基于组合式信号的hammerstein oe模型辨识

由式（16）可知，模型参数的估计问题就转化
为计算噪声方差的估计值。定义如下残差：
εLS(k) = y(k) - φT(k)ℐ̂ LS(k) ，
（17）
N
∑ 结合式（8）和 εLS(k)φT(k) = 0 可以得到 k=1
∑ ∑ [ ] N
N
ε2 (k) = LS
εLS(k) y(k) - φT(k)ℐ̂ LS(k)
第6期
李 峰 谢良旭 李 博 等：基于组合式信号的 Hammerstein OE 模型辨识
67
1 问题描述
考 虑 输 出 噪 声 干 扰 下 的 Hammerstein OE 模 型，其结构如图 1 所示。
u(k)
N (×)
e(k )
v(k)
x(k)
B(z)
y(k)
A(z)
图 1 输出噪声干扰下的 Hammerstein OE 模型结构
（）
（）
图 4 Hammerstein OE 模型输入 u(k) 和中间变量 v(k) 在二进制信号下的关系
2.2 静态非线性模块的辨识
本节采用随机多步信号辨识静态非线性模块
的参数，即估计参数 cl 、σl 和 wl ，这实际上是一个
非线性优化问题。首先，采用聚类算法辨识神经 模糊模型的中心 cl 和宽度 σl ，该方法可以根据之
输出噪声干扰下的 Hammerstein OE 模型描述
如下：
v(k) = N(u(k)) ，
（1）
y(k)
=
B(z) A(z)
v(k)
+
e(k)
，
（2）
其中，N(⋅) 表示静态非线性模块，u(k) 和 y(k) 表示
模型在 k 时刻的输入和输出，v(k) 是相应的中间不
可 测 量 变 量 ，e(k) 表 示 均 值 为 零 的 白 噪 声 ，
糊的权重，即后件参数，L 为模糊规则数。
2 输 出 噪 声 干 扰 下 的 Hammerstein OE 模型辨识
本节利用组合式输入信号[17（] 如图 3 所示）辨
识 Hammerstein OE 过程，通过估计中间不可测变 量实现分离静态非线性模块和动态线性模块辨 识的分离。该组合式输入信号由取值为 0 和非零 值的二进制信号和随机信号组成。仿真实验表 明，对于图 3 中的二进制输入信号 u(k) ，其相对应 的中间变量 v(k) 为与 u(k) 同频率不同幅值的二进 制信号，如图 4（a）所示。用输入 u(k) 近似代替中 间不可测变量 v(k) ，其幅值差可以用常数增益因 子 β 进行补偿，如图 4（b）所示。因此，可以根据 二进制输入信号及其相对应的输出信号直接辨 识出动态线性模块的未知参数。 2.1 动态线性模块的辨识
1 k
N k=1
φ(k)e(k)
=
0
，
（1ëk
φ(k)ψT
(k)ùû
ℐ
=
-
σ2
Λℐ,
（14）
lim
k→∞
ℐ̂
LS(k)
=
ℐ
-
σ2
lim
k→∞
kR-1(k)
Λℐ,
∑ 其中，R(k) =
N
φT(k)φ(k)
，Λ
=
éI ê
na
k=1
ë0
0ù 0ûú
。
（15）
式（15）表明最小二乘方法获得估计的模型参
型就是要寻求满足如下条件的参数：
E(N̂ (u(k)),â 1,â 2,…,â na,b̂ 1,b̂ 2,…,b̂ nb)
∑ =
1 2N
N
[y(k) -
k=1
2
ŷ (k)]
ε
s.t.
