育才中学初2017届17-18学年(下)二诊试题——数学

重庆市育才中学初2017届初三（下）第二次诊断性考试
数学试题
（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡（卷）上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡（卷）上的注意事项．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。

1．在 2.5-，1
3
，0，2这四个数中，最小的数是（▲）
A ． 2.5-
B ．13
C ．0
D ．2
2．计算23(2)x -的结果是（▲）
A ．56x -
B ．68x -
C ．66x -
D ．58x -
3．下列图案属于轴对称图形的是（▲）
A B C D
4．下列调查中，调查方式选择正确的是（▲）
A ．为了了解全市中学生课外阅读情况，选择全面调查
B ．端午节期间，我市食品安全检查部门调查市场上粽子的质量情况，选择全面调查
C ．旅客上飞机前的安检，选择抽样调查
D ．为了了解《人民的名义》的收视率，选择抽样调查 5．当2,3a b =-=，则223a b -+的值（▲）
A ．7-
B ．1
C ．4
D ．6 6．∆ABC 与∆DEF 的相似比为1：3，则∆ABC 与∆DEF 的面积比为（▲）
A ．1：3
B ．1：6
C ．1：9
D ．1：16
7．函数y =
中，自变量x 的取值范围是（▲） A ．2x ≠ B ．1x ≥- C ．1x >-且2x ≠
D ．1x ≥-且2x ≠
8. 如图，点B 、C 把
AD 分成三等分，ED 是⊙O 的切线，过点B 、C 分别作半径
的垂线段，已知∠E =45°，半径OD =2，则图中阴影部分的面积是（▲）
A ．π
B ．
π C ．
π D ．π
A
B
9
A ．3和4之间
B ．4和5之间
C ．5和6之间
D ．6和7之间
10．如下图，每一幅图中均含有若干个菱形，第①幅图中含有1个菱形；第②幅图中含有5个菱形；……按这样的规律下去，则第⑦幅图中含有的菱形的个数为（▲）
① ② ③ A ．50 B ．80 C ．91 D ．140 11．如图，为测量一座山峰CF 的高度，将此山的某侧山坡划分为AB 和BC 两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB =800米，BC =200米，斜坡AB 的坡度1:2i =，仰角∠CBE =50°.则山峰的高度CF 约为（▲）米.（可用的参考数据：sin 50°≈0.8，tan 50°≈1.2,
2.24≈）
A ．500
B ．518
C ．530
D ．580
12．如果关于x 的分式方程11222ax x x -+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)
1
22
x x x x a ≥-⎧⎪
⎨--<⎪⎩有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（▲）
A ．3-
B ．2-
C ．7-
D ．6-
二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填在答卷中对应的横线上． 13．“互联网+”已全面进入人们的日常生活，据有关部门统计，目前全国4G 用户数达到468000000户，则数字468000000用科学记数法表示为 ．
14
101
1()20172
-+-= ．
15．如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D =42°，则∠CAB 的度数为
．
第15题 第16题 第17题
16．在学校演讲比赛中，10名选手的成绩统计图如图所示，则这10名选手成绩的平均分是 分． 17．甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，甲车匀速前往B 地，到达B 地立即以另一速度按原路匀速返回到A 地；乙车匀速前往A 地，中途与乙相遇后休息了一会儿，然后以原来的速度继续行驶直到A 地．设甲、乙两车距A 地的路程为y （千米），甲车行驶的时间为x （时），y 与x 之间的函数图象如图所示，则乙
18．在正方形ABCD中，AB=2，E是边BC的中点，F是AB上一点，线段AE、
CF交于点G，且CE=EG，将∆ABF沿CF翻折，使得点B落在点M，连接GM并延长
交AD于点N，则∆AGN的面积为．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题都必须写出必
要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．如图，AB∥CD，∠CDE=120°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，求∠F的度数．
20．某校团委为积极参与“陶行知杯∙全国书法大赛”现场决赛，向学校学生征集书画作品．今年3月份举行了“书法比赛”初赛，初赛成绩评定为A，B，C，D，E五个等级，该校七年级书法班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）该校七年级书法班共有名学生；扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角等于度；并补全条形统计图；
（2）A等级的4名学生中有2名男生，2名女生，现从中任意选取2名学生参加“陶行知杯∙全国书法大赛”现场决赛，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率．
四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）解答时每个小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
21．化简：（1）21)(21)(1)(32)
x x x x
+--+-
（（2）
2
2
816121
(2)
224 x x
x
x x x x
-+
÷---
+++
22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，与反比例函数(0)k
y k x =≠的
图象在第二象限交于点C ，CE ⊥x 轴，垂足为点E ，sin ABO ∠=
OB ＝2，OE ＝1． （1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D 作DF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OD 、BF ，如果S ∆BAF ＝4S ∆DFO ，求点D 的坐标.
23．暑期临近，重庆市某中学校为了丰富学生的暑期文化生活，同时帮助孩子融洽亲子关系，增进亲子间的情感交流，计划组织学生去某景区参加为期一周的“亲子一家游”活动. 若报名参加此次活动的学生人数共有56人，其中要求参加的每名学生都至少需要一名家长陪同参加.
