【数学】宁夏银川一中2020届高三第五次月考 数学(文)

银川一中2020届高三年级第五次月考
文 科 数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}8,7,6,5,4,3,2,1,0=U ,{
}6,4,3,1=A ,{}8,7,5,2,1,0=B ，则=)(B C A U I A ．{}6,4,3 B ．{
}6,3,1 C ．{}5,4,3 D ．{}6,4,1 2．已知(,)a bi a b +∈R 是i
i +1的共轭复数，则bi a += A ．1 B ．21 C ．2 D ．2
2 3．下列说法中，正确的是
A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题
B ．命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是“x R ∀∈，20x x -≤”
C ．命题“p 且q ”为假命题，则命题“p ”和命题“q ”均为假命题
D ．已知x R ∈，则“2>x 是4>x ”的充分不必要条件
4．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与圆25)5(22=+-y x 的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为
A ．x 25－y 220＝1
B ．x 225－y 220＝1
C ．x 220－y 25＝1
D ．x 220－y 225＝1
5．若3
3)2sin(=+π
α，则α2cos = A ．31 B ．32 C ．31- D ．3
2- 6．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =
A ．2744n n +
B ．2533n n +
C ．2324n n +
D ．2n n +
7．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b
+=>>3双曲线222=-y x 的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为
A ．18
1222=+y x B ．221126y x += C ．221164
y x += D ．221205y x += 8．执行如图所示的程序框图，若输入n =10，则输出的S 的值是
A ．910
B ．1011
C ．1112
D ．
922 9．已知向量)3,3(=a ρ在向量)1,(n b =ρ方向上的投影为3，则a ρ与b ρ的夹角为
A ．300
B ．600
C ．300或1500
D ．600或1200
10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝22
3，
b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为
A ．π3
B ．π6
C ．π9
D ．π12
11．已知直线)0(02>=+-k k y kx 与抛物线C x y 82=相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若FB FA 2=,
则=
A ．31
B ．32
C ．32
D ．3
22 12．已知对任意的[1,e]x ∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln e 0y x y a +-=成立，其中e 为自然对
数的底数，则实数a 的取值范围为
A ．[1,e]
B ．1(1,e 1)e ++
C ．1(,1e]e +
D ．1(1,e]e
+
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[2,0]x ∈-时，()2x f x =-，
则(5)f =______．
14．实数,x y 满足2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩
,则y x z 2+=的最大值是_____________．
15．过点A (6,1)作直线与双曲线2-4y 2
=16相交于两点B ,C ,且A 为线段BC 的中点,则直线的方程（表示为
一般式）为 ．
16．表面积为π20的球面上有四点S ,A ,B ,C 且ABC ∆是边长为32的等边三角形，若平面⊥SAB 平面ABC ，则三棱锥ABC S -体积的最大值是__________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题
考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：(共60分)
17．(12分） 已知函数12
cos 2)3cos()(2-+-=x x x f π
． （1）求()f x 的最大值并求取得最大值时x 的集合；
（2）记ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，若3)(=B f ，1=b ，3=
c ，求a 的值．
18． (12分)
已知数列{}n a 满足2
11=a 且131+=+n n a a ． （1）证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 是等比数列；
（2）设数列{}n b 满足11=b ，211+
=-+n n n a b b ，求数列{}n b 的通项公式． 19．(12分)
如图,在四棱锥P -ABCD 中,平面PAB ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,△PAB 为等边三角形,E 是PB 中点,平面AED 与棱PC 交于点F ．
(1)求证AD ∥EF ;
(2)求证PB ⊥平面AEFD ;
(3)记四棱锥P -AEFD 的体积为V 1,四棱锥P -ABCD
的体积为V 2,直接写出2
1V V 的值．
20．(12分)
在直角坐标系Oy 中，动点P 与定点F (l ，0)的距离和它到定直线＝4的距离之比是12
，设动点P 的轨迹为E 。

(1)求动点P 的轨迹E 的方程；
(2)设过F 的直线交轨迹E 的弦为AB ，过原点的直线交轨迹E 的弦为CD ，若AB //CD ，求证：2CD AB
为定值.
21．(12分) 设()ln x
a f x
b x e =-，其中,a b R ∈，函数f ()在点(1，f (1))处的切线方程为12(1)1y x e e
=-+++，其中 2.7182e ≈ (1)求a 和b 并证明函数f ()有且仅有一个零点；
(2)当∈(0，＋∞)时，()k f x ex
<
恒成立，求最小的整数的值.
