式，这样就要把（-∞，0）上的自变量转化到（0，+∞） 上的自变量. 根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义 域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函
6
例3.设函数是定义在[-1,1]上递减的奇函数 ，解不等式 f (x 1) f (x) 0
7
提升总结：
函数的单调性与奇偶性的关系 (1)若f(x)是奇函数,则f(x)在其关于原点对称的区 间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在其关于定 义域对称的区间上单调性相反. (2)奇函数在对称区间上的最值相反,且互为相反数; 偶函数在对称区间上的最值相等.