(好题)高中数学必修四第一章《三角函数》测试卷(答案解析)(2)

一、选择题
1．设函数5()sin 26
f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（ ） A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 2．已知关于x 的方程2cos ||2sin ||20(0)+-+=≠a x x a a 在(2,2)x ππ∈-有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,0)(2,)-∞+∞ B ．(4,)+∞ C ．(0,2)
D ．(0,4)
3．将函数sin()y x ϕ=+的图像上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移12
π
个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=( )
A ．12
-
B ．
12
C ．
D ．
2
4．已知函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，
0πϕ-<<）的图象关于点,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，且其相邻对称轴间的距离为
23π
，将函数()f x 的图象向左平移3
π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ）
A ．()f x 的最小正周期23
T π
= B ．58
πϕ=-
C ．()317cos 2
48πx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
D ．()g x 在0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,82ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
5．设函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=++><
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，其图象关于直线3
x π
=
对称，则下列说法正确是（ ）
A ．()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上单调递减； C ．()f x 的一个对称中心是7,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
； D ．将()f x 的图象向左平移
1
2
ϕ个单位长度得到函数3sin 21y x =+ 的图象. 6．如果一个函数在给定的区间上的零点个数恰好为8，则称该函数为“比心8中函数”.若函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上的“比心8中函数”，则ω的取值范围是（ ） A ．4149,66⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ B ．4953,66⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ C ．3741,66⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ D ．[8,9)
7．函数1sin3y x =-的图像与直线3
x π
=，53
x π
=及x 轴所围成的图形的面积是（ ） A ．
23
π B ．π
C ．
43
π D ．
53
π 8．已知函数()tan()0,02f x x π
ωϕϕω⎛⎫
=+<<
< ⎪⎝
⎭
最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则方程
()sin 2([0,])3f x x x π⎛
⎫=+∈π ⎪⎝⎭所有解的和为（ ） A ．
76
π
B ．
56
π C ．2π
D ．
3
π 9．已知函数()sin 213f x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
，下列说法错误的是（ ） A ．3π是函数()f x 的一个周期 B ．函数()f x 的图象关于,13π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称 C ．函数的一条对称轴为712
x π
= D ．函数图象向左平移
6
π
个单位后关于y 轴对称 10．设函数()()sin 16f x x N πωω*
⎛⎫
=-+∈ ⎪⎝
⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则下述结论： ①()f x 关于,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称；②()f x 关于直线23x π=轴对称；
③()f x 在,2ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；④方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根. 其中正确结论的编号是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
11．已知函数
1,01 ()11
sin,14
242
x x
f x x
x
π
+≤≤
⎧
⎪
=⎨
+<≤
⎪⎩
，若不等式2()()20
f x af x
-+<在[]
0,4
x∈上恒成立，则实数a的取值范围为（）
A．3
a>B．23
a
<<C．22
a>D．
9
2
a>
12．已知函数()tan()0,
2
f x x
π
ωϕωϕ
⎛⎫
=+≠<
⎪
⎝⎭
，点
2
,0
3
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
和
7
,0
6
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
是其相邻的两个对称中心，且在区间
54
,
63
ππ
⎛⎫
⎪
⎝⎭
内单调递减，则ϕ=（）
A．
6
π
B．
6
π
-C．
3
π
D．
3
π
-
二、填空题
13．若函数()()()
4sin0
f x x
ωϕω
=+>对任意的x都有()
3
f x f x
π
⎛⎫
+=-
⎪
⎝⎭
，则6
f
π⎛⎫
⎪
⎝⎭
的值是___________.
14．函数()()
sin
f x x
ωϕ
=+的部分图象如图所示，则()
f x的单调递增区间为
___________．
15．已知函数()
f x的定义域为R，且()2()
f x f x
π
+=，当[0,)
xπ
∈时，
()sin
f x x
=．若存在
(,]
x m
∈-∞，使得
()43
f x≥m的取值范围为________．
16．如图，某公园要在一块圆心角为
3
π
，半径为20m的扇形草坪OAB中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF，若//
EF AB，则文化景观区域面积的最大值为______2
m.
17．若函数()cos()(0)4f x wx w π
=+>在[]0,π的值域为212⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦，，则w 的取值范围是
______
18．已知函数()sin cos f x a x x =+的一条对称轴为3
x π
=
，则a =______；
19．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()3f x f x +=-，且()12019f -=，则
()2020f =______.
