2021年高三上学期期末考试数学(文)试卷含解析

2021年高三上学期期末考试数学（文）试卷含解析
一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确的）
1．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁
R
B）=（）A．（﹣3，5] B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，3）
2．若点（16，2）在函数y=log
a
x（a＞0且a≠1）的图象上，则tan的值为（）A．﹣B．﹣C．D．
3．已知直线l
1：（1﹣a）x+ay﹣2=0，l
2
：ax+（2a+1）y+3=0，则“a=﹣2”是“l
1
⊥l
2
”成立的（）
A．充分不变要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．将函数（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（）
A． B．
C． D．
5．已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，且l∥α，则下列命题正确的是（）A．若l∥m，则m∥α B．若m∥α，则l∥m C．若l⊥m，则m⊥α D．若m⊥α，则l⊥m
6．若实数经，x，y满足，则z=y﹣x的最小值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图，在平行四边形ABCD中，M为CD中点，若=λ+μ．则μ的值为（）
A． B． C． D．1
8．函数y=（e x﹣e﹣x）•sinx的图象大致是（）
A． B．
C． D．
9．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）的最小值为（）
A．﹣B．﹣C．0 D．
10．双曲线的渐近线与抛物线y=2x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x+1，则函数f（x）零点的个数为．
12．设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为．
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c；若a2﹣c2=bc，sinB=2sinC，则角
A= ．
15．过抛物线y2=4x的焦点且倾斜角为60°的直线被圆截得的弦长是．
三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．已知函数f（x）=+1．
（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值及取得最大值时x的集合．
17．如图，矩形ABCD中，E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABCD沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF．
（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；
（Ⅱ）若四边形ECDF为正方形且平面MNEF⊥平面ECDF，求证：平面NED⊥平面NFC．
18．已知数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且满足2a n+1+S n=3（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求满足＜＜的所有n的和．
19．已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件该产品需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且f（x）=．
（Ⅰ）写出年利润P（万元）关于产品年产量x（千件）的函数关系式；
（Ⅱ）年产量x为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）
20．定义在R上的函数f（x）=ax2+bx2+cx+3同时满足以下条件：
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
②f′（x）是偶函数；
③f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=4lnx﹣m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．
21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞1）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值等于．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m与以线段F1F2为直径的圆O相切，并与椭圆E相交于不同的两点A、B，若•=﹣．求k的值．
xx学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确的）
1．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）
A．（﹣3，5] B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，3）
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集R及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．
解答：解：由A中不等式解得：﹣3＜x＜3，即A=（﹣3，3），[来源:]
∵全集R，B=（﹣1，5]，
∴∁R B=（﹣∞，﹣1]∪（5，+∞），
则A∩（∁R B）=（﹣3，﹣1]，
故选：B．[来源:Z+xx+k]
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．若点（16，2）在函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象上，则tan的值为（）
A．﹣B．﹣C． D．
考点：运用诱导公式化简求值；对数的运算性质．
专题：三角函数的求值．
分析：由条件求得a的值，再利用诱导公式求得tan的值．
解答：解：∵点（16，2）在函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象上，∴2=log a16，∴a2=16，a=4，
∴tan=tan=tan=，
故选：D．
点评：本题主要考查对数的运算性质，利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
