2015-2016学年高二数学人教B版选修1-1课件：第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的几
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图形.
【典型例题 1】 求双曲线 16x2-9y2=-144 的半实轴长、半虚轴长、焦
点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程,并作出草图.
思路分析:将双曲线方程变为标准方程,确定 a,b,c 后求解.
第七页，编辑于星期五：八点 八分。
-7-
2.2.2
探究一
双曲线的几何性质
探究二
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
探究三
解:把方程 16x -9y =-144 化为标准方程
2
HONGDIAN NANDIAN
2
2
42
−
2
32
=1,由此可知,实半轴长
a=4,虚半轴长 b=3,c= 2 + 2 =5,焦点坐标为(0,-5),(0,5);顶点坐标为
c2=a2+b2,直接求 a,c 的值.而在解题时常把 或 视为整体,把关系式转化为
关于 或 的方程,解方程求之,从而得到离心率的值.
3
4
【典型例题 3】 双曲线的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的离心率
为
.
思路分析:分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况讨论,把 看作一个整体进行
2
2
−
2
2 =1.
又 c2=a2+b2,得 a2=20,b2=5,
2
2
所以双曲线的标准方程为 − =1.
20
5
2
2
同理,当焦点在 y 轴上时,可得双曲线的方程为 − =1,
5
20
2
2
2
2
所以所求双曲线的标准方程为 − =1 或 − =1.
20
5
5
20
1
解法二:由渐近线方程为 y=± x,
求解.
-14-
第十四页，编辑于星期五：八点 八分。
2.2.2
探究一
双曲线的几何性质
探究二
探究三
J 基础知识 Z 重点难点
首页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
解析:方法 1:当焦点在 x 轴上时,其渐近线方程为 y=± x,依题意得 =
探究四
探究三
(3)解法一:由椭圆方程可得焦点坐标为(-5,0),(5,0),即 c=5 且焦点在 x
轴上.
2
设双曲线方程为 2
5
又 e= = ,
4
−
2
2 =1(a>0,b>0),且
c=5.
所以 a=4,
所以 b2=c2-a2=9.
2
2
所以双曲线的标准方程为 − =1.
16
9
-12-
第十二页，编辑于星期五：八点 八分。
−
49-
25
= -1,解得 λ=33.
16
2
2
所以双曲线的标准方程为 − =1.
16
9
点评:(1),(2)题中,利用渐近线方程与双曲线方程的关系,可设有公共渐
2
近线的双曲线系方程 2
−
2
2 =λ(λ≠0).这样可避免分类讨论,从而减少运算
量,提高解题速度与准确率.(3)题的解法二利用共焦点的曲线系方程,不失
探究一
双曲线的几何性质
探究二
探究三
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
(2)因为双曲线的渐近线方程为 2x±3y=0,
所以可设双曲线的方程为 4x2-9y2=λ(λ≠0).
又因为双曲线过点 M
81
4
9
,-1
2
第九页，编辑于星期五：八点 八分。
-9-
2.2.2
探究一
双曲线的几何性质
探究二
探究三
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
S 随堂练习
UITANG LIANXI
HONGDIAN NANDIAN
探究四
2
解:(1)解法一:当焦点在 x 轴上时,设所求双曲线方程为 2
1
1
由渐近线方程为 y=± x,得 = ,2c=10.
