2019-2020学年高中数学人教A版选修4-5模块综合测评 Word版含解析

模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一
、
选
择
题
(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式|3x －2|>4的解集是( ) A ．{x |x >2} B.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪⎪ x<－
2
3 C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪⎪
x<－
23或x>2
D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
－23
<x<2
【解析】 因为|3x －2|>4，所以3x －2>4或3x －2<－4，所以x >2或x <－2
3.
【答案】 C
2．能用来表示二维形式的柯西不等式的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )
B ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )
C ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ab ＋cd )2(a ，b ，c ，d ∈R )
D ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≤(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )
【解析】 根据柯西不等式的结构特征可知只有B 正确，故选B. 【答案】 B
3．若实数x ，y 满足|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，且y ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫π，3π2，则|tan x －tan
y |等于( )
A ．tan x －tan y
B ．tan y －tan x
C ．tan x ＋tan y
D.|tan y |－|tan x |
【解析】 由|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，得tan x 和tan y 异号，且y ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫π，3π2，得tan y >0.
故|tan x －tan y |＝tan y －tan x . 【答案】 B
4．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )
【导学号：32750076】
A ．a 2<b 2
B ．ab 2<a 2b
C.
1ab2<1a2b D.b a <a b
【解析】 对于C 中，1ab2－1a2b ＝a －b a2b2
<0， ∴
1ab2<1a2b
. 【答案】 C
5．用数学归纳法证明2n >n 2(n ∈N ＋，n ≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是( ) A ．假设n ＝k 时命题成立 B ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立 C ．假设n ＝k (k ≥5)时命题成立 D ．假设n ＝k (k >5)时命题成立 【答案】 C
6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )
A ．2
B ．4 C.2
D.16
【解析】 由(x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4.
因此不等式(x ＋y )·
⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，即a ≤4. 【答案】 B
7．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高．设住第n 层楼，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为9
n
，则此人应选( )
A ．1楼
B ．2楼
C ．3楼
D.4楼
【解析】 设第n 层总的不满意程度为f (n )，则f (n )＝n ＋9
n ≥29＝2×3＝6，当且仅当n
＝9
n
，即n ＝3时取等号，故选C. 【答案】 C
8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，对k 的取值范围是( ) A ．k <3
B ．k <－3
C ．k ≤3 D.k ≤－3
【解析】 ∵|x ＋1|－|x －2|≥－|(x ＋1)－(x －2)|＝－3，∴|x ＋1|－|x －2|的最小值为－3. ∴不等式恒成立，应有k <－3. 【答案】 B
9．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时等号左边应增添的式子是( )
A ．2k ＋1 B.错误! C.2k ＋1
k ＋1
D.2k ＋2
k ＋1
【解析】 当n ＝k 时，有f (k )＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )， 当n ＝k ＋1时，有f (k ＋1)
＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， ∴f (k ＋1)＝f (k )·错误!. 【答案】 B
10．对一切正数m ，不等式n <4
m ＋2m 2恒成立，则常数n 的取值范围是( )
A ．(－∞，0)
B ．(－∞，6)
C ．(0，＋∞)
D.[6，＋∞)
【解析】 要使不等式恒成立，只要n 小于4m ＋2m 2的最小值．∵4m ＋2m 2＝2m ＋2m ＋2m 2≥33
8
＝6，∴n <6.
【答案】 B
11．若n 棱柱有f (n )个对角面，则(n ＋1)棱柱含有对角面的个数为( ) A ．2f (n ) B ．f (n )＋(n －1) C ．f (n )＋n
D.f (n )＋2
【解析】 由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角面的个数与底面上由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角线一样，设n ＝k 时，底面为A 1A 2…A k ，n ＝k ＋1时底面为A 1A 2A 3…A k A k ＋1，增加的对角线为A 2A k ＋1，A 3A k ＋1，A 4A k ＋1，…，A k －1A k ＋1，A 1A k ，共有(k －1)条，因此对角面也增加了(k －1)个，故选B.
【答案】 B
12．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤2，|x 2|≤2时，|f (x 1)－f (x 2)|≤6|x 1－x 2|，又令g (x )＝x 2＋2x －1，则g (x )与M 的关系是( )
A ．g (x )
M
B ．g (x )∈M
C．g(x)∉M D.不能确定
【解析】∵g(x1)－g(x2)＝x21＋2x1－x2－2x2＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)，
∴|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋2)≤6|x1－x2|，
所以g(x)∈M.故选B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上)
13．若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________.
【导学号：32750077】【解析】∵|x－5|＋|x＋3|
＝|5－x|＋|x＋3|≥|5－x＋x＋3|＝8，
∴(|x－5|＋|x＋3|)min＝8，
要使|x－5|＋|x＋3|<a无解，只需a≤8.
