福建省仙游第一中学高二数学上学期第一次阶段考试试题 理

福建省仙游第一中学高二数学上学期第一次阶段考试试题理
y ，z ，则1x ＋y ＋x ＋y z
的最小值是( ▲ ) A ．2 B ．3 C ．3.5 D ．4
6．在数列{}n a 中，1112,ln 1n n a a a n +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，则n
a ＝( ▲ ) A ．1ln n n ++ B ．()21ln n n +- C ．2ln n n +
D ．2ln n +
7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，7652a a a =+，且
存在两项m a ，n a 使得1
4m n a a a =，则14m n +的最小值为 ( ▲ ) A ．5
3
B ．43
C ．32
D ． 9
4 8．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，且tan A ，
tan B ，tan C ，2tan B 依次成等差数列，则sin 2B
＝( ▲ )
A ．1
B ．－45
C ． ±45
D ．45
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c ，cos b C a =，点M 在线段AB 上，且
ACM BCM ∠=∠．若66b CM ==，则cos BCM ∠=( ▲ )
A ．10
B ．7
C ． 34
D ．6 10．给出下列命题：①若0b a <<，则||||a b >；②若0b a <<，则a b ab +<；③若0b a <<，
则2b a a b +>；④若0b a <<，则2
2a a b b <-；⑤若0b a <<，则22a b a a b b +>+；⑥若1a b +=，
则221
2a b +≥．其中正确的命题有( ▲ ) A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
11．已知a , b ∈R ，且a 是2b -与3b -的等差中项，则2||||
ab a b +的最大值为( ▲ ) A ．19 B ．29 C ．23 D ．43
12.（非A 班作答）数列满足
，则
数列的前200项和为( ▲ ) A. 51000 B. 20200
C. 98000
D. 98500
12.（A 班作答）在平面内，定点 A.B.C.O 满足OA OB OC ==,OA OB OB OC ==2OC OA =-，动点,P Q 满足1AP =,PQ QC =，则2437
BQ -的最小值是( ▲ ) A.-6 B.-12 C.-333第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）
13.已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x≥2，x ＋y≤4，
2x －y －m≤0，若目标函
数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为___▲_____． 14．如图，在△ABC 中，AD →＝13
DC →，P 是线段BD 上一点，若AP →＝mAB →＋16
AC →，则实数m 的值为___▲_____．
15.（非A 班作答）已知0
090< < < 0βα,且βαsin ,sin 是方程02140cos )40cos 2(0202=-+-x x 的两个根，则)2cos(βα-的值为_▲_
15.（A 班作答） 某沿海四个城市
A 、
B 、
C 、
D 的位置如图所示，其
中60ABC ∠=︒，135BCD ∠=︒，80AB =n mile ，40303BC =+n mile ，2506CD =n mile ，D 位
于A 的北偏东75︒方向.现在有一艘
轮船从A 出发以50n mile/h 的速度向D 直线航行，60min 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C 直线航
行，收到指令时城市C 对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sin θ=___▲
16.对于给定的正整数n ，设集合X n ＝{1，2，3，…，n }，n
X A ⊆，且∅≠A ．记I (A )为集合A 中的最大元素，当A 取遍X n 的所有非空子集时，对应的所有I (A )的和记为S (n )，则S (2 018)=___▲_____．
三、 解答题：（本大题6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分10分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，
b ，
c ，3sin (cos 1)a C c A =+.
（1）求角A 的大小； （2）若5b c +=，3ABC S ∆=，求a 的值.
18.（本小题满分12分）
已知函数()(1)f x ax a =-+.
（1）求关于x 的不等式()0f x <的解集；
（2）若2()f x x x a ≤--在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围.
19（非A 班作答）（本小题满分12分）
设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 2＋a 3＝26，S 6＝728.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求证：S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n
.
19.（A 班作答）（本小题满分12分） 数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2a n ＋1
，a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1
S n >n n ＋1.
