四川省攀枝花市2018-2019学年高二上学期期末教学质量监测数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年度（上）调研检测
高二数学（理科）
2019.01 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．
2．本部分共12小题，每小题5分，共60分．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.抛物线的准线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程.
【详解】，
抛物线的准线方程为，
即，故选A .
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.
2.从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（）
A. 3件都是正品
B. 3件都是次品
C. 至少有1件次品
D. 至少有1件正品
【答案】D
【解析】
【分析】
根据随机事件、不可能事件以及必然事件的定义对选项中的事件逐一判断即可.
【详解】从10件正品，2件次品，从中任意抽取3件
:3件都是正品是随机事件，
：3件都是次品不可能事件,
:至少有1件次品是随机事件,
：因为只有两件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有一件是正品是必然事件，故选D .
【点睛】本题主要考查了随机事件、不可能事件、必然事件的定义与应用，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.
3.如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列描述中不正确
．．．的是（）
A. 与去年同期相比2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长
B. 2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省
C. 2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元
【答案】C
【解析】
【分析】
根据柱型图与折线图的性质，对选项中的结论逐一判断即可，判断过程注意增长量与增长率的区别与联系.
【详解】由2018年第一季度五省情况图，知：
在中, 与去年同期相比，2018年第一季度五个省的总量均实现了增长，正确；
在中，2018年第一季度增速由髙到低排位第5的是浙江省，故正确；
在中，2018年第一季度总量和增速由髙到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个,故不正确；
在中，去年同期河南省的总量增长百分之六点六后达到2018年的4067.6亿元，可得去年同期河南省的总量不超过4000亿元,故正确，故选C.
【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，意在考查阅读能力、数据处理能力，考
查数形结合思想的应用，属于中档题.
4.已知随机变量服从正态分布，且，则（）
A. 0.6
B. 0.4
C. 0.3
D. 0.2
【答案】C
【解析】
由正太分布的概率的性质可得，则，应选答案C。

点睛：解答本题的思路是借助正太分布的函数图像的对称性，巧妙将问题进行等价转化，先求得
，再借助所有概率之和为1的性质求得，从而使得问题巧妙获解。

5.执行如图所示的程序框图，当输出的值为时，则输入的值是（）
A. B. 或 C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
阅读程序框图，该程序是计算并输出的值,分类讨论解方程即可.
【详解】根据程序框图，该程序是计算并输出的值,
由于输出的值为1,
可得时，,解得或(舍去）；
时，,解得或(舍去），
即输入的值是或，故选B.
【点睛】本题主要考察程序框图和算法，属于基础题.算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.
6.椭圆的以点为中点的弦所在的直线斜率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理，结合斜率公式，即可求得弦所在的直线的斜率. 【详解】设弦的两端点为，点为的中点，
则，
，代入椭圆方程得，
两式相减得，
可得，
即，
弦所在的直线的斜率为，故选C.
【点睛】本题主要考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，在解决弦的中点问题时,常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的.
7.一个口袋中装有若干个除颜色外都相同的黑色、白色的小球，从中取出一个小球是白球的概率为，连续取出两个小球都是白球的概率为，已知某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用条件概率公式求解即可.
【详解】设第一次取白球为事件，第二次取白球为事件，连续取出两个小球都是白球为事件，
则，，某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率为，
故选B.
【点睛】本题主要考查条件概率公式的应用，属于基础题.求解条件概率时，一要区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系；二要熟记条件概率公式.
8.若的展开式中的系数为，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意二项式的展开式为，
展开式的为，所以，
解得，故选D.
9.从中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（）
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】
分0在末位与2或4在末位两种情况讨论，利用分类计数原理与分步计数原理以及排列、组合知识，即可得出结论. 【详解】0在末位组成三位偶数有个；
0不在末位时，2或4在末位，组成三位偶数有个，
从中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有个，故选B .
【点睛】本题考查分类计数原理与分步计数原理以及排列、组合知识，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
10.已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则以，为焦点且经过的椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线方程，可求得椭圆的焦距，由可得，由双曲线的定义，得到，最后联解、配方，可得，从而得到的值，即可求出以为焦点且经过的椭圆离心率. 【详解】双曲线方程为，
，可得，
，
又为双曲线上一点，
，
，
因此，
的值为，
以为焦点且经过的椭圆离心率，故选A.