20．如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++，则这段曲线的函数解析式为______________．
三、解答题
21．函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求()f x 取最小值时的自变量x 的集合. 22．已知函数π()3sin 26f x x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
． （1）用“五点法”画出函数()y f x =在一个周期内的简图；
（2）说明函数()y f x =的图像可以通过sin y x =的图像经过怎样的变换得到？
（3）若003
()[2π3π]2
f x x =∈，，，写出0x 的值. 23．游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心城区城市美景，远眺岳麓山，俯瞰橘子洲，饱览湘江风光.据工作人员介绍，该摩天轮直径约100米，摩天轮的最低处P 与地面的距离为20米，设有60个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口(人口在摩天轮距地面的最低处)处等待，当座舱到达最低处P 时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟.以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）试将游客甲离地面的距离()h t (单位：米)表示为其坐上摩天轮的时间t (单位：分钟)的函数；
（2）若游客乙在甲后的5分钟也在点P 处坐上摩天轮，求在乙坐上摩天轮后的多少分钟时甲乙的离地面距离之差首次达到最大.
24．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中π
0,(0,)2
ωϕ>∈．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求： （Ⅰ）()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）()f x 在区间[0,
]2
π
的最大值和最小值．
条件①：函数()f x 最小正周期为π； 条件②：函数()f x 图象关于点π
(,0)6
-对称； 条件③： 函数()f x 图象关于π
12
x =
对称． 25．如图，有一矩形空地ABCD ，240AB BC ==米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB 边中点O 处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是
60EOF ∠=︒，其中E 、F 分别在边BC ，CD 上．
（1）若30BOE ∠=︒，求四边形OECF 的面积； （2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积． 26．已知函数2()322cos 1f x x x =
+-．
（I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）求函数()f x 的单调增区间； （III ）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
根据题意有()5sin 226
g x x ϕπ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
-
，若()g x 为偶函数则52()62k k Z ππ
πϕ-
=+∈，结合0ϕ>可得出答案. 【详解】 解：由题意可得()()55()sin 2sin 2266g x f x x x πϕϕϕπ⎛
⎫⎛
⎫=+=+-=+ -⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
因为()g x 为偶函数，则52()62k k Z πππϕ-
=+∈，即2()32
k k Z ππ
ϕ=+∈ 因为0ϕ>，所以当1k =-时ϕ取得最小值6
π
. 故选：A. 【点睛】
应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；
（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；
（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.
2．D
解析：D 【分析】
令2
()cos ||2sin ||2(0)=+-+≠f x a x x a a ，易知函数()f x 是偶函数，将问题转化为研
究当(0,2)x π∈时，2
()cos 2sin 2=+-+f x a x x a 有两个零点，令sin t x =，则转化为
2()22(0)=--≠h t at t a 有一个根(1,1)t ∈-求解.
【详解】
当(2,2)x ππ∈-，2
()cos ||2sin ||2(0)=+-+≠f x a x x a a ，则()()f x f x -=，
函数()f x 是偶函数，
由偶函数的对称性，只需研究当(0,2)x π∈时，2
()cos 2sin 2=+-+f x a x x a 有两个零
点，
设sin t x =，则2
()22(0)=--≠h t at t a 有一个根(1,1)t ∈- ①当0a <时，2()22=--h t at t 是开口向下，对称轴为1
0t a
=
<的二次函数， (0)20h =-<则(1)0->=h a ，这与0a <矛盾，舍去；
②当0a >时，2()22=--h t at t 是开口向上，对称轴为1
0t a
=>的二次函数， 因为(0)20h =-<，(1)220-=+->=h a a ， 则存在(1,0)t ∈-，只需(1)220=--<h a ，解得4a <， 所以04a <<．
综上，非零实数a 的取值范围为04a <<． 故选：D ． 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
3．C
解析：C 【分析】
先根据条件写出图像变换后的函数解析式，然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数，由此得到ϕ的表示并计算出sin 2ϕ的结果. 【详解】
因为变换平移后得到函数sin 26y x π
ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，由条件可知sin 26y x πϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
为奇函数，
所以
6k π
ϕπ+=，sin 2sin 2sin 332k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选C ． 【点睛】
本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值，难度一般.正弦型函数
()()sin f x A x =+ωϕ为奇函数时,k k Z ϕπ=∈，为偶函数时,2
k k Z π
ϕπ=+∈.
4．D
解析：D 【分析】
首先根据三角函数的性质，可知相邻对称轴间的距离是半个周期，判断A ；再求函数的解析式，判断B ；根据平移规律得到函数()g x ，判断C ；最后根据函数()g x 的解析式，利用整体代入的方法求函数的单调递减区间. 【详解】
相邻对称轴间的距离是半个周期，所以周期是
43
π
，故A 不正确； 243
T π
πω
=
=
，解得：32ω=，
()f x 的图象关于点,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，3,282k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，
解得：5,16
k k Z π
ϕπ=
+∈ 0πϕ-<<, 1116
π
ϕ∴=-
，故B 不正确； ()3
11cos 2
16f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向左平移3π个单位长度后得
()3113
3cos cos 2316216g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦ 故C 不正确； 当02
x π
≤≤
时，
3339,2161616x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当3390,21616x ππ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
时，函数单调递减，即 ,82x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，故D 正确.