a,b,c 关系
a2+b2=c2
a2-b2=c2
第六页，编辑于星期五：八点 八分。
-6-
2.2.2
探究一
双曲线的几何性质
探究二
探究三
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
由双曲线方程研究其几何性质
已知双曲线的方程求该双曲线的有关性质的步骤:先将双曲线的方程
2
化为标准形式 2
−
2
2 =1
2 2
或 2- 2
= 1 ,再根据 a,b 的值(注意分母分别为
a2,b2,而不是 a,b)求出 c,进而对照双曲线的几何性质得到相应的答案.画几
何图形时,要先画双曲线的两条渐近线(即以 2a,2b 为两邻边的矩形的对角
线所在的直线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势画出双曲线的近似
-5-
2.2.2
双曲线的几何性质
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
名师点拨双曲线与椭圆的六个不同点:
双曲线
椭圆
图形
两支曲线
封闭的曲线
顶点
两个顶点
四个顶点
轴
实、虚轴
长、短轴
渐近线
有渐近线
无渐近线
离心率
e>1
0<e<1
3
3
5
5
,b= a,c= 2 + 2 = a,故 e= = .当焦点在 y 轴上时,其渐近线方程为
4
4
4
4
3
4
5
5
y=± x,依题意得 = ,b= a,c= 2 + 2 = a,即 e= = .方法 2:由
4
3
3
3
e=
2
= 1+
得:当
5
5
答案: 或
3
4
3
4
5
x2
− 2=1
b
(a>0,b>0)
图形
第三页，编辑于星期五：八点 八分。
-3-
2.2.2
双曲线的几何性质
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
x≥a 或 x≤-a,
y∈R
对称轴:x 轴、y 轴
对称中心:原点
顶点坐标
A1(-a,0),A2(a,0)
x∈R,y≤-a
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
【典型例题 4】 已知
2
F1,F2 为双曲线 2
−
2
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,
过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P,且∠PF1F2=30°,求该双曲线的渐
近线方程.
思路分析:求双曲线的渐近线方程就必须求渐近线的斜率,也就是求
利用几何性质求双曲线的标准方程
双曲线标准方程的求法和椭圆方程的求法类似,一般都采用待定系数
法,即先设出标准方程,再利用条件列出关于 a,b,c 的方程,解方程组求出待
定系数.
【典型例题 2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程.
1
2
2
9
(2)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,且过点 M ,-1
3
2
双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 是双曲线的实半轴长,b 是双
曲线的虚半轴长
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
第四页，编辑于星期五：八点 八分。
-4-
2.2.2
双曲线的几何性质
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
(0,-4),(0,4);离心率为
e=
=
5
;渐近线方程为
4
4
y=± x.作草图.
3
第八页，编辑于星期五：八点 八分。
-8-
2.2.2
探究一
双曲线的几何性质
探究二
探究三
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
即 p·
c2+q·
ac+r·
a2=0,则转化为关于 e 的方程 p·
e2+q·
e+r=0 求解.
-15-
第十五页，编辑于星期五：八点 八分。
2.2.2
探究一
双曲线的几何性质
探究二
探究三
J 基础知识 Z 重点难点
首页
ICHU ZHISHI
S 随堂练习
UITANG LIANXI
HONGDIAN NANDIAN
2.2.2
探究一
双曲线的几何性质
探究二
首页
探究三
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
解法二:因为椭圆的焦点在 x
2
=1(24<λ<49).
-24
5
-24
又 e= ,所以
4
49-
2
轴上,所以可设双曲线方程为
2.2.2 双曲线的几何性质
第一页，编辑于星期五：八点 八分。
-1-
2.2.2
双曲线的几何性质
首页
J 基础知识 Z 重点难点
课程目标
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
学习脉络
1.类比椭圆的性质,能根据双曲线的标准方程,
讨论它的几何性质.
2.能够运用双曲线的性质解决一些简单问题.
4
4
3
5
3
= 时,用方法:
(1)利用 a,c 求.若可求得 a,c,则直接利用
e= 得解.
(2)利用 a,b 求.若已知 a,b,可直接利用 e= 1 +
2
得解.
(3)利用方程求.若得到的是关于 a,c 的齐次方程(p,q,r 为常数,且 p≠0),
a,b 间的关系.本题利用双曲线的定义和直角三角形边角之间的关系,求 a,b
间的关系.
-17-
第十七页，编辑于星期五：八点 八分。
2.2.2
双曲线的几何性质
探究一
探究二
首页
探究三
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
为一种巧妙的解题方法.