3．已知直线l1：（1﹣a）x+ay﹣2=0，l2：ax+（2a+1）y+3=0，则“a=﹣2”是“l1⊥l2”成立的（）
A．充分不变要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据直线垂直的等价条件得到（1﹣a）a+a（2a+1）=0，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解答：解：若l1⊥l2，则（1﹣a）a+a（2a+1）=0，[来源:]
即a2+2a=0，解得a=0或a=﹣2，
则“a=﹣2”是“l1⊥l2”成立的充分不必要条件，
故选：A
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．
4．将函数（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（）
A． B．
C． D．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：令y=f（x）=2sin（3x+），易求y=f（x+）=2sin（3x+），再将其横坐标扩大到原来的2倍即得答案．
解答：解：令y=f（x）=2sin（3x+），
将f（x）=2sin（3x+）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，
得：y=f（x+）=2sin[3（x+）+]=2sin（3x+），
再将y=2sin（3x+）图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），
得到的图象的解析式为y=2sin（x+），
故选：B．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，着重考查平移变换与伸缩变换，属于中档题．
5．已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，且l∥α，则下列命题正确的是（）A．若l∥m，则m∥α B．若m∥α，则l∥m C．若l⊥m，则m⊥α D．若m⊥α，则l⊥m 考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：综合题；空间位置关系与距离．
分析：根据直线与平面平行的判定定理，得到A错误；根据直线与平面平行、垂直的性质定理，得到B，C错误，D正确．
解答：解：对于A，若l∥m，l∥α，且m在平面a外，则可以得到m∥α，但题设中没有
m⊄α，故不一定m∥α，故错误；
对于B，l∥α，m∥α，则l与m平行、相交、异面，故错误；
对于C，l∥α，l⊥m，则m⊥α，也有可能平行、相交，故错误；
对于D，l∥α，m⊥α，则由线面平行、垂直的性质，可得l⊥m，故正确．
故选：D．
点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了空间直线与平面垂直、平行的判断和空间直线位置关系的判断等知识点，属于中档题．
6．若实数经，x，y满足，则z=y﹣x的最小值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），
由z=y﹣x，得y=x+z，
平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，
即C（1，2），
此时z的最小值为z=2﹣1=1，
故选：B．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
7．（5分）（xx秋•济宁期末）如图，在平行四边形ABCD中，M为CD中点，若=λ+μ．则μ的值为（）
A． B． C． D．1
考点：平面向量的基本定理及其意义．
专题：平面向量及应用．
分析：在平行四边形ABCD中，M为CD中点，可得=，代入=λ+μ，可得=，与比较即可得出．解答：解：∵在平行四边形ABCD中，M为CD中点，
∴=，
∵=λ+μ，
∴
=，
又，
∴λ=1，=1，
解得μ=．
故选：C．
点评：本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．函数y=（e x﹣e﹣x）•sinx的图象大致是（）
A． B．
C． D．
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：通过函数的奇偶性，排除部分选项，然后利用0＜x＜π时的函数值，判断即可．
解答：解：函数f（﹣x）=（e﹣x﹣e x）（﹣sinx）=（e x﹣e﹣x）sinx=f（x），
∴函数f（x）=（e x+e﹣x）sinx是偶函数，排除B、C；
当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除D．
∴A满足题意．
故选：A．
点评：本题考查函数的图象的判断，一般通过函数的定义域、值域．单调性，奇偶性，变化趋势等知识解答．
9．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）的最小值为（）
A．﹣B．﹣C．0 D．
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：设x∈[﹣1，0]，则x+1∈[0，1]，故由已知条件求得 f（x）==，再利用二次函数的性质求得函数f（x）的最小值．
解答：解：设x∈[﹣1，0]，则x+1∈[0，1]，
故由已知条件可得f（x+1）=（x+1）2﹣（x+1）=x2+x=2f（x），
∴f（x）==，
故当x=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，
故选：A．
点评：本题主要考查求函数的解析式，二次函数的性质应用，属于基础题．
10．双曲线的渐近线与抛物线y=2x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）
A． B． C． D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：把双曲线的一条渐近线方程代入抛物线，整理得到一个一元二次方程，由渐近线与抛物线只有一个公共点，由此利用根的判别式能求出结果．
解答：解：双曲线的渐近线方程为y=±，
把y=代入抛物线抛物线y=2x2+1，
得2bx2﹣ax+b=0，
∵渐近线与抛物线y=2x2+1相切，
∴△=a2﹣8b2=0，
∴，
∴e====．
故选：D．
点评：本题考查双曲线的离心的求解，是基础题，解题进认真解题，注意相切的性质的灵活运用．
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x+1，则函数f（x）零点的个数为 2 ．
考点：函数零点的判定定理．
专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．
分析：函数f（x）零点的个数即函数y=ln（x+1）与y=x﹣1的交点的个数，作函数y=ln（x+1）与y=x﹣1的图象求解．