20.（本小题满分12分）
某化肥厂生产甲、乙两种混合肥
料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下
表所示：
现有A 种原料200吨，B 种原料
360吨，C 种原料300吨，在此基原料 肥料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10
础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
21.（本小题满分12分）
如图，已知OPQ 是半径为7，圆心角为3π的扇形，C 是该扇形弧上的动点，ABCD
是扇形的内接矩形，其中D 在线段OQ 上，.A B 在线段OP 上，记BOC ∠为θ,
（1）若Rt
CBO 的周长为7(2105)5+，求23cos 2cos sin cos θθθθ--的值；
（2）求OA AB 的最大值，并求此时θ值
22.（本小题满分12分）
已知常数0a ≠，数列{}n a 的前n 项和为S n ，12a =，
(1)n
n
S a a n n =+-．
（1）求数列{}n
a 的通项公式；
（2）若3(1)n n n
n
b
a =+-，且数列{}n
b 是单调递增数列，
求实数a 的取值范围； （3）若12
a =，12018
n n
n a c
a -=
+，对于任意给定的正整数k ，
是否都存在正整数p 、q ，使得
k p q
c c c =？若存在，试求出p 、q 的一组值(不论
有多少组，只要求出一组即可)；若不
存在，请说明理由．
附加题（竞赛生作答，两小题共20分，计入总分） 1：（8分）设非负实数
1212
,,...x x x 满足12
1
1.i i x ==∑则
9
123
1i i i i i S x x x x +++==∑的最大值为 ．
2：（12分）设数列{}n
a 满足：1
1
a
=，且当n N *
∈时，
321
1
(1)1n
n
n n a a a a +++-+=
（Ⅰ）比较n
a 与1
n a +的大小，并证明你的结论；
（Ⅱ）若
2211
(1)
n n n n
a b a a +=-，其中*
∈N n ，证明：1
0 2.
n
k
k b
=<<∑
（注：121
n
k
n
k b
b b b ==+++∑）
仙游一中2019-2019学年度第一学期第一次阶段
考试
高二数学（理科）试卷（必修4+必修5）
命题人：高二理科数学备课组 考试时间：
120分钟 分 数：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）
1. 设,,a b c R ∈,且a b >,则（ A ） A ． 3
3
a
b >
B ． 11
a b
< C ． 2
2
a
b > D ． a
c bc >
2．设a ＝12cos 2°－32
sin 2°，b ＝2
2tan14
1tan 14-，c ＝
1－cos 50°
2，则有( A )
A.c ＜a ＜b
B.a ＜b ＜c
C.b ＜c
＜a
D.a ＜c ＜b
3.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，6b =45A =︒，则B =（ B ）
A ．6π或56π
B ．3
π
或23π C ．3π D ．6
π
4．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( C )
A ．S n ＝2a n －1
B ．S n ＝3a n －2
C ．S n ＝3－2a n
D ．S n ＝4－3a n
5、已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC，△MCA 和△MAB 的面积分别为x ，
y ，z ，则1x ＋y ＋x ＋y
z 的最小值是(B)
A ．2
B ．3
C ．3.5
D ．4 【解析】由已知可得，∵x ＋y ＋z ＝1，∴1
x ＋y ＋
x ＋y z ＝x ＋y ＋z x ＋y ＋x ＋y z ＝1＋z x ＋y ＋x ＋y
z ≥3.选B. 6．在数列{}n
a 中，1112,ln 1n n a
a a n +⎛⎫
==++ ⎪
⎝⎭
，则n
a ＝（ D ）
A ．1ln n n ++
B ．()21ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．2ln n +
7．在各项均为正数的等比数列{}n
a 中，7
6
5
2a a a =+，且存在两项m
a ，n
a 使得1
4m
n
a a a =，则14
m n
+的最小值为 （ C ） A ．5
3
B ．4
3
C ．3
2
D．9
4
8．设△ABC的三个内角为A，B，C，且tan A，tan B，tan C，2tan B依次成等差数列，则sin 2B ＝(D)
A．1 B．－4 5
C．±4
5
D．
4
5
【解析】由条件，得tan C＝3
2
tan B，tan A＝
1
2
tan
B，所以△ABC为锐角三角形，又tan A＝－tan(C
＋B)＝－
tan C＋tan B
1－tan Ctan B
＝－
5
2
tan B
1－
3
2
tan2B
＝
1
2
tan
B，得tan B＝2，所以sin 2B＝2sin Bcos B＝
2sin Bcos B sin2B＋cos2B ＝
2tan B
tan2B＋1
＝
4
5
，故选D.