-13-
第十三页，编辑于星期五：八点 八分。
2.2.2
双曲线的几何性质
探究一
探究三
探究二
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
双曲线的离心率问题
求双曲线的离心率,通常先由题设条件得到 a,b,c 的关系式,再根据
思考 1 双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响?
提示:双曲线的离心率 e= 反映了双曲线开口的大小,e 越大,双曲线的
开口就越大.
思考 2 双曲线的焦点始终在什么轴所在的直线上?
提示:实轴.
思考 3 一条直线与双曲线的渐近线平行时,它与双曲线有几
个公共点?
提示:1 个.
第五页，编辑于星期五：八点 八分。
或 y≥a
对称轴:x 轴、y 轴
对称中心:原点
顶点坐标
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=± x
y=± x
离心率
e= ,e∈(1,+∞),其中 c= 2 + 2
范围
对称性
性
质
首页
顶点
实虚轴
a,b,c 的关系
S 随堂练习
UITANG LIANXI
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做
2
2 2
2
2
可设双曲线方程为 -y =λ(λ≠0),即 − =1.
4
4
由 a2+b2=c2,2c=10,得|4λ|+|λ|=25,
所以|λ|=5,所以 λ=±5,
2
2
所以所求双曲线的标准方程为 − =1
20
5
2
或
5
2
− =1.
20
第十页，编辑于星期五：八点 八分。
-10-
2.2.2
,
所以 λ=4× -9=72.
所以双曲线方程为 4x2-9y2=72,
2
2
即标准方程为 − =1.
18
8
-11-
第十一页，编辑于星期五：八点 八分。
2.2.2
探究一
双曲线的几何性质
探究二
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
3.正确理解双曲线的特有性质——渐近线.
第二页，编辑于星期五：八点 八分。
-2-
2.2.2
双曲线的几何性质
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
双曲线的标准方程和几何性质
x2
标准方程
a2
y2
y2
b
a2
− 2 =1
(a>0,b>0)
探究四
双曲线的渐近线问题
根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中,最简单且实用的
是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲线的渐近
线方程.
2
与双曲线 2
−
2
2
2 =1 有共同渐近线的双曲线方程可设为 2
【典型例题 1】 求双曲线 16x2-9y2=-144 的半实轴长、半虚轴长、焦
点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程,并作出草图.
思路分析:将双曲线方程变为标准方程,确定 a,b,c 后求解.
第七页，编辑于星期五：八点 八分。
-7-
2.2.2
探究一
双曲线的几何性质
探究二
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
探究三
解:把方程 16x -9y =-144 化为标准方程
2
HONGDIAN NANDIAN
2
2
42
−
2
32
=1,由此可知,实半轴长
a=4,虚半轴长 b=3,c= 2 + 2 =5,焦点坐标为(0,-5),(0,5);顶点坐标为
c2=a2+b2,直接求 a,c 的值.而在解题时常把 或 视为整体,把关系式转化为
关于 或 的方程,解方程求之,从而得到离心率的值.
3
4
【典型例题 3】 双曲线的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的离心率
为
.
思路分析:分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况讨论,把 看作一个整体进行
2
2
−
2
2 =1.
又 c2=a2+b2,得 a2=20,b2=5,
2
2
所以双曲线的标准方程为 − =1.
20
5
2
2
同理,当焦点在 y 轴上时,可得双曲线的方程为 − =1,
5
20
2
2
2
2
所以所求双曲线的标准方程为 − =1 或 − =1.
20
5
5
20
1
解法二:由渐近线方程为 y=± x,
求解.
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第十四页，编辑于星期五：八点 八分。
2.2.2
探究一
双曲线的几何性质
探究二
探究三
J 基础知识 Z 重点难点
首页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
解析:方法 1:当焦点在 x 轴上时,其渐近线方程为 y=± x,依题意得 =
探究四
探究三
(3)解法一:由椭圆方程可得焦点坐标为(-5,0),(5,0),即 c=5 且焦点在 x
轴上.
2
设双曲线方程为 2
5
又 e= = ,
4
−
2
2 =1(a>0,b>0),且
c=5.