（1）假设参加此次活动的家长人数是参加学生人数的2倍少2人，为了此次活动学校专门为每名学生和家长购买一件T 恤衫， 家长的T 恤衫每购买8件 赠送1件学生T 恤衫（不足8件不赠送），学生T 恤衫每件15元，学校购买服装的费用不超过3401元，请问每件家长T 恤衫的价格最高是多少元？
（2）已知该景区的成人票价每张100元，学生票价每张50元，为了支持此次活动，该景区特地推出如下
优惠活动：每张成人票价格下调%a ，学生票价格下调1
%2a . 另外，经统计此次参加活动的家长人数比学
生人数多%a , 参加此次活动的购买票价总费用比未优惠前减少了6
%7
a %，求a 的值.
24．已知等腰Rt ∆ABC 与等腰Rt ∆CDE ，∠ACB =∠DCE =90°.把Rt ∆ABC 绕点C 旋转.
（1）如图1，当点A 旋转到ED 的延长线时，若BC =
，BE =5，求CD 的长； （2）当Rt ∆ABC 旋转到如图2所示的位置时，过点C 作BD 的垂线交BD 于点F ，交AE 于点G ，求证：BD =2CG .
五、解答题：（本大题2个小题，第25题10分，第26题12分，共22分）解答时每个小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
25．一个形如abcde 的五位自然数（其中a 表示该数的万位上的数字，b 表示该数的千位上的数字，c 表示该数的百位上的数字，d 表示该数的十位上的数字，e 表示该数的个位上的数字，且0,0a b ≠≠），若有,a e b d ==且c a b =+，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自然数12321中，3=2+1，则12321是一个“对称数”. 同时规定：若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差被693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”.如在“对称数”43734中，224334693-=，则43734是一个“智慧对称数”． （1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”。

例如：12321与21312为一组“相关对称数”， 求证：任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数； （2）求出所有的“智慧对称数”中的最大“智慧对称数”．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y =
x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．
（1）判断∆ABC 的形状，并说明理由；
（2）如图1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点E ．当∆PBC 面积的最大值时，点F 为线段BC 一点（不与点、重合），连接EF ，动点G
从点E 出发，沿线段EF 以每秒1个单位的速度运动到点F ，再沿FC 个单位的速度运动到点C 后停止，当点F 的坐标是多少时，点G 在整个运动过程中用时最少？
（3）如图2，将∆ACO 沿射线CB 个单位的速度平移，记平移后的∆ACO 为111A C O ∆，连接1AA ,直线1AA 交抛物线与点M ，设平移的时间为t 秒，当1AMC ∆为等腰三角形时，求t 的值．
图1 图2
数学参考答案
一、选择题.(每小题4分,共48分)
1—5 ABDDB 6—10 CDCCD 11—12 BA 二、填空题.(每小题4分,共24分)
13. 8
1068.4⨯ 14. 23 15. 48° 16.5.88 17. 150 18. 5
516
三、解答题.(每小题8分，共16分)
19. 解：∵AB ∥CD ，∠CDE=120°，∴∠AED=180°﹣120°=60°，∠DEB=120°．
∵GF 交∠DEB 的平分线EF 于点F ，∴∠GEF=×120°=60°，∴∠GEF=60°+60°=120°． ∵∠AGF=130°，∴∠F=∠AGF ﹣∠GEF=130°﹣120°=10°．
20. 解：(1)由题意可知总人数=4÷8%=50人；
扇形统计图中C 等级所对应扇形的圆心角=20÷50×100%×360°=144°； 补全条形统计图如图所示：
(2)列表如下：
得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种， 所以恰好选到1名男生和1名女生的概率=3
2128=．
四、解答题.(每小题10分，共40分)
21.解： 解：（1）原式12+-=x x (2)原式=
)
4(4-+x x 22. 解：(l)∵OB ＝2，OE ＝1，∴BE ＝OB ＋OE ＝3.∵CE ⊥x 轴,∴∠CEB ＝90°. 在Rt △BEC 中，∵sin ∠ABO ＝
5
5
，∴CE BE ＝12．则CE ＝1.5.
结合图象可知C 点的坐标为（一1，1.5），
反比例函数解析式为y ＝x
23-． (2)解：∵点D 是y ＝x 23-的图象上的点，且DF ⊥y 轴，∴S △DFO ＝12×23＝4
3
.
∴S △BAF ＝4S △DFO ＝4×
4
3
＝3.∴12AF •OB ＝3.∴12×AF ×2＝3.