【点睛】本题主要考查双曲线与椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
11.下列说法正确的个数是（）
①设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为，则若该大学某女生身高增加，则其体重约增加；
②关于的方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③过定圆上一定点作圆的动弦，为原点，若，则动点的轨迹为椭圆；
④已知是椭圆的左焦点，设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，则直线（为原点）的斜率的取值范围是.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据回归方程的意义判断①；先推出方程的一根大于1 , 一根大于0小于1,结合椭圆与双曲线离心率定义可判断②；利用参数法求出动点的轨迹可判断③；由题意画出图形，得到满足直线的斜率大于的所在的位置，求出直线的斜率的取值范围可判断④.
【详解】①根据回归方程的意义，结合回归方程为，可得该大学某女生身高增加，则其体重约增加，正确；
②关于的方程的两根之和大于2 , 两根之积等于1, 故两根中，一根大于1 , 一根大于0小于1,可分别作为椭圆和双曲线的离心率,正确；
③设定圆的方程为，定点，设，，由，得
，消去参数，得，即动点的轨迹为圆，③错误.
④由，得，
则，如图：
过作垂直于轴的直线，交椭圆于，过斜率为的直线与椭圆交于，当在椭圆弧上上时，符合题意，又，，，当在椭圆弧上时，直线的斜率的取值范围
是，当在椭圆弧上时，直线的斜率的取值范围是，即满足直线的斜率大于，直线的斜率的取值范围是正确，综上可知正确命题个数为3，故选C.
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查回归方程的意义、椭圆与双曲线的离心率、动点的轨迹以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不
好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
12.已知双曲线右支上的一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一，四象限，为坐标原点.当时，为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，在渐近线上，设出，的坐标，利用求出点坐标，将点坐标代入椭圆方程化简可得为定值，再利用直角三角形的性质可得的值.
【详解】
设双曲线的方程为，
设，
由，得，
，
，
将代入双曲线方程，
得，
化简得，
所以，，故选A.
【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质求双曲线的渐近线方程，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：
1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．
2．本部分共10小题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为
________
【答案】40
【解析】
【分析】
利用分层抽样的性质直接求解．
【详解】某地区中小学生人数如图所示，
用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，
则抽取的高中生人数为：20040．
故答案为：40
【点睛】本题考查抽取的高中生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解
能力，是基础题．
14.运行如图所示的程序框图，则输出的所有值之和为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到所有输出的的值,然后求和即可.
【详解】输入，
第一次循环，；
第二次循环，；
第三次循环，；
第四次循环，；
退出循环，可得所有值之和为
，故答案为10.
【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
15.在区间上随机取两个数，则事件“函数在内有零点”的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
在上任取两个数，在以2为棱长的正方形内，在内有零点，
等价于，即，求出可行域的面积，利用几何概型概率公式求解即可.
【详解】
在上任取两个数，
则在以2为棱长的正方形内，
因为在内有零点，
所以，
即，
表示如图所示的梯形区域，
由几何概型概率公式可得“函数在内有零点”的概率为
，故答案为.
【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 16.已知，分别为椭圆的右顶点和上顶点，平行于的直线与轴、轴分别交于、两点,直线、
均与椭圆相切,则和的斜率之积等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设出设方程，求出、两点的坐标，可得方程为，利用判别式为零可得，同理可得，相乘、化简即可得结果.
【详解】
设椭圆方程为，可知，
，
设方程为，
则，
方程为，
由，得，
与椭圆相切，
，
得，
同理可得，
，
，故答案为.
【点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量
无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（Ⅰ）焦点在轴上，虚轴长为，离心率为；
（Ⅱ）经过点,且与双曲线有共同的渐近线．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由,可得，结合，，得，从而可得结果；（Ⅱ）由与双曲线有共同的渐近线，可设所求双曲线方程为，将点的坐标代入所设方程，求得的值，从而可得结果. 【详解】（Ⅰ）设所求双曲线的标准方程为
则,从而，代入，得，故方程为
（Ⅱ）由题意可设所求双曲线方程为，将点的坐标代入，得，
解得，所以所求双曲线的标准方程为
【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，属于中档题.求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.
18.（Ⅰ）已知，求的值.
（Ⅱ）若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中二项式系数最大的项的系数.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1120
【解析】
【分析】
（Ⅰ）中，分别令，然后相乘即可得结果；（Ⅱ）由展开式前三项的二项式系数和等于，可得，解得，求出中间项即第五项的系数即可.
【详解】（Ⅰ）令得
令得
（Ⅱ）由题意，即，解得或（舍）
所以的展开式中第五项的二项式系数最大，由展开式的通项公式知第五项为，故所求的系数为.
【点睛】本题主要考查二项展开式的各项系数和、二项式系数与项的系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
19.2018年9月16日下午5时左右，今年第22号台风“山竹”在广东江门川岛镇附近正面登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，某记者调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，
，，，五组，并作出如下频率分布直方图.