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos b C a ，点M在线段AB上，且
ACM BCM
∠=∠．若66b CM ==，则cos BCM ∠=（ C ）
A ．10
B ．7
C ． 3
4
D ．6 10．给出下列命题：①若0b a <<，则||||a b >；②若0b a <<，则a b ab +<；③若0b a <<，
则2b a
a b
+>；④若0b a <<，则2
2a a b b <-；⑤若0b a <<，则22a b a
a b b
+>+；⑥若1a b +=，
则2
212
a
b +≥
．其中正确的命题有（ D ）A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
11．已知a , b ∈R ，且a 是2b -与3b -的等差中项，则2||||
ab a b +的最大值为（ A ） A ．19 B ．29 C ．23 D ．4
3
12.（非A 班作答）数列满足，
则数列的前200项和为（ B ）
A. 51000
B. 20200
C. 98000
D. 98500 【解析】由，得：
a 1=a 1，a 2=a 1+2，a 3=−a 2+4=−a 1+2，a 4=a 3+6=−a 1+8，
∴a 1+a 2+a 3+a 4=12；
同理求得a 5+a 6+a 7+a 8=28；a 9+a 10+a 11+a 12=44； ∴数列{a n }的前200项满足S 4,S 8−S 4,S 12−S 8，…是以12为首项，16为公差的等差数列，
则数列{a n }的前200项和为S=50×12+50×49×16÷2=20200. 故选：B.
12.（A 班作答）在平面内，定点 A.B.C.O 满足OA OB OC ==,OA OB OB OC ==2OC OA =-，动点,P Q 满足
1
AP =,PQ QC =，则2
437
BQ
-的最小值是（ B ）
A.-6
B.-12
C.-3
D.-233
二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分） 13.已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x≥2，x ＋y≤4，
2x －y －m≤0，
若目标函
数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为____5____．
【解析】画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知直线l 在C 处z 取得最
大值，由⎩⎨
⎧
3x ＋y ＝10，
x ＋y ＝4，
解得⎩⎨
⎧
x ＝3，y ＝1，
∴2×3
－1－m ＝0，m ＝5.当直线l 平移到B (2，－1)处
时z 取得最小值，z min ＝3×2－1＝5. 答案：5
14．如图，在△ABC 中，AD →＝13DC →，P 是线段BD 上一点，若AP →＝mAB →＋16AC →，则实数m 的值为__13__．
【解析】因为AD →＝13DC →，则AC →＝4AD →，所以AP →＝mAB →＋23
AD →. 因为B ，P ，D 三点共线，则m ＋2
3＝1，所以m
＝13. 答案：m ＝13
15.（非A 班作答）已知0
90< < < 0βα,且βαsin ,sin 是方
程02
140cos )40cos 2(0202
=-
+-x x
的两个根，则)2cos(βα-的值
为 4
2
6- ．
16.（A 班作答） 某沿海四个城市A 、B 、C 、D 的位置如图所示，其中60ABC ∠=︒，135BCD ∠=︒，80AB =n mile ，
40303BC =+n mile
，
2506CD =n mile
，D 位于A 的北偏东75︒方
向.现在有一艘轮船从A 出发以50n mile/h 的速度向D 直线航行，60min 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C 直线航行，收到指令时城市C 对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sin θ=
62
4
．
15. 对于给定的正整数n ，设集合X n ＝{1，2，3，…，n }，n
X A ⊆，且∅≠A ．记I (A )为集合A 中
的最大元素，当A 取遍X n 的所有非空子集时，对应的所有I (A )的和记为S (n )，则S (2 018)=2 017×22 018
＋1
【解析】对于集合X n ，满足I (A )＝1的集合A 只有1个，即{1}；满足I (A )＝2的集合A 有2个，即{2}，{1，2}；满足I (A )＝3的集合A 有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；…； 满足I (A )＝n 的集合A 有2n －1个，所以S (n )＝1＋2·2＋3·22
＋…＋n ·2
n －1
.