∴AF ＝3.∴OF ＝AF －OA ＝3－1＝2. ∴点D 的纵坐标为-2，则点D 的横坐标为4
3
∴D （
4
3
，一2）．
23. 解：（1）∵参加此次活动的家长人数是参加学生人数的2倍少2人， ∴家长人数为56×2-6=106人 ∵106÷8=13.25， ∴可赠送13件学生T 恤衫， 设每件家长T 恤衫的价格是x 元，
根据题意可得106x +15（56﹣13）≤3401，解得：x ≤26． 答：每件家长T 恤衫的价格最高是26元． （2）根据题意得：
%),
76
1](5056%)1(56100[%)211(5056%)1(56%)1(100a a a a a -⨯++⨯=-⨯++⨯-
令a%=y ，原方程化为：
),
7
6
1](2800)1(5600[)211(2800)1)(1(5600y y y y y -++=-++- 整理得：4y 2﹣y=0，
解得：y=0.25，或y=0（舍去），
则a%=0.25，∴a=20； 答：a 的值为20．
24. 解：（1）∵∠ACB =∠DCE =90°,∴∠BCE=∠ACD, ∵等腰Rt △ABC 和等腰Rt △CDE 中，BC=AC,CE=CD, ∴△ACD ≌△BCE,∴BE=AD=5, ∠EBC=∠DAC,
∵∠ACB =90°,∴∠AEB =90°, ∵2
213=BC ,∴AB=13,∴由勾股定理求得AE=12，
∴DE=AE-AD=12-5=7，∴CD=
2
2
7; (2)延长CG 至H,使得CH=DB,连接EH
∵∠CFD =∠DCE =90°,∴∠CDF=∠ECH,∵CD=CE,
∴△BCD ≌△HEC,∴EH=BC, ∴∠H=∠CBD, ∵AC=CB ∴EH=AC ∵∠CFB =∠ACB =90°,∴∠HCA=∠CBD,∴∠H=∠HCA, ∵∠HGE=∠CGA,HE=AC ， ∴△EHG ≌△ACG,∴CG=GH, ∴CH=2CG ,
（方法不唯一）
25. 证明：由题意知：任意一个五位“对称数”都为此形式abcba （b a ,分别取1,2,…,9且0≠c ）
（1）设任意的两个“相关对称数”分别为abcba ，bacab （b a ,分别取1,2,…,9且0≠c ）
b a
c += ∴ )(11211)(1110)(10101b a b a b a bacab abcba +=+++=+
∴“相关对称数”之和是11211的倍数 最小“对称数”为11211. ∴两个“相关对称数数”之和是最小“对称数”的倍数.
（2）由（1）知五位“对称数”形式为abcba . 若此“对称数”为“智慧对称数”，
)(99)10()10(2222b a a b b a -=+-+∴，且22b a -被7的奇数倍整除.
91≤≤a ，.91≤≤b
808022≤-≤-∴b a ，
∴77,63,49,35,21
,722±±±±±±=-b a ， 当722=-b a 时，7,3,4===c b a ， 当722-=-b a 时，7,4,3===c b a ，
当2122=-b a 时，7,2,5===c b a ；当2122-=-b a 时，7,5,2===c b a ， 当3522=-b a 时，7,1,6===c b a ；当3522-=-b a 时，7,6,1===c b a ， 当4922=-b a 时，不符合题意；当4922-=-b a 时，不符合题意.
当6322=-b a 时，9,1,8===c b a ；当6322-=-b a 时，9,8,1===c b a ， 当7722=-b a 时，不符合题意；当7722-=-b a ，不符合题意.
∴所有的“智慧对称数”为：8,18981.16761,8191752,61716,3,52725,2543734,3474
∴最大的“智慧对称数”为81918.
26.解：（1
）∵抛物线2y x =
x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．
∴求得A （-1,0），B(3，0), C(0，3-)
则易得∠ACO=300, ∠OCB=600
,
∴则可得∠ACB=900
,所以△ABC 为直角三角形
.
(2) P 点的横坐标为m ，
P ∴
点的纵坐标为233
m - 设直线BC 的解析式为(0)y kx b k k b =+≠，、是常数，
依题意，得30
k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩
k b ⎧=
⎪∴⎨⎪=⎩
故直线BC
的解析式为y x =
- ∴点F
的坐标为m ⎛ ⎝
2
(03)3
PF m m ∴=-
<< PBC △的面积12
CPF BPF S S S PF BO =+=
△△·
=2
213322m ⎛⎫⎫⨯+⨯=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3PBC △
11 ∴点E 的坐标为()0,23
,
过点F 作FN ⊥x 轴于点N,
∵∠OCB=600,则3
32FC
FN =
∴点G 的运动时间t=3
321FC
EF +=EF+FN ，
要使点G 的运动时间t 最少，则EF+FN 的值最小 作点E 关于CB 的对称点)343,49('-E ,过点‘E 作‘
E H ⊥y 轴于H ，‘E H 与BC 的交点即为所求的点F
所以点F 的坐标为（），43
3-43
（3）由平移的性质可知1AA ∥BC, ∵直线BC
的解析式为3y x =-∴易求得1AA 的解析式为33
33+=x y ，
连立二次函数解得M()335
,4, 由题意得)33
3,(,33
211t t C t CC +-= ∴3112
34034,434,310022
122
12+-=+==t t MC t AC MA
①当11MC AC =时，解得25
=t ；
②当AM AC =1时，解得222221-==t t ，（舍去） ③当1MC AM =时，解得22522-521+==t t ， 综上可得，当1AMC ∆为等腰三角形时，则t 的值25=t 或22=t 或22522-5+==t t 或。