2021年高三一模数学(文)试卷 含解析

2021年高三一模数学（文）试卷含解析
本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项）
（1）若集合，，则
（A）（B）
（C）（D）
【知识点】集合的运算
【试题解析】因为，
所以，
故答案为：B
【答案】B
（2）已知直线与直线互相垂直，则
（A）（B）
（C）（D）
【知识点】两条直线的位置关系
【试题解析】因为直线与直线互相垂直，
所以，
故答案为：C
【答案】C
（3）已知，，，则三个数的大小关系是
（A）（B）
（C）（D）
【知识点】对数与对数函数 【试题解析】因为 所以，
故答案为：A 【答案】A
（4）若满足则的最大值为
（A ） （B ）
（C ）
（D ）
【知识点】线性规划
【试题解析】因为可行域如图，在AC 上任何一点取得最大值3．
故答案为：A 【答案】A
（5）已知数列的前项和1159131721(1)(43)n n S n -=-+-+-+
+--，则
（A ） （B ） （C ）
（D ）
【知识点】数列的求和 【试题解析】因为 故答案为：D 【答案】D
（6）在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
【知识点】充分条件与必要条件
【试题解析】因为
所以，是充分必要条件
故答案为：C
【答案】C
（7）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的值分别为，，，则输出和的值分别为
（A）（B）
（C）（D）
【知识点】算法和程序框图
【试题解析】因为
输出。

故答案为：D
【答案】D
（8）函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示．若集合,，则中元素的个数为
（A）（B）
（C）（D）
【知识点】函数图象函数及其表示
x
y
-1 O 1 2
1
图2
x
y
-1 O 1
1
-1
图1
【试题解析】因为即，即
所以，中元素的个数为 3
故答案为：C
【答案】C
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若复数是实数，则．
【知识点】复数综合运算
【试题解析】因为=为实数，
故答案为：0
【答案】0
（10）以抛物线的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为．
【知识点】抛物线
【试题解析】因为抛物线的焦点为,又过原点，
所以，圆的方程为
故答案为：
【答案】
（11）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为．
【知识点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】因为正(主)视图与侧(左)视图对应的两个三角形等底等高，
所以，面积相等，故面积的比值为1
故答案为：1
【答案】1
（12）已知函数
①若，则实数；
②在①的条件下，若直线与的图象有且只有一个交点，则实数的取值范围
是．
【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数
【试题解析】因为
①
②
由图可知
故答案为：①-1；②
【答案】①-1；②
（13）如图，在矩形中，点，分别在线段，上，且满足，，若，则．
【知识点】平面向量基本定理
【试题解析】因为
．
故答案为：
【答案】
（14）每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动．活动将个家庭分成两组，组负责种植棵
银杏树苗，组负责种植棵紫薇树苗．根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗
用时，种植一棵紫薇树苗用时.假定两组同时开始种植,若使植树活动持续时间最短，
则组的家庭数为，此时活动持续的时间为．
【知识点】函数模型及其应用
【试题解析】因为由已知得，得
C F B
E
O
所以，
故答案为：
【答案】
三、解答题（共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题共13分）
已知函数．
(Ⅰ)求的最小正周期；
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．
【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）
．
所以的最小正周期．
（Ⅱ）因为时，所以．
于是当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
【答案】见解析
（16）（本小题共13分）
已知公差为正数的等差数列满足，，，成等比数列．