（Ⅰ）根据频率分布直方图估计该小区居民由于台风造成的经济损失的众数和平均值.
（Ⅱ）“一方有难，八方支援”，台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，记者调查的100户居民捐款情况如下表格，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有99%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
（Ⅲ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，
抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过元的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及期望.
参考公式：，其中
【答案】（Ⅰ）众数为3000，平均值为2920（Ⅱ）没有把握（Ⅲ）详见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）最高矩形中点横坐标就是众数，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（Ⅱ）根据直方图得到列联表，利用公式求得，与邻界值比较，即可得到结论；（Ⅲ）的取值可能有，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，利用二项分布的期望公式可得结果.
【详解】（Ⅰ）根据频率分布直方图知该小区居民由于台风造成的经济损失的众数=3000（元）；
平均值=（元）
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过元的有人，经济损失超过
元的有100-80=20人，
则表格数据如下
．
由于，
所以没有99%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．
（Ⅲ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过元居民的频率为，将频率视为概率. 由题意知的取值可能有，
的分布列
【点睛】本题主要考查直方图、独立性检验以及二项分布的应用，属于中档题. “求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布
），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．
20.已知抛物线，椭圆（0<<4），为坐标原点，为抛物线的焦点，是椭圆的右顶点，
的面积为4．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点作直线交于C、D两点，求面积的最小值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）8
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由的面积为，解得，从而可得结果；（Ⅱ）直线的方程为，联立抛物线方程得：
，利用弦长公式结合韦达定理求得的值，再根据点到直线距离公式与三角形面积公式，求得
=，从而可得结果.
【详解】（Ⅰ）已知，因为椭圆长半轴长的平方为16，所以右顶点为，
又的面积为，解得，
所以抛物线方程为
（Ⅱ）由题知直线斜率一定存在，设为，则设直线的方程为，联立抛物线方程得：，
由根与系数的关系
，
点到直线的距离为
所以=
所以，最小值为8．
【点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
21.某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费（单位：万元）对年销量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响.对近6年宣传费和年销量的数据做了初步统计，得到如下数据：
经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式即，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：
（Ⅰ）从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率.
（Ⅱ）根据所给数据，求关于的回归方程；
（Ⅲ）若生产该产品的固定成本为200（万元），且每生产1（吨）产品的生产成本为20（万元）（总成本=固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为（万元），假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），2019年该公司计划投入万元宣传费，你认为该决策合理吗？请说明理由.（其中为自然对数的底数，
）
附：对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）不合理
【解析】
【分析】
(Ⅰ)利用组合知识，根据古典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）对两边取对数得，令
得，根据所给的数据，求出变量的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程；（Ⅲ）设该公司的年利润为，由利润=销售收入-总成本，求得的解析式，由二次函数的性质求得时，取最大值，从而可得结果.
【详解】(Ⅰ)记事件A表示“至多有一年年销量低于20吨”，由表中数据可知6年中有2年的年销量低于20吨，故
（Ⅱ）对两边取对数得，令得，由题中数据得：，
，
，，
所以，由,
得,故所求回归方程为.
（Ⅲ）设该公司的年利润为，因为利润=销售收入-总成本，所以由题意可知
,
当即时，利润取得最大值500（万元），故2019年该公司计划投入万元宣传费的决策不合理. 【点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.
22.在圆内有一点,为圆上一动点，线段的垂直平分线与的连线交于点．（Ⅰ）求点的轨迹方程．
（Ⅱ）若动直线与点的轨迹交于、两点，且以为直径的圆恒过坐标原点.问是否存在一个定圆与动直线总相切.若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在定圆总与直线相切
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由点在线段的上，结合垂直平分线的性质可得，从而由椭圆的定义可得结果；（Ⅱ）直线斜率不存在时，原点到直线的距离为，直线斜率存在时，可设直线的方程为，解消去得方程：，利用向量垂直数量积为零，结合韦达定理可得，由点点直线距离公式可得原点到直线的距离，进而可得结果.
【详解】（Ⅰ）圆的圆心为，半径为
点在线段的垂直平分线上
又点在线段的上
由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
，故点的轨迹方程为
（Ⅱ）假设存在这样的圆.设，.
由已知，以为直径的圆恒过原点，即，所以.
当直线垂直于轴时，，，所以，又，解得，
不妨设，或，，即直线的方程为或，此时原点到直线的距离为.
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，解消去得方程：
因为直线与椭圆交于，两点，所以方程的判别式
即，且，.
由，得，
所以整理得（满足）.
所以原点到直线的距离.
综上所述，原点到直线的距离为定值，即存在定圆总与直线相切.
【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法、点到直线的距离公式及直线与椭圆的位置关系，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入
.。