故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是根据三角函数的性质求得函数()f x 的解析式，第四个选项是关键，需根据整体代入的方法，先求
33216
x π-的范围，再确定函数的单调递减区间. 5．D
解析：D 【分析】
先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上可判断A ，求得函数的单调区间及对称中心即可判断选项BC ，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可判断D. 【详解】
函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=++>< ⎪⎝
⎭的最小正周期是π
所以22π
ωπ
=
=，则()()3sin 21f x x ϕ=++，
()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线3
x π
=
对称,
对称轴为2,2
x k k Z π
ϕπ+=+∈,代入可得2,3
2
k k Z ππ
ϕπ⨯+=
+∈，
解得,6k k Z π
ϕπ=-
+∈，因为,22ππϕ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，所以当0k =时, 6πϕ=-， 则()3sin 216f x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
， 对于A,当0x =时,()31
03sin 11622
f π
=-+=-+=- ，所以错误； 对于B,()3sin 216f x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
的单调递减区间为3222,262
k x k k π
ππ
ππ+-+∈Z ≤≤， 解得
5,3
6k x k k Z π
πππ+≤≤
+∈，因为123ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上不是减函数,所以错误； 对于C ，773sin 213sin 11012126f π
πππ⎛⎫⎛⎫
=⨯-+=+=≠
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，所以7,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心，所以错误；
对于D ，
1212πϕ=，将()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π
个单位长度得到可
得3sin 213sin 21126y x x ππ⎡⎤
⎛
⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，所以能得到3sin 21y x =+的图象,所以正确. 故选: D. 【点睛】
本题考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，关键点是根据已知条件先求出正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.
6．A
解析：A 【分析】
根据题意问题转化为方程1
sin()2
x ωπ=在区间[0,1]上有8个解，根据正弦函数的图像与性质可求得1sin()2x ωπ=
在区间[0,1]上取第8个解为416x ω=、第9个解为496x ω
=，则4149
166ωω≤<，解不等式即可. 【详解】
根据题意，函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上零点个数为8，即方程
1
sin()2
x ωπ=在区间[0,1]上有8个解， ∴26
x k π
ωππ=
+或52,6
x k k Z π
ωππ=
+∈， 当0k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第1个解16x ω=，取第2个解56x ω=； 当1k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第3个解136x ω=，取第4个解176x ω=； 当3k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第7个解376x ω=，取第8个解416x ω=； 当4k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第9个解49
6x ω
=
. 则
4149166ωω≤<，解得4149
66ω≤<. 故选：A
7．C
解析：C 【分析】
作出函数1sin3y x =-的图像，利用割补法，补成长方形，计算面积即可. 【详解】
作出函数1sin3y x =-的图象，如图所示，
利用割补法，将2
3
π到π部分的图象与x 轴围成的图形补到图中3π到23π处阴影部分，凑
成一个长为
3π，宽为2的长方形，后面π到5
3π，同理；∴1sin3y x =-的图象与直线3x π
=，53
x π=及x 轴所围成的面积为24233ππ⨯=，
故选：C. 【点睛】
用“五点法”作()sin y A ωx φ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取
0，
2
π，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图
象． 8．A
解析：A 【分析】
先根据()f x 的最小正周期计算出ω的值，再根据图象过点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
结合ϕ的范围求解出ϕ
的值，再根据条件将方程变形，先确定出tan 23x π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值，然后即可求解出方程的根，由此确定出方程所有解的和. 【详解】
因为()f x 的最小正周期为2
π，所以2
2
π
ωπ==，
又因为()f x 的图象过点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭，所以2tan 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
， 所以
2,3
k k Z ϕππ+=∈，又因为02πϕ<<，所以3π
ϕ=且此时1k =，
所以()sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，即tan 2sin 233x x ππ⎛⎫
⎛
⎫+
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 即tan 2cos 21033x x ππ⎡
⎤⎛
⎫⎛
⎫+
+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦， 又因为tan 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，cos 213x π⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，
所以tan 2cos 210tan 2=0333x x x πππ⎡
⎤⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫+
+-=⇔+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦， 因为[]0,x π∈，所以72,333x πππ⎛
⎫⎡⎤
+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
， 当tan 2=03x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭时，23
x ππ+=或223x ππ+=，解得3x π=或56x π
=， 所以方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛
⎫
=+∈ ⎪⎝
⎭所有解的和为5736
6
ππ
π
+=
. 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是通过分析方程得到tan 2=03x π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
，此处需要注意不能直接约去tan 23x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
，因为需要考虑tan 2=03x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的情况. 9．D
解析：D 【分析】
根据正弦函数性质周期，对称性，图象变换判断各选项． 【详解】
函数()f x 的最小正周期为π，故3π是函数()f x 的一个周期，A 正确； 当3
x π
=时，sin 203x π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
，故B 正确； 当712x π=
