Chapter 4 目标规划

40x1+30x2+50x3+d1－－d1+=3200
4.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP
Ch4 目标规划 Goal Programming
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（1）利润不少于3200理解为达到或超过3200，即使不能达到 也要尽可能接近3200,可以表达成目标函数｛d1－｝取最小值， 则有 min d1 40 x1 30 x 2 50 x3 d1 d1 3200 （2）设d2－、d2＋分别为未达到和超过产品比例要求的偏差 变量,则产量比例尽 量不超过1.5的数学表达式为：
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（5）由目标构成的约束称为目标约束，目标约束具有更大的 弹性，允许结果与所制定的目标值存在正或负的偏差。如例4.1 中的5个等式约束；如果决策者要求结果一定不能有正或负的偏 差，这种约束称为系统约束，如例4.1的材料约束。 （6）目标的排序问题。多个目标之间有相互冲突时，决策者 首先必须对目标排序。排序的方法有两两比较法、专家评分等方 法，构造各目标的权系数，依据权系数的大小确定目标顺序。 （7）合理的确定目标数。目标规划的目标函数中包含了多个 目标，决策者对于具有相同重要性的目标可以合并为一个目标， 如果同一目标中还想分出先后次序，可以赋予不同的权系数，按 系数大小再排序。例如，在例4.1中要求设备B的加班时间不超过 设备A的时间，目标函数可以表达为d4＋＋2d5＋,表示在d4＋、d5＋ 中先求d4＋最小再求d5＋最小。
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（1）利润不少于3200 元； min z P d1 P2 d 2 P3 d 3 P4 (d 4 d 5 ) （2）产品甲与产品乙 1 40 x1 30 x2 50 x3 d1 d1 3200 的产量比例尽量不超 x1－1.5 x2 d 2 d 2 0 过1.5； （3）提高产品丙的产 x3 d 3 d 3 30 量使之达到30件； 3 x1 x2 2 x3 d 4 d 4 200 （4）设备加工能力不 2 x1 2 x2 4 x3 d 5 d 5 200 足可以加班解决 ，能 4 x1 5 x2 x3 360 不加班最好不加班； 2 x1 3x2 5 x3 300 （5）受到资金的限制， x1 0, x2 0, x3 0且为整数, 只能使用现有材料不 d j 、d j 0, j 1,2, 5 能再购进。
运筹学
Operations Research
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4.1 目标规划数学模型 Mathematical Model of GP 4.2 目标规划的图解法 The graphical method of GP 4.3 单纯形法 Simplex Method
离目标的差距最小，这就是目标规划的求解思路，对
应的解称为满意解。
下面建立例4.1的目标规划数学模型。
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设 d － 为 未 达 到 目 标 值 的 差 值 ， 称 为 负 偏 差 变 量 （ negative deviation variable）。 d +为超过目标值的差值，称为正偏差变量（positive deviation variable）, d－≥0、d＋≥0。 设d1－未达到利润目标的差值, d1+ 为超过目标的差值。 当利润小于3200时,d1－＞０且d1＋＝0,有 40x1+30x2+50x3+d1－=3200 成立； 当利润大于3200时，d1＋＞０且d1－＝０，有 40x1+30x2+50x3－d1+=3200 成立； 当利润恰好等于3200时，d1－=０且d1+=0,有 40x1+30x2+50x3=3200 成立。 实际利润只有上述三种情形之一发生，因而可以将三个等式 写成一个等式
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4.1.1 引例 【例4.１】考虑用4种资源生产3种产品的问题。资源消耗如 表4-1所示。x1、x2、x3分别为甲、乙、丙的产量。 max z 40 x1 30 x2 50 x3 表4-1
产品 甲 乙 1 2 丙 现有资源 2 4 200 200
4.1 目标规划数学模型
Mathematical Model of GP
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线性规划模型的特征是在满足一组约束条件下，寻
求一个目标的最优解（最大值或最小值）。 而在现实生活中最优只是相对的，或者说没有绝对 意义下的最优，只有相对意义下的满意。 1978年诺贝尔经济学奖获得者.西蒙(H.A.Simon-美
该问题的目标规划数学模型为：
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满意解：
1
2 3
X1
X2 X3
28
20 30
约束分析：
约束 1 2 3 C1 C2 C3 实际 3220 －2 30 164 216 242 偏差
使企业在计划期内总利润 最大的线性规划模型为：
最优解： X＝（50，30，10）; Z＝3400。