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系Oy 中，曲线1C 的参数方程为))2,0[(sin 3cos π∈θ⎩⎨⎧θ=θ= y x ，曲线2C
的参数方程为122(x t t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
为参数)． (1)求曲线1C ，2C 的普通方程；
(2)求曲线1C 上一点P 到曲线2C 距离的取值范围．
23．[选修4－5：不等式选讲]
已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--
（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；
（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.
银川一中2020届高三年级第五次月考（文科）参考答案
一、选择题： 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答
案
A D
B A
C A
D B A C D D 二、填空题
13. 21-
14. 25 15. 3-2y-16=0 16. 三、 解答题
17.解析：
（1）)3sin(3)(π+
=x x f .....................................................2分 最大值为3，此时z k k x ∈+=+,223ππ
π.......................................4分
故取得最大值时x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=
z k k x x ,26|ππ............................6分 （2）因为3)(=B f 所以1)3sin(=+
πB 由π<<B 0得6π
=B .......................................................8分
又因为B ac c a b cos 2222-+=
所以0232=+-a a ..................................................... 10分 所以21==a a 或..........................................................12分
18.解析：（1）131+=+n n a a
)21(3211+=+
+n n a a ......................................................2分 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧
+21n a 是首项为1公比为3的等比数列...................................4分
（2） 由（1）可知
1321-=
+n n a ..................................................................6分 所以2
131-=-n n a 因为211+
=-+n n n a b b 所以113-+=-n n n b b ..........................................8分 2
,3......
33211
230
12≥=-=-=---n b b b b b b n n n
所以2213...3311-++++=-n n b ...............................................10分 2
131+=-n n b ......................................................................12分 19.(1)证明 因为ABCD 为正方形,所以AD∥BC.
因为AD ⊄平面PBC,BC ⊂平面PBC,
所以AD∥平面PBC............................................................2分 因为AD ⊂平面AEFD,平面AEFD∩平面PBC=EF,
所以AD∥EF.....................................................................4分
(2)证明 因为四边形ABCD 是正方形,所以AD⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AD ⊂平面ABCD,
所以AD⊥平面PAB.
因为PB ⊂平面PAB,所以AD⊥PB............................................6分
因为△PAB 为等边三角形,E 是PB 中点,所以PB⊥AE.
因为AE ⊂平面AEFD,AD ⊂平面AEFD,AE∩AD=A,
所以PB⊥平面AEFD........................................................8分
(3)解 由(1)知,V 1=V C-AEFD ,V E-ABC =V F-ADC =V C-AEFD =V 1,.................................10分
∴V BC-AEFD =V 1,则V P-ABCD =V 1+V 1=V 1,
∴................................................12分
21.（1）'()x a b f x e x =--，所以'1(1)(1)a f b e e
=--=-+ ……2分 当1x =时，1y e =，即1(1)a f e e ==，解得1a b == ……4分 '11()0x f x e x
=--<，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调减 由于1(1)0f e => 1()10e f e e
=-< 则函数()f x 有且仅有一个零点．……6分 （利用趋势或者极限思想说明也可给7分，仅说明单调性给5分） （2）一方面，当1=x 时，1(1)k f e e =
<，由此2k ≥； 当2k =时，下证：2()f x ex <
，在(0,)x ∈+∞时恒成立， 2122()ln ln x x x f x x x x ex e ex e e
<⇔-<⇔-< ……8分 记函数()x x g x e =，'1()x x g x e -=，()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减 1()(1)g x g e
≤=； ……10分 记函数()ln h x x x =，'()1ln h x x =+，()h x 在)1
,0(e 上单调减，在1(,+)e ∞上单调减 11()()h x h e e ≥=-，即1()h x e -≤-
； 112ln ()(())x x x x g x h x e e e e
-=+-≤+=，成立 又因为g()和h()不能同时在同一处取到最大值，
所以当(0,)x ∈+∞时，ex
x f 2)(<恒成立 所以最小整数2k =． ……12分
（此题用其他方法证明也可酌情给分）
22.解：由题意，cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），则cos sin 3
x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，平方相加， 即可得1C ：2
2
y x 19+=， ……2分
由122(2x t t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
为参数），消去参数，得2C
：)y x 2=+，
y 0++=. ……4分
（2）设()P cos α,3sin α，
P 到2C
的距离d =
= ……6分 ∵[)α0,2π∈，当πsin α16⎛
⎫+= ⎪⎝⎭时，即πα3
=
，max d = 当πsin α16⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭时，即4πα3
=，min d 0=. ……8分
∴取值范围为0,⎡⎣. ……10分
23.解：（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<； ……2分 当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(1)0x ->，显然成立， 此时解集为(,1)-∞；
当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集； 当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集；
综上，原不等式的解集为(,1)-∞； ……5分
（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意； ……7分 当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a
-≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；
……9分 综上，a 的取值范围是[1,)+∞. ……10分。