时，函数()f x 取得最小值，712
x π=为对称轴，C 正确； 函数图象向左平移
6π
个单位后函数解析式为sin 2163y x ππ⎡⎤⎛⎫=+++ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，即2sin 213y x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
，不是偶函数，图象不关于y 轴对称，D 错误． 故选：D. 【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，考查周期的概念，对称轴与对称中心、奇偶性等性质，属于
基础题．
10．D
解析：D 【分析】
利用题干中的已知条件求得2ω=，可得出()sin 216f x x π⎛⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
，利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误，利用正弦型函数的值域可判断③的正误，求出方程()1f x =在[]0,2π上的解，可判断④的正误. 【详解】
N ω*∈，由55,126x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
可得55126666x πωπππωπω-≤-≤-，
由于函数()()sin 16f x x N πωω*
⎛
⎫
=-
+∈ ⎪⎝
⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦上单调递减， 所以，()553,2,21266622k k k Z πωππωπππππ⎡⎤⎡⎤
--⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 所以，521262
5326
62k k ωππππωππππ⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()248121055k k k Z ω++≤≤∈，
由
248121055
k k ++≤，解得16k ≤，
N ω*
∈且k Z ∈，0k ∴=，可得
825ω≤≤，2ω∴=，则()sin 216f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭.
对于①，
sin 2sin 00126ππ⎛
⎫⨯-== ⎪⎝⎭
，所以，112f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 所以，函数()f x 的图象关于点,112π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称，①错误； 对于②，
271sin 2sin 13662πππ⎛
⎫⨯-==-≠± ⎪⎝
⎭，②错误；
对于③，当,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦时，5112,666x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦
，则11sin 262x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以，()302f x ≤≤，即()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，③正确； 对于④，当[]0,2x π∈时，232,666x π
ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
， 令()1f x =，可得sin 206x π⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭，206
x π∴-=或26x ππ-=或226x π
π-=或
236
x π
π-
=.
所以，方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根，④正确. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或
()cos y A x k ωϕ=++的形式；
第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
11．D
解析：D 【分析】
这是一个复合函数的问题，通过换元()t f x = ，可知新元的范围，然后分离参数，转为求函数的最大值问题，进而计算可得结果. 【详解】
由题可知当[]0,1x ∈时，有[]
()11,2f x x =+∈，
当4](1,x ∈时，0sin
14
x
π≤≤，即111()sin
,12422x f x π⎡⎤
=+∈⎢⎥⎣⎦ 所以当[]0,4x ∈时，1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
，令()t f x =，则1,22t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦， 从而问题转化为不等式220t at -+<在1,22
t ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
上恒成立，
即222t a t t t
+>=+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 由2y t t =+
，1,22t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
设1212
t t <<<()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=->， 所以2y t t =+
在12t ⎡∈⎢⎣是单调递减函数，
122t t <<<，()()()121212121212
222
0t t f t f t t t t t t t t t --=-+
-=-<，
所以2
y t t
=+
在2t ⎤∈⎦是单调递增函数， 在1
,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上先减后增，而2
t t +在12t =时有最大值为92，所以9
2a >.
【点睛】
本题考查含参数的恒成立问题，运用到分离参数法求参数范围，还结合双勾函数的单调性求出最值， 同时考查学生的综合分析能力和数据处理能力.
12．A
解析：A 【分析】
由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T ，然后由T π
ω
=
求出ω，然后再代点讨论满足题意的ϕ，即可得出答案. 【详解】
由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为2T ，得7226
3T ππ
π⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
. 则由1T π
ω
==得1ω=，即得1ω=±. 由2π
ϕ<
，且在区间54,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减，则可得1ω=-， ∴()()()tan tan f x x x ϕϕ=-+=--. 由
2,32k k Z ππϕ-=∈得2,32
k k Z ππϕ=-∈，因2πϕ<，可得6π=ϕ或3π-，
当3
π
ϕ=-时，()tan +
3f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
， 由+
,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
<<+
∈，得5,66
k x k k Z ππ
ππ-
<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为5,,66k k k Z ππππ⎛
⎫
-+∈ ⎪⎝
⎭
， 令1k =，由54,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7,66ππ
⎛⎫ ⎪⎝⎭
⊄，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上不是单调递减， 所以3
π
ϕ=-不满足题意；
当6π=
ϕ时，()tan 6f x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，
由,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
<-
<+
∈，得2,3
3
k x k k Z π
π
ππ-
<<+
∈，
则函数()f x 的单调减区间为2,,3
3
k k k Z π
πππ⎛⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
， 令1k =，由25,3354,63ππππ⎛⎫⊂⎛⎫ ⎪
⎝ ⎪⎝⎭
⎭，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减， 所以6
π
=
ϕ满足题意； 综上可得：6
π
=ϕ满足题意. 故选：A.