，
v̂ (k) = N̂ (u(k))
 (z)ŷ (k) = B̂ (z)v̂ (k) +  (z)e(k)
型参数，且
[ ] X =
x(1), x(2), …, x(P L)
T PL
× (na
+ nb)
Y
=
[y(1),
y(2),
…,
y(P
L
)]T PL
×
,
1
（6）
x(k)
=
[-
y(k
-
1),
…
-
y(k
-
n
a
),
u(k
-
1),
…u(k
-
n
]) T
b (na
+
nb)
×
1
其中，PL 表示二进制输入信号的数目。
图 3 特殊的测试信号
（1. 江苏理工学院 电气信息工程学院，江苏 常州 213001；2. 江苏理工学院 数理学院，江苏 常州 213001）
摘 要：针对 Hammerstein 模型的中间变量信息不可测量问题，提出基于组合式信号的 Hammerstein OE（OE，
Output Error）模型辨识方法。首先，利用二进制信号不激发非线性模型的特性实现 Hammerstein 模型的静态非
A(z) = 1 + a1 z-1 + a2 z-2 + … + an z-na 和 B(z) = b1 z-1 + b2 z-2 +… + bn z-nb 是单位后移算子 z-1(z-1yk = yk - 1) 的多项 式，ai 和 bj 是模型参数，na 和 nb 表示模型的阶次。
对于任意给定的 ε ，建立 Hammerstein OE 模
中图分类号：TP273
文献标识码：A
文章编号：2095-7394（2019）06-0066-07
在非线性动态系统的建模和辨识研究领域， 一类新颖的块结构模型是当前的一个研究热 点[1]。Hammerstein 模型由静态非线性模块和动态 线性模块级联而成，具有较易辨识、能较好地表征 实际工业过程的特点，适合作为过程模型使用。 如中和过程[2]、蒸馏塔[3]、热交换器[4]、聚合反应器[5]、 连续搅拌反应釜[6]等。对于 Hammerstein 模型辨识 的研究，国内外学者和研究人员提出了各种各样 的 辨 识 方 法 ，主 要 有 ：过 参 数 化 法 [7- 8]、子 空 间 法[9-10]、迭代法[11-12]、盲辨识法[13]等。
k=1
k=1
N
∑ = εLS(k)y(k)
∑ [ ][ ] [ ] k=1 N
= φT(k) ℐ - ℐ̂ LS(k)
ψT(k)ℐ + e(k)
+
， ψT(k)ℐ + e(k) 2
k=1
（18）
进而得到
∑ [ ] lim
k→∞
1 k
N
ε2 (k) = LS
k=1
σ2
第 25 卷第 6 期 2019 年 12 月
江苏理工学院学报 JOURNAL OF JIANGSU UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Vol.25,No.6 Dec., 2019
基于组合式信号的 Hammerstein OE 模型辨识
李 峰 1 ，谢良旭 1，李 博 1，陈连玉 1，束攀峰 1，沈明霞 1，牟善志 2
数 ℐ 是有偏的。在最小二乘法的估计中加入偏差 项 σ2kR-1(k)Λℐ ，从而可以得到模型参数的无偏估
计。即
ℐ̂ C(k) = ℐ̂ LS(k) + σ̂ 2(k)kP(k)Λℐ̂ C(k - 1),
（16）
其中，ℐ̂ LS(k) 是 k 时刻最小二乘的估计值，ℐ̂ c(k) 是
模型参数的无偏估计。
∑ ∑ ℐLS(k)
=
éN
ê
ëk =
1
φ(k)φT
(k)ùú-1
é
ê
N
û ëk =
1
φ(k)y(k)ùú, û
（10）
结合式（8）和（10）得到
∑ ∑ [ ] [ é N
ê
φ(k)φT(k)ùú
ëk = 1
û
ℐLS(k) -
ℐ] =
N
φ(k)
k=1
ψT(k)ℐ
+
e(k)
,
（11）
第6期
李 峰 谢良旭 李 博 等：基于组合式信号的 Hammerstein OE 模型辨识
实际复杂工业过程中普遍存在噪声，研究噪 声 干 扰 下 Hammerstein 模 型 的 辨 识 方 法 十 分 必 要。GOMEZ 等利用子空间方法辨识噪声干扰下 Hammerstein 模型的参数[9]。BAI 等研究了有限脉 冲 响 应 Hammerstein 模 型 的 标 准 化 迭 代 辨 识 方 法[11]。文献[14]利用迭代的方法研究了广义 Hammerstein 模型的参数辨识，并证明了算法的收敛 性。JANCZAK 等利用多层神经网络拟合模型的 静态非线性函数，将随机梯度的学习算法扩展到
（3）
其中，ε 表示给定的阈值，N̂ (⋅) 表示估计的静态非