【答案】(－∞，8]
14．若正数a，b满足ab＝a＋b＋8，则ab的最小值为________．
【解析】∵ab＝a＋b＋8，且a＞0，b＞0，
∴ab－8＝a＋b≥2ab，
∴(ab)2－2ab－8≥0，
∴ab≥4或ab≤－2(舍去)，
∴ab≥16，即ab的最小值为16.
【答案】16
15．用数学归纳法证明an＋bn
2
≥
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a＋b
2
n
(a，b是非负实数，n∈N＋)，假设n＝k时不等式ak＋bk
2
≥
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a＋b
2
k(*)成立，再推证n＝k＋1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘________．
【解析】要想办法出现ak＋1＋bk＋1
2
，两边同乘以
a＋b
2
，右边也出现了要求证的
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a＋b
2
k
＋1.
【答案】a＋b 2
16．设a，b，c，d，m，n∈R＋，P＝ab
＋cd ，Q ＝am ＋nc ·
b m ＋d
n
，则P ，Q 的大小关系为________． 【解析】 由柯西不等式 P ＝ am·b m
＋
nc·d
n
≤am ＋nc ·
b m ＋d
n
＝Q ， ∴P ≤Q . 【答案】 P ≤Q
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a ＞b ＞c ，求证：
1a －b ＋1b －c ≥4a －c
. 【证明】 因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，
所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[(a －b )＋(b －c )]1a －b ＋1b －c ＝a －b b －c ＋b －c a －b ＋2≥2
a －
b b －
c ·
b －c
a －b
＋2＝4，
当且仅当a －b ＝b －c ，即a ＋c ＝2b 时等号成立． 故
1a －b ＋1b －c ≥4
a －c
成立． 18．(本小题满分12分)(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f
(x )的图象； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．
图1
【解】 (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x －4，x≤－1，
3x －2，－1＜x≤32，
－x ＋4，x ＞3
2
，
故y ＝f (x )的图象如图所示．
(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝1
3或x ＝5.
故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}， f (x )＜－1的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
x ＜1
3
或x ＞5
. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
x ＜1
3
或1＜x ＜3或x ＞5
. 19．(本小题满分12分)设m ，n ∈R ＋，m ＋n ＝p ，求证：1m
＋
1n
≥4
p
，并指出等号成立的条件． 【证明】 根据柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫
1m ＋1n (m ＋n )
≥⎝
⎛⎭
⎪⎫
m·1m
＋
n·1n 2
＝4， 于是1m ＋1n ≥4m ＋n ＝4p ，
当m ＝n ＝p
2
时，等号成立．
20．(本小题满分12分)某自来水厂要制作容积为500
m 3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12.
请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)．
【解】 设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a ，b ，c . 由题意，可得abc ＝500，
长方体水箱的表面积为S＝2bc＋2ac＋ab.由均值不等式，知S＝2bc＋2ac＋ab≥
33
2bc·2ac·ab＝3
3
4×5002＝3×102＝300.
当且仅当2bc＝2ca＝ab，即a＝b＝10，c＝5时，S＝2bc＋2ac＋ab＝300为最小，
这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．
如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图：下图(1)进一步剪拼成图(2)的长30 m，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．
(1)(2)(3)
可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．
21．(本小题满分12分)设f(n)>0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f (2)＝4.
(1)求f(1)，f(3)的值；
(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．
【解】(1)由于对任意自然数n1和n2，总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，
取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4.
∵f(n)>0(n∈N
＋
)，
∴f(1)＝2，
取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.
(2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，初步归纳猜想f(n)＝2n.
证明：①当n＝1时，f(1)＝2成立；
②假设n＝k时，f(k)＝2k成立．
f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，
即当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②得，对一切n∈N
＋
，f(n)＝2n都成立．
22．(本小题满分12分)设数列{a n}的首项a1∈(0,1)，a n＝3－an－1
2
，n＝2,3,4，….
【导学号：32750078】
(1)求{a n}的通项公式；
(2)设b n ＝a n 3－2an ，求证：b n <b n ＋1，其中n 为正整数． 【解】 (1)由a n ＝3－an －1
2
，得2a n ＝3－a n －1， 即
1－an 1－an －1＝－1
2
，
所以数列{1－a n }是以1－a 1(a 1∈(0,1))为首项，以－1
2为公比的等比数列，
所以1－a n ＝(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12n －1，
因此a n ＝1－(1－a 1)⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
－12n －1
.
(2)证明：由(1)可知0<a n <3
2
，故b n >0.
那么b 2n ＋1－b 2n ＝a 2n ＋1(3－2a n ＋1)－a 2n (3－2a n ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－an 22
⎝ ⎛
⎭⎪⎫3－2×3－an 2－a 2n (3－2a n ) ＝
9an
4
(a n －1)2.又由(1)知a n >0且a n ≠1， 故b 2n ＋1－b 2n >0，因此b n <b n ＋1，n 为正整数．。