【点睛】关键点睛：正切型函数的对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，注意正切函数的对称中心为0,2k k Z π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，. 二、填空题
13．4或-4【分析】由题意可得故函数的周期为求得；在中令求得从而求得的值【详解】∵函数对任意的都有∴故函数的周期为∴所以∴在中令可得：即∴则故答案为：4或-4【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通
解析：4或-4. 【分析】
由题意可得()23f x f x π⎛⎫+=
⎪⎝
⎭
，故函数()f x 的周期为23π
，求得=3ω；在()3f x f x π⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭中，令=0x ，求得sin 0ϕ=，从而求得
6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值. 【详解】
∵函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭
，
∴()23
f x f x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
，故函数()f x 的周期为23π， ∴
22=
3
π
π
ω
，所以=3ω. ∴()()4sin 3f x x ϕ=+. 在()3f x f x π⎛
⎫
+
=- ⎪⎝
⎭中，令=0x ，可得：()03f f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 即()4sin =4sin πϕϕ+，∴sin =0ϕ. 则=4sin()4cos 462f ππϕϕ⎛⎫
+==±
⎪⎝⎭
. 故答案为： 4或-4.
【点睛】
求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；
()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.
14．【分析】由图象知三角函数的周期结合函数图象及写出单调递增区间【详解】由图象知：∴的单调递增区间为故答案为：【点睛】思路点睛：1看图定周期特殊函数值：2结合图象由周期对称轴写出增区间
解析：37
[2,2],44
k k k Z ++∈
【分析】
由图象知，三角函数的周期2T =，结合函数图象及1
5()()044
f f ==，写出单调递增区间. 【详解】 由图象知：22||T πω=
=， 15
()()044
f f ==， ∴()f x 的单调递增区间为37
[2,2],44
k k k Z ++∈， 故答案为：37
[2,2],44
k k k Z ++∈ 【点睛】 思路点睛：
1、看图定周期、特殊函数值：2T =，1
5()()04
4
f f ==.
2、结合图象，由周期、对称轴写出增区间.
15．【分析】由f （x+）＝2f （x ）得f （x ）＝2f （x ﹣）分段求解析式结合图象可得m 的取值范围【详解】解：∵∴∵当时∴当时当时当时作出函数的图象：令解得：或若存在使得则故答案为：【点睛】本题考查函数与
解析：10[,)3
π
+∞ 【分析】
由f （x +
π）＝2f （x ），得f （x ）＝2f （x ﹣π），分段求解析式，结合图象可得m 的取值范围． 【详解】
解：∵()()2f x f x π+=，∴()()2f x f x π=-， ∵当0,
x
时，()sin f x x =．
∴当[),2x ππ∈时，()()2sin f x x π=-．
当[
)2,3x ππ∈时，()()4sin 2f x x π=-．
当[)3,4x ππ∈时，()()8sin 3f x x π=-．
作出函数的图象：
令()8sin 343x π-=103x π=
，或113
π
， 若存在(]
0,x m ∈-∞，使得()043f x ≥，则103
m π
≥， 故答案为：10[,)3
π
+∞ 【点睛】
本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．
16．【分析】取中点连结交于点交于点连结设推导出和从而得出文化景观区域面积利用三角函数的性质解出面积最大值【详解】取中点连结交于点交于点连结设则文化景观区域面积：当即时文化景观区域面积取得最大值为故答案为 解析：(40023
【分析】
取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，设
DOM ϕ∠=，推导出DC 和CF ，从而得出文化景观区域面积，利用三角函数的性质，
解出面积最大值． 【详解】
取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，
设DOM ϕ∠=，则20sin DN CN ϕ==，40sin DC ϕ∴=，
20cos 20cos 203tan 30PF
CF DE PN ON OP ϕϕϕ===-=-=-︒
，
∴文化景观区域面积：
()
4020203EFCD S sin cos sin ϕϕϕ=-矩形 400sin 24003(1cos 2)ϕϕ=--
800sin(2)40033π
ϕ=+-
∴当23
2
π
π
ϕ+
=
，即12
π
ϕ=
时，文化景观区域面积取得最大值为2400(23)()m -．
故答案为：400(23)-． 【点睛】
本题考查文化景观区域面积的最大值的求法，考查扇形、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17．【分析】先根据题意计算出的范围再根据函数的单调性结合值域列出不等式即可求得【详解】因为且故可得因为在区间单调递减在单调递增且故要满足题意只需解得故答案为：【点睛】本题考查由余弦型函数在区间上的值域求
解析：3342⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
【分析】
先根据题意计算出4
wx π
+的范围，再根据函数的单调性，结合值域，列出不等式，即可
求得. 【详解】
因为[]
0,x π∈，且0w >， 故可得1,444wx w π
ππ⎡⎤⎛⎫+
∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
， 因为y cosx =在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在7,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递增，
且7cos
cos
4
24
π
π
=
=，1cos π=-， 故要满足题意，只需1744
w πππ⎛
⎫≤+
≤ ⎪⎝
⎭ 解得33,42w ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
. 故答案为：3342⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，. 【点睛】
本题考查由余弦型函数在区间上的值域，求参数范围的问题，属中档题.