解答：解：函数f（x）零点的个数即函数y=ln（x+1）与y=x﹣1的交点的个数，
作函数y=ln（x+1）与y=x﹣1的图象如下，
其有两个交点，[来源:]
故答案为：2．
点评：本题考查了函数的零点的判断与函数的图象的关系应用，属于基础题．
12．设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为f（2n）≥（n∈N*）．
考点：归纳推理．
专题：探究型．
分析：根据已知中的等式：，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．
解答：解：观察已知中等式：
得，
f（4）＞2，
，
f（16）＞3，
…，
则f（2n）≥（n∈N*）
故答案为：f（2n）≥（n∈N*）．
点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．
解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
棱锥的底面面积S=2×2=4，
棱锥的高h==2，
故棱锥的体积V==，
故答案为：
点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c；若a2﹣c2=bc，sinB=2sinC，则角A= ．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：计算题；解三角形．
分析：先利用正弦定理化简sinB=2sinC得b=2c，再由a2﹣c2=bc可得 a2=7c2 ，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．
解答：解：由sinB=2sinC及正弦定理可得b=2c，再由a2﹣c2=bc可得 a2=7c2 ，
再由余弦定理可得 cosA===，
∵0＜A＜π
∴A=．
故答案为：．
点评：本题主要考查了正弦、余弦定理，及特殊角的三角函数值化简求值，属于中档题．
15．过抛物线y2=4x的焦点且倾斜角为60°的直线被圆截得的弦长是．
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由抛物线的焦点坐标求出直线方程，再求出圆的圆心的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由此能求出弦长．
解答：解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），
∴过抛物线y2=4x的焦点且倾斜角为60°的直线方程为：
y=tan60°（x﹣1），即，
∵圆的圆心（2，﹣2），半径r=4，
∴圆心（2，﹣2）到直线的距离：
d==，
∴弦长L=2=2=．
故答案为：．
点评：本题考查直线与圆相交的弦长的求法，是中档题，解题时要注意抛物线、圆、直线方程、点到直线距离公式等知识点的灵活运用．
三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．已知函数f（x）=+1．
（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值及取得最大值时x的集合．
考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
分析：（Ⅰ）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），即可得定义域，化简解析式为f（x）=2sin（2x ﹣），从而可求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由x∈[，]，即可解得2x﹣∈[，]，从而可求f（x）在区间[，]上的最大值及取得最大值时x的集合．
解答：解：（Ⅰ）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），
故f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ（k∈Z}，
因为f（x）=
=（2sinx﹣2cosx）•cosx+1
=sin2x﹣cos2x
=2sin（2x﹣）
所以f（x）的最小正周期T=π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x﹣），
由x∈[，]，得2x﹣∈[，]
所以当2x﹣=，即x=时，f（x）取得最大值2．
点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基础题．
17．如图，矩形ABCD中，E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABCD沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF．
（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；
（Ⅱ）若四边形ECDF为正方形且平面MNEF⊥平面ECDF，求证：平面NED⊥平面NFC．
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理证明NC∥平面MFD；
（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面NED⊥平面NFC．
解答：证明：（Ⅰ）∵四边形MNEF，EFDC都是平行四边形，
∴MN∥EF，EF∥CD，MN=EF，EF=CD，
∴四边形MNCD是平行四边形，
∴NC∥MD，
∵NC⊄平面MFD，MD⊂平面MFD，
∴NC∥平面MFD；
（Ⅱ）连结ED，
∵平面NMNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，
∴NE⊥平面ECDF，
∴FC⊥NE，[来源:]
∵四边形ECDF为正方形，
∴FC⊥ED，[来源:Z,xx,k]
∵NE∩ED=E，EN⊂平面NED，ED⊂平面NED，
∴FC⊥平面NFC，
∵FC⊂平面NFC，
∴平面NED⊥平面NFC．
点评：本题主要考查空间直线和平面平行以及平面和平面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．
18．已知数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且满足2a n+1+S n=3（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求满足＜＜的所有n的和．
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）在已知的数列递推式中取n=n﹣1得另一递推式，两式作差后即可得到数列{a n}的首项a1=，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；[来源:Z*xx*k]