由错位相减法，得S (n )＝(n －1)2n ＋1，所以S (2 018)＝2 017×2
2 018
＋1 答案：2 017×2
2 018
＋1
三、 解答题：（本大题6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分10分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3sin (cos 1)
a C c A =+.
（1）求角A 的大小； （2）若5b c +=，3
ABC
S
∆=，求a 的值.
解：（13sin sin (cos 1)
A C C A =+，
由于sin 0C ≠3cos 1
A A =+3cos 1
A A -=，
则1sin()62
A π-=. 因为0A π<<，所以5666A πππ-<-<，所以66
A ππ-=， 所以3A π=. （2）由3
ABC
S
∆=可得1sin 32
S bc A == 所以4bc =. 由余弦定理得2
222cos a b c bc A =+-2()313
b c bc =+-=，
所以13
a =
18.（本小题满分12分） 已知函数()(1)f x ax a =-+.
（1）求关于x 的不等式()0f x <的解集； （2）若2
()f x x x a
≤--在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范
围.
解：（1）若0a =，原不等式可化为10-<，所以x R ∈.
若0a <，解得1
a x a +>； 若0a >，解得1a x a +<.
综上，当0a =时，不等式解集为R ；
当0a <时，不等式解集为1{|}a x x a +>；
当0a >时，不等式解集为1{|}a x x a +<.
（2）由2
(1)ax a x
x a
-+≤--得2
1
ax x
x ≤-+， 因为(0,)x ∈+∞，所以211
1
x x a x x x
-+≤=+-，
所以2
()f x x x
≤-在(0,)+∞上恒成立，即11a x x
≤+-在(0,)+∞上恒成立.
令1()1g x x x
=+-，只需min
()a g x ≤， 又因为(0,)x ∈+∞，
所以1
1
()111g x x x x
x
=+-≥⋅=，当且仅当1x =时等式成立.
所以a 的取值范围是(,1]-∞.
19（非A 班作答）（本小题满分12分） 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 2＋a 3＝26，S 6＝728.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S 2
n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n
.
解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 由728≠2×26得，S 6≠2S 3，∴q ≠1.
由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
S 3＝a 1
1－q 3
1－q
＝26，S 6＝a 11－q 6
1－q ＝728，
解得
⎩⎨
⎧
a 1＝2，
q ＝3.
∴a n ＝2×3n －1. (2)证明：由(1)可得S n ＝2×
1－3
n
1－3
＝3n －1.
∴S n ＋1＝3
n ＋1
－1，S n ＋2＝3
n ＋2
－1.
∴S 2n ＋1－S n S n ＋2
＝4×3n
. 19.（A 班作答）（本小题满分12分）
数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2a n ＋1
，a 1＝1.
(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是等差数列；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1
S 2＋…
＋1
S n >
n
n＋1
.
解：(1)证明：∵a n＋1＝
a
n
2a n＋1
，
∴
1
a
n＋1
＝
2a n＋1
a
n
，化简得
1
a
n＋1
＝2＋
1
a
n
，
即
1
a
n＋1
－
1
a
n
＝2，故数列
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
1
a
n
是以1为首项，2为
公差的等差数列．
(2)由(1)知1
a
n
＝2n－1，
∴S n＝n1＋2n－1
2
＝n2.
1 S1＋
1
S2
＋…＋
1
S
n
＝
1
12
＋
1
22
＋…＋
1
n2
>
1
1×2
＋
1
2×3
＋…＋
1
n n＋1
＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
1
2
＋
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2
－
1
3
＋…＋
1
n
－
1 n＋1＝1－
1
n＋1
＝
n
n＋1
.