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现在决策者根据企业的实际情况和市场需求，需要重新制定 经营目标，其目标的优先顺序是： （1）利润不少于3200元； （2）产品甲与产品乙的产量比例尽量不超过1.5； （3）提高产品丙的产量使之达到30件； （4）设备加工能力不足可以加班 40 x1 30 x 2 50 x3 3200 解决，能不加班最好不加班； x1－1.5 x 2 0 （5）受到资金的限制，只能使用 x3 30 现有材料不能再购进。 3 x1 x 2 2 x3 200 2 x 2 x 4 x 200 2 3 【解】 设甲、乙、丙产品的产量 1 分别为x1、x2、x3。如果按线性规划 4 x1 5 x 2 x3 360 建模思路，最优解实质是求下列一 2 x1 3 x 2 5 x3 300 x1 0，x 2 0，x3 0 组不等式的解
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通过计算不等式无解，即使设备加班10小时仍然无
解。
在实际生产过程中生产方案总是存在的，无解只能
说明在现有资源条件下，不可能完全满足所有经营目 标。 这种情形是按事先制定的目标顺序逐项检查，尽可 能使得结果达到预定目标，即使不能达到目标也使得
200
200 360
300
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4.1.2 目标规划的数学模型
（1）目标规划数学模型的形式有：线性模型、非线性模型、 整数模型、交互作用模型等； （2）一个目标中的两个偏差变量di－、 di＋至少一个等于零， 偏差变量向量的叉积等于零：d－×d＋=0； （3）一般目标规划是将多个目标函数写成一个由偏差变量构 成的函数求最小值，按多个目标的重要性，确定优先等级顺序求 最小值； （4）按决策者的意愿，事先给定所要达到的目标值： 当期望结果不超过目标值时，目标函数求正偏差变量最小; 当期望结果不低于目标值时，目标函数求负偏差变量最小; 当期望结果恰好等于目标值时，目标函数求正负偏差变量之 和最小。
国卡内基-梅隆大学,1916-)教授提出“满意行为模型要
比最大化行为模型丰富得多”，否定了企业的决策者
是“经济人”概念和“最大化”行为准则，提出了
“管理人”的概念和“令人满意”的行为准则，对现 代企业管理的决策科学进行了开创性的研究
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（8）多目标决策问题。多目标决策研究的范围比 较广泛，在决策中，可能同时要求多个目标达到最优。 例如，企业在对多个项目投资时期望收益率尽可能 最大，投资风险尽可能最小，属于多目标决策问题。 本章的目标规划尽管包含有多个目标，但还是按单 个目标求偏差变量的最小值，目标函数中不含有决策 变量，只是多目标决策的一种特殊情形。 本章不讨论多目标规划的求解方法，只给出WinQSB 软件求解线性多目标规划的操作步骤。
min d 2 x1 1.5 x 2 d 2 d 2 0 （3）设d3ˉ、d3 ＋ 分别为产品丙的产量未达到和超过30件的 偏差变量，则产品丙的产量尽可能达到30件的数学表达式为：
min d 3 x3 d 3 d 3 30
min d 4 d 5 3x1 x 2 2 x3 d 4 d 4 200 2 x1 2 x 2 4 x3 d 5 d 5 200
min z P d1 P2 d 2 P3d 3 1 P4 (d 4 d 5 )
?min3d?????????3?3303ddx1利润不少于3200理解为达到或超过3200即使不能达到也要尽可能接近3200可以表达成目标函数d1取最小值则有41目标规划的数学模型mathematicalmodelofgpch4目标规划goalprogramming2013年1月8日星期二page94设d4d4为设备a的使用时间偏差变量d5d5为设备b的使用时间偏差变量最好不加班的含义是d4和d5同时取最小值等价于d4d5取最小值则设备的目标函数和约束为
资源
设备A 设备B 3 2
材料C
材料D 利润 （元/件）
4
2 40
5
3 30
1
5 50
360
300
3 x1 x2 2 x3 200 2 x 2 x 4 x 200 2 3 1 4 x1 5 x2 x3 360 2 x 3 x 5 x 300 2 3 1 x1 0，x2 0，x3 0
d1 20
d2 2
目标
4
5 6
d1d1+ d2-
0
20 2
= = =
3200 0 30
7பைடு நூலகம்
8 9 10
d2+
d3d3+ d4-
0
0 0 36
11
12 13
d4+
d5d5+
0
0 16
4 5 6 7
C4 C5 C6 C7
d4 36
d5 16
－118
266
－34
= = <= <=
式中： Pj （ j=1,2,3,4）称为 目标的优先因子。 第一目标优于第二目标，第 二目标优于第三目标等等，其 含义是按P1,P2,…,Pn 的次序分 别求后面函数的最小值。
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（4） 设d4ˉ、d4+ 为设备A的 使用时间偏差变量, d5ˉ、d5+ 为 设备B的使用时间偏差变量，最 好不加班的含义是 d4+ 和d5+同 时取最小值，等价 于d4+ + d5+ 取最小值，则设备的目标函数 和约束为： （5）材料不能购进表示不允 许有正偏差，约束条件为小于 等于约束。 由于目标是有序的并且四个 目标函数非负，因此目标函数 可以表达成一个函数：