所以 a=4,
所以 b2=c2-a2=9.
2
2
所以双曲线的标准方程为 − =1.
16
9
-12-
第十二页，编辑于星期五：八点 八分。
−
49-
25
= -1,解得 λ=33.
16
2
2
所以双曲线的标准方程为 − =1.
16
9
点评:(1),(2)题中,利用渐近线方程与双曲线方程的关系,可设有公共渐
2
近线的双曲线系方程 2
−
2
2 =λ(λ≠0).这样可避免分类讨论,从而减少运算
量,提高解题速度与准确率.(3)题的解法二利用共焦点的曲线系方程,不失
探究一
双曲线的几何性质
探究二
探究三
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
(2)因为双曲线的渐近线方程为 2x±3y=0,
所以可设双曲线的方程为 4x2-9y2=λ(λ≠0).
又因为双曲线过点 M
81
4
9
,-1
2
第九页，编辑于星期五：八点 八分。
-9-
2.2.2
探究一
双曲线的几何性质
探究二
探究三
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
S 随堂练习
UITANG LIANXI
HONGDIAN NANDIAN
探究四
2
解:(1)解法一:当焦点在 x 轴上时,设所求双曲线方程为 2
1
1
由渐近线方程为 y=± x,得 = ,2c=10.
a,b,c 关系
a2+b2=c2
a2-b2=c2
第六页，编辑于星期五：八点 八分。
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2.2.2
探究一
双曲线的几何性质
探究二
探究三
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
由双曲线方程研究其几何性质
已知双曲线的方程求该双曲线的有关性质的步骤:先将双曲线的方程
2
化为标准形式 2
−
2
2 =1
2 2
或 2- 2
= 1 ,再根据 a,b 的值(注意分母分别为
a2,b2,而不是 a,b)求出 c,进而对照双曲线的几何性质得到相应的答案.画几
何图形时,要先画双曲线的两条渐近线(即以 2a,2b 为两邻边的矩形的对角
线所在的直线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势画出双曲线的近似
-5-
2.2.2
双曲线的几何性质
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
名师点拨双曲线与椭圆的六个不同点:
双曲线
椭圆
图形
两支曲线
封闭的曲线
顶点
两个顶点
四个顶点
轴
实、虚轴
长、短轴
渐近线
有渐近线
无渐近线
离心率
e>1
0<e<1
3
3
5
5
,b= a,c= 2 + 2 = a,故 e= = .当焦点在 y 轴上时,其渐近线方程为
4
4
4
4
3
4
5
5
y=± x,依题意得 = ,b= a,c= 2 + 2 = a,即 e= = .方法 2:由
4
3
3
3
e=
2
= 1+
得:当
5
5
答案: 或
3
4
3
4
5
x2
− 2=1
b
(a>0,b>0)
图形
第三页，编辑于星期五：八点 八分。
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2.2.2
双曲线的几何性质
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
x≥a 或 x≤-a,
y∈R
对称轴:x 轴、y 轴
对称中心:原点
顶点坐标
A1(-a,0),A2(a,0)
x∈R,y≤-a
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
【典型例题 4】 已知
2
F1,F2 为双曲线 2
−
2
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,
过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P,且∠PF1F2=30°,求该双曲线的渐
近线方程.
思路分析:求双曲线的渐近线方程就必须求渐近线的斜率,也就是求
利用几何性质求双曲线的标准方程
双曲线标准方程的求法和椭圆方程的求法类似,一般都采用待定系数
法,即先设出标准方程,再利用条件列出关于 a,b,c 的方程,解方程组求出待
定系数.
【典型例题 2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程.
1
2
2
9
(2)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,且过点 M ,-1
3
2
双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 是双曲线的实半轴长,b 是双
曲线的虚半轴长
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
第四页，编辑于星期五：八点 八分。
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2.2.2
双曲线的几何性质
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
(0,-4),(0,4);离心率为
e=
=
5
;渐近线方程为
4
4
y=± x.作草图.