（Ⅱ）将代入2a n+1+S n=3，求得，进一步得到S2n，代入后由得，求解指数不等式可得正整数n 的值，则答案可求．
解答：解：（Ⅰ）由2a n+1+S n=3，得2a n+S n﹣1=3（n≥2），
两式相减得：2a n+1﹣2a n+a n=0，即．
又，符合上式，
∴数列{a n}的首项a1=，公比为的等比数列，
则；
（Ⅱ）将代入2a n+1+S n=3，得，
故．
∴=．
故由得．
又n为正整数，∴n=3或n=4．
∴满足＜＜的所有n的和为7．
点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了指数不等式的解法，是中档题．
19．已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件该产品需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且f（x）=．
（Ⅰ）写出年利润P（万元）关于产品年产量x（千件）的函数关系式；
（Ⅱ）年产量x为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）
考点：函数模型的选择与应用；分段函数的应用．
专题：计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）当0＜x≤10时，P=xf（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣﹣10；当x＞10时，P=xf（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x；写成分段函数即可；
（Ⅱ）分0＜x≤10与10＜x时讨论函数的最大值，从而求最大值点即可．
解答：解：（Ⅰ）当0＜x≤10时，
P=xf（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣﹣10；
当x＞10时，P=xf（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x；
故P=；
（Ⅱ）①当0＜x≤10时，由P′=8.1﹣=0解得，x=9；
故当x=9时有最大值P=8.1×9﹣﹣10=38.6；
②当10＜x时，由P=98﹣（+2.7x）≤98﹣2=38；
（当且仅当=2.7x，即x=时，等号成立）；
综上所述，当x=9时，P取得最大值．
即当年产量x为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大．
点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的应用与基本不等式的应用，属于中档题．
20．定义在R上的函数f（x）=ax2+bx2+cx+3同时满足以下条件：
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
②f′（x）是偶函数；
③f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=4lnx﹣m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．
考点：[来源:] 利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：导数的概念及应用．
分析：（Ⅰ）利用题中的已知条件，分别求出a、b、c的值，进一步求出函数的解析式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的解析式，进一步求出函数的导数，再利用函数的存在性问题即m＞f（x），只需满足：m＞（f（x））min即可．从而通过求函数的最小值确定结果．
解答：解：（Ⅰ）定义在R上的函数f（x）=ax2+bx2+cx+3，
所以：f′（x）=3ax2+2bx+c
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
所以：f′（1）=3a+2b+c=0，③
②f′（x）=3ax2+2bx+c是偶函数；
则：b=0．
f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
所以：f′（0）=﹣1④
解得：c=﹣1．⑤
把④⑤代入③解得：a=
则：
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=x2﹣1，
设g（x）=4lnx﹣m，若存在x∈[1，e]，
使得：4lnx﹣m＜x2﹣1
即存在x∈[1，e]，使：m＞（4lnx﹣x2+1）min，
设M（x）=4lnx﹣x2+1 x∈[1，e]，
则：
令
由于 x∈[1，e]，
解得：x=，
当时，M′（x）＞0，所以M（x）在[1，]上是增函数，
当时，M′（x）＜0，所以M（x）在[，e]上是减函数．
即当x=时，函数求的最大值．
M（1）=0，M（e）=5﹣e2＜0
所以：m＞5﹣e2
即m的取值范围为：m＞5﹣e2
点评：本题考查的知识要点：利用函数的性质求函数的解析式，存在性问题的应用，及相关的运算问题．
21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞1）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值等于．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；[来源:]
（Ⅱ）直线l：y=kx+m与以线段F1F2为直径的圆O相切，并与椭圆E相交于不同的两点A、B，若•=﹣．求k的值．
考点：椭圆的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（I）由△PF1F2面积的最大值等于，可得bc=，利用离心率为，可得=，即可求椭圆E 的方程；
（II）由于圆O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，利用直线与圆相切的从要条件得到一个等式，把直线方程与椭圆方程联立利用整体代换的思想，根据•=﹣建立k的方程求k．
解答：解：（1）由△PF1F2面积的最大值等于，可得bc=，
∵离心率为，∴=，解得：a=2，b=，
∴椭圆的方程为：；
（II）由直线l与圆O相切，得：=1，∴m2=1+k2，
设A（x1，y1）B（x2，y2），
由直线代入椭圆方程，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=k2×+km（﹣）+m2
=，
∴x1x2+y1y2=+==﹣，
解得：k=±．
点评：此题考查了椭圆的基本性质及椭圆的标准方程，还考查了直线方程与椭圆方程联立之后的整体代换设而不求，还有求解问题时方程的思想．
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