18．【分析】根据三角函数的性质可知在取得最大值或最小值建立方程即可求解【详解】其中是辅助角是的一条对称轴整理得解得故答案为：【点睛】本题考查三角函数性质得应用利用在对称轴的函数值是最大或最小是解题的关键
【分析】
根据三角函数的性质可知()f x 在3
x π
=取得最大值或最小值，建立方程即可求解.
【详解】
()()sin cos f x a x x x ϕ=+=+，其中ϕ是辅助角， 3
x π
=
是()f x 的一条对称轴，
231()13
22
f a a ，
整理得230a -+=，解得a =
【点睛】
本题考查三角函数性质得应用，利用在对称轴的函数值是最大或最小是解题的关键，属于中档题.
19．【分析】根据题意分析可得有即函数是周期为6的周期函数进而可得结合函数的奇偶性分析可得答案【详解】根据题意函数满足则有则函数是周期为6的周期函数则又由为偶函数则故；故答案为：【点睛】本题主要考查函数的 解析：2019-
【分析】
根据题意，分析可得有()()()63f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为6的周期函数，进而可得()()()2020202222f f f =-=-，结合函数的奇偶性分析可得答案．
【详解】
根据题意，函数()f x 满足()()3f x f x +=-， 则有()()()63f x f x f x +=-+=， 则函数()f x 是周期为6的周期函数， 则()()()2020202222f f f =-=-，
又由()f x 为偶函数，则()()()2212019f f f -==--=-， 故()20202019f =-； 故答案为：2019-． 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期性，属于中档题．
20．【分析】根据图象得出该函数的最大值和最小值可得结合图象求得该函数的最小正周期可得出再将点代入函数解析式求出的值即可求得该函数的解析式【详解】由图象可知从题图中可以看出从时是函数的半个周期则又得取所以
解析：310sin 208
4y x π
π⎛⎫
=++
⎪⎝⎭
，[]6,14x ∈ 【分析】
根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得max min 2y y A -=，max min
2
y y b +=，结合图象求得该函数的最小正周期T ，可得出2T
π
ω=
，再将点()10,20代入函数解析式，求出ϕ的值，即可求得该函数的解析式.
【详解】
由图象可知，max 30y =，min 10y =，max min 102y y A -∴=
=，max min
202
y y b +==， 从题图中可以看出，从614时是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期，则
()214616T =⨯-=，28
T ππ
ω∴=
=. 又
10228
k π
ϕππ⨯+=+，k Z ∈，得()324k k Z π
ϕπ=
+∈，取34
πϕ=， 所以310sin 208
4y x π
π⎛⎫
=++
⎪⎝⎭
，[]6,14x ∈． 故答案为：310sin 208
4y x π
π⎛⎫
=++
⎪⎝⎭
，[]6,14x ∈． 【点睛】
本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题
21．（1）()22sin 23
f x x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭；（2）递增区间为7,,1212ππππ⎡⎤
-+-+∈⎢⎥⎣⎦
k k k Z ，x 的集合为5,12x x k k Z π
π⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
【分析】
（1）先求出2A =，根据图形得出周期，可求出2ω=，再代入,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
可求出ϕ；
（2）令2222,2
32
k x k k Z π
ππ
ππ-
+≤+
≤+∈可求出增区间，当2322,32x k k Z ππ
π+
=+∈时可得最小值. 【详解】
（1）由图可知，2A =， 46124T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即T π=，22πωπ
∴==， 则()()2sin 2f x x ϕ=+，
2sin 2066f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即,3k k Z πϕπ+=∈，
则,3
k k Z π
ϕπ=-
∈，0πϕ<<，23
π
ϕ∴=
， ()22sin 23f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭； （2）令2222,2
32
k x k k Z π
ππ
ππ-
+≤+
≤+∈，解得2
7,121ππ
ππ-
+≤≤-+∈k x k k Z ， 故()f x 的单调递增区间为7,,1212ππππ⎡⎤
-+-+∈⎢⎥⎣⎦
k k k Z ，
当2322,32x k k Z πππ+
=+∈，即2
5,1π
π=+∈x k k Z 时，()f x 取得最小值为2-， 此时x 的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
.