20.（本小题满分12分）
某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，
C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
肥料
A B C
甲48 3
乙551 0
现有A种原料200吨，种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
解：(1)由已知，x ，y 满足的数学
关
系
式
为
⎩⎪
⎪⎨⎪
⎪⎧
4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．
(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y . 考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它
的图象是斜率为－2
3
，随z 变化的一族平行直线，
z
3
为直线在
y 轴上的截距，当z
3
取最大值时，z 的值最大．根
据x ，y 满足的约束条件，由图2可知，当直线z
＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z
3最大，
即z 最大．
解方程组⎩⎨
⎧
4x ＋5y ＝200，
3x ＋10y ＝300，
得点M 的坐标为
(20,24)，
所以z max ＝2×20＋3×24＝112.
答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元． 21.（本小题满分12分）
如图，已知OPQ 是半径为7，圆心角为3
π的扇形，C
是该扇形弧上的动点，ABCD
是扇形的内接矩形，其中D 在线段OQ 上，.A B 在线
段OP 上，记BOC ∠为θ, （1）若Rt CBO
的周长为
7(2105)
+，求2
3cos 2cos sin cos θ
θθθ
--的值；
（2）求OA AB 的最大值，并求此时θ值 21. （1）sin 7sin ,cos 7cos BC OC OB OC θθθθ
====，
由
(
)72105
77sin 7cos 5
θθ+++=
，得2
10
sin cos θθ+=，
平方得32sin cos 5θθ=，即2
2
2
2sin cos 2tan 3
sin cos 1tan 5
θθθθθθ==++，得tan 3θ=（舍）或
1
tan 3θ=
，则(
)222
2
2cos 2sin 3cos2cos sin cos cos sin cos θθ
θ
θθθθθθ
+-=
--()2
212tan 111tan 3
θθ+==-
.（2）由sin 7sin ,cos 7cos BC OC OB OC θθθθ
====，
得321tan sin 633
OA DA BC πθ==
=，
则
22137337cos sin cos OA AB θθθθθθ⎫⎫
⋅==-⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭
,
∴当262ππθ+=，即6πθ=时， OA AB ⋅有最大值7
6
12分.
22.（本小题满分12分）
已知常数0a ≠，数列{}n
a 的前n 项和为S n ，1
2a =，
(1)n
n
S a a n n
=+-． （1）求数列{}n
a 的通项公式；
（2）若3(1)n n n
n
b
a =+-，且数列{}n
b 是单调递增数列，
求实数a 的取值范围； （3）若12
a =，12018
n n
n a c
a -=
+，对于任意给定的正整数k ，
是否都存在正整数p 、q ，使得
k p q
c c c =？若存在，试求出p 、q 的一组值(不论
有多少组，只要求出一组即可)；若不
存在，请说明理由． 22.解：(1)∵()1n
n
S a
a n n
=
+-
∴na n =S n +an(n －1)
∴(n －1)a n －1=S n －1+a(n －1)(n －2) 相减得na n －(n －1)a n －1=a n +2a(n －1) 即(n －1)a n －(n －1)a n －1=2a(n －1) 其中n ≥2
∴a n －a n －1=2a 为定值
∴{}n
a 是以2为首项2a 为公差的等差数列
∴a n =2+(n －1)2a=2a(n －
1)+2…………………………………………………………………4分 方法二：∵()1n
n
S a a n n
=
+-
∴S n －S n －1=n
S n +a(n －1)
∴(1)n
n S n - －S n －1=a(n －1) 其中n ≥2
∴n
S n －1
1
n S
n --=a 为定值 ∴{n
S n }是以2为首项a 为公差的等差数列
∴n
S n =2+(n －1)a
∴a n =
n
S n
+a(n －1)=2a(n －
1)+2………………………………………………………………4分 (2)由{}n
b 是单调递增数列
得b n ＜b n+1 即
3n +(－1)n [2a(n －1)+2]＜3n+1
+(－
1)n+1
(2an+2) 即
(
－
1)n a
＜
3(1)221