3
第八页，编辑于星期五：八点 八分。
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2.2.2
探究一
双曲线的几何性质
探究二
探究三
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
即 p·
c2+q·
ac+r·
a2=0,则转化为关于 e 的方程 p·
e2+q·
e+r=0 求解.
-15-
第十五页，编辑于星期五：八点 八分。
2.2.2
探究一
双曲线的几何性质
探究二
探究三
J 基础知识 Z 重点难点
首页
ICHU ZHISHI
S 随堂练习
UITANG LIANXI
HONGDIAN NANDIAN
2.2.2
探究一
双曲线的几何性质
探究二
首页
探究三
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
解法二:因为椭圆的焦点在 x
2
=1(24<λ<49).
-24
5
-24
又 e= ,所以
4
49-
2
轴上,所以可设双曲线方程为
2.2.2 双曲线的几何性质
第一页，编辑于星期五：八点 八分。
-1-
2.2.2
双曲线的几何性质
首页
J 基础知识 Z 重点难点
课程目标
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
学习脉络
1.类比椭圆的性质,能根据双曲线的标准方程,
讨论它的几何性质.
2.能够运用双曲线的性质解决一些简单问题.
4
4
3
5
3
= 时,用方法:
(1)利用 a,c 求.若可求得 a,c,则直接利用
e= 得解.
(2)利用 a,b 求.若已知 a,b,可直接利用 e= 1 +
2
得解.
(3)利用方程求.若得到的是关于 a,c 的齐次方程(p,q,r 为常数,且 p≠0),
a,b 间的关系.本题利用双曲线的定义和直角三角形边角之间的关系,求 a,b
间的关系.
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第十七页，编辑于星期五：八点 八分。
2.2.2
双曲线的几何性质
探究一
探究二
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探究三
J 基础知识 Z 重点难点
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为一种巧妙的解题方法.
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第十三页，编辑于星期五：八点 八分。
2.2.2
双曲线的几何性质
探究一
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探究二
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S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
双曲线的离心率问题
求双曲线的离心率,通常先由题设条件得到 a,b,c 的关系式,再根据
思考 1 双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响?
提示:双曲线的离心率 e= 反映了双曲线开口的大小,e 越大,双曲线的
开口就越大.
思考 2 双曲线的焦点始终在什么轴所在的直线上?
提示:实轴.
思考 3 一条直线与双曲线的渐近线平行时,它与双曲线有几
个公共点?
提示:1 个.
第五页，编辑于星期五：八点 八分。
或 y≥a
对称轴:x 轴、y 轴
对称中心:原点
顶点坐标
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=± x
y=± x
离心率
e= ,e∈(1,+∞),其中 c= 2 + 2
范围
对称性
性
质
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顶点
实虚轴
a,b,c 的关系
S 随堂练习
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线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做
2
2 2
2
2
可设双曲线方程为 -y =λ(λ≠0),即 − =1.
4
4
由 a2+b2=c2,2c=10,得|4λ|+|λ|=25,
所以|λ|=5,所以 λ=±5,
2
2
所以所求双曲线的标准方程为 − =1
20
5
2
或
5
2
− =1.
20
第十页，编辑于星期五：八点 八分。
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2.2.2
,
所以 λ=4× -9=72.
所以双曲线方程为 4x2-9y2=72,
2
2
即标准方程为 − =1.
18
8
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第十一页，编辑于星期五：八点 八分。
2.2.2
探究一
双曲线的几何性质
探究二
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S 随堂练习
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3.正确理解双曲线的特有性质——渐近线.
第二页，编辑于星期五：八点 八分。
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2.2.2
双曲线的几何性质
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S 随堂练习
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双曲线的标准方程和几何性质
x2
标准方程
a2
y2
y2
b
a2
− 2 =1
(a>0,b>0)
探究四
双曲线的渐近线问题
根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中,最简单且实用的
是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲线的渐近
线方程.
2
与双曲线 2
−
2
2
2 =1 有共同渐近线的双曲线方程可设为 2