【点睛】
方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x =+ωϕ部分图象求解析式的方法： （1）根据图象的最值可求出A ；
（2）求出函数的周期，利用2T π
ω
=求出ω；
（3）取点代入函数可求得ϕ.
22．（1）答案见解析； （2）答案见解析；（3）72π3π ,3
π
，. 【分析】
（1）令26
x π
+
分别等于0，
2π，π，32π，2π，求出对应的坐标，再描点作图即可作出
函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期上的简图．
（2）将函数sin y x =的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，再将得到的图象向左平移
6π
得，然后将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的12
倍即可． （3）由03()2f x =，可得0,x k k Z π=∈或03
,x k k Z π
π=+∈，结合0[2π3π]x ∈，
即可得答案. 【详解】 （1）列表：
26
x π
+
2
π
π 32
π 2π
x
12
π
-
6π 512
π 23
π 1112
π
()f x
3 0
3-
（2）将函数sin y x =的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到3sin y x =，再将得到
的图象向左平移6π得到3sin 6y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来
的
1
2倍得到，3sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭；
（3）因为03()2f x =
，所以00313sin 2sin 26262x x ππ⎛⎫⎛
⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
022,6
6
x k k Z π
π
π+
=+
∈或0522,6
6
x k k Z π
π
π+
=+
∈， 即0,x k k Z π=∈或03
,x k k Z π
π=+∈，
又因为0[2π3π]x ∈，
， 所以0x 的值为72π3π ,3
π
，. 【点睛】
方法点睛：三角函数图象变换步骤：sin y x =先向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ϕ个单位长度，得到函数sin()y x ϕ=+的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的
1
ω
倍(纵坐
标不变)，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来A (横坐标不变)，这时的曲线就是()y Asin x ωϕ=+的图象． 23．（1）()50sin 707050cos ,010
210h t t t t π
ππ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭；（2）52分钟. 【分析】
（1）根据题意分析游客甲绕原点作匀速圆周运动，根据三角函数定义可把他离地面的距离
()h t 表示出来；
（2）先求出游客乙离地面距离的函数()g t ，则()()h h t g t =-△即为甲乙的离地面距离之差，利用函数求最值. 【详解】
（1）法1：据题意，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为22010
ππ
=弧度/分钟的匀速圆周运动，
设经过t 分钟后甲到达Q ，则以OP 为始边，OQ 为终边的角的大小是
10
t π， 因为圆的半径为50r =米，由三角函数定义知点Q 的纵坐标为50sin 10
2y t π
π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则其离地面的距离为：()()205050sin 7050cos 010
210h t t t t π
ππ⎛⎫=++-=-≥
⎪⎝⎭. 法2：因为摩天轮是作匀速圆周运动，故可设()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，
据题意有12050,
2070,A b A A b b ⎧+==⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩
又周期20T =，所以10
π
ω=
，
由在最低点入舱得
010
2
2
π
π
π
ϕϕ⋅+=-
⇒=-
，
故得()50sin 707050cos ,010
210h t t t t π
ππ⎛⎫=-+=-≥ ⎪
⎝⎭. （2）由（1）可知游客乙离地面的距离：
()()7050cos 57050sin 1010g t t t ππ⎡⎤
=--=-⎢⎥⎣⎦
，其中时间t 表示游客甲坐上摩天轮的时
间，
则甲乙的离地面距离之差为：
()()
50sin cos 101010
4h h t g t t t t πππ
π⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，
当
()210
4
2
t k k π
π
π
π-
=
+∈Z ，即()15
202
t k k =
+∈Z 时，甲乙离地面距离之差达到最大，
所以15
2t =
，即游客乙坐上摩天轮552
t -=分钟后，甲乙的离地面距离之差首次达到最大. 【点睛】
数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2) 数学模型（解析式）建立后，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题确定自变量的取值范围． 24．答案见解析. 【分析】
若选择条件①②，
（Ⅰ）根据最小正周期求出ω，根据对称中心求出ϕ，根据正弦函数的单调递增区间可求出函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）根据正弦函数的图象可求得结果. 若选择条件①③，
（Ⅰ）根据最小正周期求出ω，根据对称轴求出ϕ，根据正弦函数的单调递增区间可求出函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）根据正弦函数的图象可求得结果.
若选择②③，不能确定函数最小正周期，无法确定ω，所以无法确定函数解析式． 【详解】
若选择条件①②，
（Ⅰ）由函数()f x 最小正周期2π
=πT ω
=，得2ω=.