n n n ---……………………………………………
………………………5分 1°若n 为正奇数 则－a ＜
3221
n n +-在n 为正奇数时恒成立 设f(n)=
3221
n n +-
则f(n)－f(n+2)=3221
n n +--
23223
n n +++=－
4[(43)32](21)(23)
n n n n ---+＜0
∴f(1)＜f(3)＜f(5)＜… ∴
－
a
＜
f(1)=5
即
a
＞
－
5………………………………………………………………………6分 方法二：则f(n)－f(n+1)=
3221
n n +-－
13221
n n +++=－
4[(1)31](21)(21)
n n n n ---+
它在n=1时为正，在n ≥2为负 ∴f(1)＞f(2)＜f(3)＜f(4)＜f(5)＜… ∴－a ＜min{f(1)，f(3)}=min{5，295}=5即a ＞－5………………………………………6分 2°若n 为正偶数 则a ＜
32
21
n n --在n 为正偶数时恒成立 设g(n)=
3221
n n --
则g(n+2)-g(n)= 23223
n n +-+-
3221
n n --=
4[(43)32](21)(23)
n n n n -+++＞0
∴g(2)＜g(4)＜g(6)＜… 方法二：则g(n+1)－g(n)= 132
21
n n +-+-
3221
n n --=
4[(1)31](21)(21)
n n n n -+-+＞0
∴g(1)＜g(2)＜g(3)＜g(4)＜… ∴a ＜g(2)=73
综合1°2°及a ≠0得－5＜a ＜73且a ≠0……………………………………………………8分 (3)由(1)得1
=+n
a
n
∴k
p q
c
c c
=可化为201920192019
=+++k p q
k p q
方法一：即
p=(2019)k q q k +-=1(2019)kq k q k ⨯+-=(2019)
k q q k
⨯+-…………………………10分 令
1
2019q k p kq k
-=⎧⎨
=+⎩得
220201
p k k q k ⎧=+⎨
=+⎩
(或令2019q k k p q -=⎧⎨=+⎩
得22019
2p k q k
=+⎧⎨
=⎩
，或交换前两组p ，q 的值，能够确定的有四组)
∴存在满足要求的p ，q ，且有一组值为
220201
p k k
q k ⎧=+⎨
=+⎩………………………………12分
方法二：即pq －kp －kq=2019k 即(p －k)(q －k)=k(k+2019)=1×(k 2
+2019k)=k ×(k+2019) …………………………………………………………………………………………………10分
令2
12019p k q k k
k
-=⎧⎨
-=+⎩
即2
12020p k q k k =+⎧⎨
=+⎩
(或令2019
p k k q k k -=⎧⎨
-=+⎩
即222019p k
q k =⎧⎨=+⎩
，或交换前两组p ，q 的值，共能确定四组)
∴存在满足要求的p ，q ，且有一组值为
2
1
2020p k q k k
=+⎧⎨=+⎩………………………………12分
附加题（竞赛生作答，两小题共20分，计入总分）
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1：（8分）设非负实数
1212
,,...x x x 满足12
1
1.i i x ==∑则
9
123
1i i i i i S x x x x +++==∑的最大值为 ．
【解析】
2：（12分）设数列{}n
a 满足：1
1
a =，且当n N *
∈时，
321
1
(1)1n
n
n n a a a a +++-+=
（Ⅰ）比较n
a 与1
n a +的大小，并证明你的结论；
（Ⅱ）若2211
(1)
n n n n
a b a a +=-，其中*
∈N n ，证明：1
0 2.
n
k
k b
=<<∑
（注：121n
k
n
k b
b b b ==+++∑）
【解析】（Ⅰ）由于3211
(1)1n n
n n a a a a +++-+=，则
3212
11n n n n
a a a a +++=+， （Ⅱ）由于
2
211
(1)
n n n n
a b a a +=-，由（Ⅰ）1
n n
a
a +>>0，则
2
21
1n
n a a +<，
2
21
10n
n a a +->，
而1
110
n n
a
a a +>>=>，则0
n
b
>，∴121
0.
n
k
n k b
b b b ==+++>∑
又2
22
1111122221
111
()()2()1(1)n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n a
a a a a a a a a a
b a
a a a a a a a +++++++++-+--=-==< ∴121
11
11
2(
)n
k
n k n b
b b b a a =+=+++<-∑，而1
n n
a
a +>，且1
1a
=，故1
n a
+>
∴
1
12n
k k b a =<∑，因此1
2
n
k
k b
=<∑，从而1
0 2.
n
k
k b
=<<∑
备用好题（学生课外思考题）。