(Ⅰ) 求的通项公式；
(Ⅱ)若，分别是等比数列的第项和第项，求使数列的前n项和的最大正整数．
【知识点】公式法，分组求和等比数列等差数列
【试题解析】（Ⅰ）设数列的公差为，
由已知可得，即，
整理得，解得(舍去)或．
所以的通项公式为，．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，，所以等比数列的公比．
于是是以为首项，以为公比的等比数列．
所以．
由，得，即，
则满足不等式的最大正整数．
【答案】见解析
（17）（本小题共14分）
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点是对角线与的交点，，，是的中点．(Ⅰ)求证：∥平面；
(Ⅱ)平面平面；
(Ⅲ)当三棱锥的体积等于时，求的长．
【知识点】立体几何综合
【试题解析】证明：（Ⅰ）因为在△中，，分别是，的中点，
所以∥
又平面，平面，
所以∥平面．
(Ⅱ)因为底面是菱形，
所以．
因为平面，平面，
所以．又，
所以平面．
又平面，
所以平面平面．
（Ⅲ）因为底面是菱形，且，，
所以．
又，三棱锥的高为，
所以，
解得．
【答案】见解析
（18）（本小题共13分）
“爱心包裹”是中国扶贫基金会依托中国邮政发起的一项全民公益活动，社会各界爱
心人士只需通过中国邮政网点捐购统一的爱心包裹，就可以一对一地将自己的关爱送给需要帮助的人．某高校青年志愿者协会响应号召，组织大一学生作为志愿者，开展一次爱心包裹劝募活动．将派出的志愿者分成甲、乙两个小组，分别在两个不同的场地进行劝募，每个小组各人．爱心人士每捐购一个爱心包裹，志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪念．以下茎叶图记录了这两个小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数，且图中甲组的一个数据模糊不清，用x表示．已知甲组送出钥匙扣的平均数比乙组的平均数少1个．
甲组乙组
(Ⅰ)求图中的值；
(Ⅱ) “爱心包裹”分为价值元的学习包，和价值元的“学习+生活”包，在乙组劝募的爱心包裹中元和元的比例为，若乙组送出的钥匙扣的个数即为爱心包裹的个数，求乙组全体成员劝募的爱心包裹的价值总额；
(Ⅲ)在甲组中任选位志愿者，求他们送出的钥匙扣个数都多于乙组的平均数的概率．
【知识点】概率综合
【试题解析】（Ⅰ）由茎叶图可知乙组送出钥匙扣的平均数为．
则甲组的送出钥匙扣的平均数为．
由，解得．
(Ⅱ) 乙组送出钥匙扣的个数为，即劝募的总包裹数为，按照的比例，价值元的包裹有个，价值元的包裹有个，
故所求爱心包裹的总价值元．
（Ⅲ）乙组送出钥匙扣的平均数为个．甲组送出钥匙扣的个数分别．
若从甲组中任取两个数字，所有的基本事件为：，，
，共个基本事件．
其中符合条件的基本事件有，共个基本事件，
故所求概率为．
【答案】见解析
（19）（本小题共13分）
已知和是椭圆：的两个焦点，且点在椭圆上．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴和轴分别交于点，当面积取最小值时，求此
时直线的方程．
【知识点】椭圆
【试题解析】（Ⅰ）依题意，，又，故．
所以．
故所求椭圆的方程为．
（Ⅱ）由消得．
由直线与椭圆仅有一个公共点知，
，整理得．
由条件可得，，．
所以．①
将代入①得．
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
有最小值．
因为，所以，又，解得．
故所求直线方程为或．
【答案】见解析
（20）（本小题共14分）
已知函数，．
(Ⅰ)若在处取得极值，求的值；
(Ⅱ)求在区间上的最小值；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若，求证：当时，恒有成立．【知识点】导数的综合运用
【试题解析】（Ⅰ）由，定义域为，
得．
因为函数在处取得极值，
所以，即，解得．
经检验，满足题意，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为．
当时，有，在区间上单调递增，最小值为；
当，由得，且．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在区间上单调递增，最小值为；
当时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以函数在取得最小值．
综上当时，在区间上的最小值为；
当时，在区间上的最小值为．
（Ⅲ）由得．
当时，，，
欲证，只需证，
即证，即．
设，
则．
当时，，所以在区间上单调递增．
所以当时，，即，
故．
所以当时，恒成立．
【答案】见解析
28450 6F22 漢27473 6B51 歑38273 9581 閁37827 93C3 鏃\ 39166 98FE 飾11t#。