因为()f x 图象关于点π
(,0)6-
对称，所以πsin[2()]06
ϕ⨯-+=，
所以3
k π
ϕπ-
=，k Z ∈，所以3
k π
ϕπ=+
，k Z ∈，又已知π(0,)2ϕ∈，故π3
ϕ=
． 因此π()sin(2)3
f x x =+
． πππ
2π22π,232k x k k -
+≤+≤+∈Z 由，解得5,1212
k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈. 所以()f x 的单调递增区间为5ππ
[π,π]()1212
k k k -
++∈Z ． （Ⅱ）因为02
x π≤≤，所以ππ4π
2333x ≤+≤．
当ππ2=32
x +，即π
12x =时，()f x 取得最大值1；
当π4π2=33
x +，即π2x =时，()f x 取得最小值．
若选择条件①③，
（Ⅰ）由函数()f x 最小正周期2π
=πT ω
=，得2ω=. 又函数()f x 图象关于π12x =对称，所以有πsin(2)112
ϕ⨯+=±，所以62k ππ
ϕπ+=+，
k Z ∈，即3
k π
ϕπ=+，k Z ∈，
又已知π
(0,)2
ϕ∈，故π3ϕ=．
因此π
()sin(2)3
f x x =+．
πππ
2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 由，解得5,1212
k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈.
所以()f x 的单调递增区间为5ππ
[π,π]()1212
k k k -++∈Z ． （Ⅱ）因为02
x π≤≤，所以ππ4π
2333x ≤+≤．
当ππ2=32
x +，即π
12x =时，()f x 取得最大值1；
当π4π2=33
x +，即π2x =时，()f x 取得最小值．
若选择②③，不能确定函数最小正周期，无法确定ω，所以无法确定函数解析式．
【点睛】
关键点点睛：根据函数性质确定函数解析式是解题关键.
25．（1）400平方米；（2）200平方米． 【分析】
（1）四边形OECF 的面积OBCF BOE S S S =-△；
（2）设[0BOE α∠=∈︒，45]︒，过点F 作FM AB ⊥于点M ，利用三角函数的知识可得EOF S △；设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m ，该空地产生的经济价值为y ，可用含
α的式子表示出y ；令()cos sin(120)f ααα=⋅︒-，结合三角恒等变换公式和余弦函数
的图象与性质求出()f α取得最小值时，α的值，再将其代入EOF S △的表达式中即可得解． 【详解】
解：（1）由60EOF ∠=︒，30BOE ∠=︒，可知⊥OF OB ，O 为AB 中点，
2AB BC =，OB BC ∴=，∴四边形FOBC 为正方形．
在Rt BOE △中，30BOE ∠=︒，20OB =米，BE ∴=
，
∴四边形OECF 的面积为12020204002OBCF BOE S S -=⨯-⨯=△平方
米．
（2）设[0BOE α∠=∈︒，45]︒，则120AOF α∠=︒-，过点F 作FM AB ⊥于点
M ，
在Rt OBE △中，cos OB BOE OE ∠=，20
cos cos OB OE BOE α
∴==∠，
在Rt OMF △中，sin FM
AOF OF
∠=
，20sin sin(120)FM OF AOF α∴==∠︒-．
112020·sin sin 6022cos sin(120)EOF S OE OF EOF αα∴=∠=⨯⨯⨯︒=
︒-△，
设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m ，该空地产生的经济价值为y ，
则()
3EOF EOF ABCD y mS m S S =+-△△矩形
3(2040)cos sin(120)cos sin(120)m m αααα=⨯
+⨯-⋅︒-⋅︒-
[800]cos sin(120)
m αα=+
⋅︒-．
令21
()cos sin(120)sin cos 2
f αααααα=⋅︒-=
-
cos 2111sin 2cos(230)242ααα+=
-⨯=+︒+
．
[0α∈︒，45]︒，230[30α∴+︒∈︒，120]︒，1
cos(230)[2
α∴+︒∈-．
若该空地产生的经济价值y 最大，则()f α应取得最小值，为1
2
-，此时0α=︒，
200
EOF S ∴=
===△平方米． 故该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积为200平方米． 【点睛】
本题考查函数的实际应用，还涉及三角恒等变换与三角函数的图象与性质，选择适当的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 26．（Ⅰ）最小正周期为π；（Ⅱ）,36k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈；（Ⅲ）-1.
【分析】
（I ）先将解析式化为()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，然后利用正弦型函数的周期公式可计算出
该函数的最小正周期；
（II ）根据正弦函数的单调区间，利用整体法得出2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，
k Z ∈，，即可求出该函数的单调增区间；
（III ）由0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
可计算出26x π+的取值范围，再根据正弦函数的性质，即可求出函数的最大值和最小值. 【详解】
解：（Ⅰ）因为2()22cos 1f x x x =
+-，
则()2cos2f x x x =+2sin 26x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
， 所以函数()f x 最小正周期为22
T π
π==； （Ⅱ）因为2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-+≤+
≤
+，k Z ∈，
所以3
6
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+，k Z ∈，
函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈；
（Ⅲ）因为0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以72666x πππ≤+≤，。