线性模块，v̂ (k) 表示估计的中间不可测量变量，N
是输入输出数据的个数。
本节采用四层神经模糊模型来近似静态非线
性模块，采用自回归滑动平均模型拟合动态线性
模块，神经模糊模型[17]如图 2 所示。
图 2 神经模糊模型结构
神经模糊模型的输出为：
L
∑ v̂ (k) = N̂ (u(k)) = ϕl(u(k))wl ， l=1
其
中
，
ϕl(u(k)) =
μl(u(k))
L
∑μl(u(k))
l=1
（4） ，且
μl(u(k))
=
expìíî
(u(k) σ2
l
cl)2
ü ý þ
是高斯隶属度函数，cl
和
σl 分别是隶属度函数的中心和宽度，wl 为神经模
神经网络 Hammerstein 模型的在线训练，提出了四 种辨识方法，并对这些算法的复杂度、精度以及收 敛率进行了比较[15]。DING 等针对模型中间变量信 息不可测量，提出了一种辅助模型递推最小二乘 辨识方法 。 [16] 然而，上述辨识方法在辨识 Hammerstein 模型时将需要辨识的未知参数写成回归 形式，辨识过程中出现参数乘积项，这增加了模型 辨识的复杂性。针对上述问题，本文主要从组合 式信号的角度出发，研究了一种分步辨识方法。
69
式（11）两边同时除以 k，并取极限得到
∑ lim
k→∞
1 k
ìé N íê îëk =
1
φ(k)φT
(k)ùú[ℐ
û
LS
(k)
-
ℐ]üý
þ
∑ =
lim
k→∞
é1 ëk
φ(k)ψT(k)ùûℐ
+
lim
k→∞
1 k
N k=1
φ(k)e(k),
根据白噪声 e(k) 特性可以得到
（12）
∑ lim
k→∞
i=1
j=1
i=1
将式（7）写成回归形式
y(k) = φT(k)ℐ + ψT(k)ℐ + e(k),
（8）
[ ] 其中，ℐ =
â 1, …, â na, b̂ 1ŵ 1, …, b1ŵ L, …, b̂ nb ŵ 1, …, b̂ nb ŵ L
T
,
ψ(k) = [e(k - 1),…,e(k - na),0,…,0]T ，
线性模块和动态线性模块的分离，根据最小二乘方法辨识动态线性模块的未知参数；然后，一个偏差补偿项加
入到递推最小二乘的估计中，得到偏差补偿递推最小二乘方法，用来补偿输出噪声引起的误差，进而得到静态
非线性模块参数的无偏估计，提高了参数估计的精度。仿真实验表明，提出的方法具有较高的辨识精度和较
好的鲁棒性。
关键词：Hammerstein OE 模型；组合式信号；最小二乘；辨识方法；噪声
本文提出基于组合式信号的 Hammerstein OE 模型辨识方法。首先，利用二进制信号不激发非 线性模型的特性实现 Hammerstein 模型的静态非 线性模块和动态线性模块的分离，根据最小二乘 方法辨识动态线性模块的未知参数；然后，采用偏 差补偿递推最小二乘算法估计静态非线性模块的 参数，补偿输出噪声产生的误差，提高了参数估计 的精度。仿真实验表明，提出的方法能够有效辨 识 Hammerstein OE 模型，具有较高的辨识精度和 较好的鲁棒性。
φ(k) = [-y(k - 1),…, - y(k - na),ϕ1(u(k - 1)),…,ϕL(u(k - 1),
…,ϕ1(u(k - nb)),…,ϕL(u(k - nb))]T 。
根据式（8）定义一个均方准则函数
∑N
J(ℐ) =
y(k) - φT(k)ℐ 2 ，
k=1
（9）
利用最小二乘方法可以得到模型参数的估计
收稿日期：2019-09-18 基金项目：江苏省高等学校自然科学研究面上项目“基于深度学习的模块结构非线性工业过程动态模型化研究”
（19KJB120002）；国家自然科学基金“基于数据驱动的模块化非线性系统辨识方法研究”（BK20191035） 作者简介：李峰，讲师，博士，主要研究方向为复杂系统的建模、优化与控制，基于数据驱动控制。
前的研究[18]进行辨识；再采用偏差补偿递推最小二
乘方法辨识神经模糊模型的权重参数 wl ，本节的
关键问题是求解神经模糊模型权重参数。
根据式（1）和（2）可得
∑ ∑ ∑ y(k) + na â i y(k - i) = nb b̂ j v̂ (k - j) + na â ie(k - i) + e(k)（, 7）
根据上述分析，采用二进制信号可以实现动态 线性模块和静态非线性模块的分离辨识。本节采
68
江苏理工学院学报
第 25 卷
用最小二乘法辨识动态线性模块的未知参数，即
[ ] θ̂ = XT X -1XTY ，
（5）
[ ] 其中，θ̂ = â 1,â 2,…,â na,b̂ 1,b̂ 2,…,b̂ nb T ，是要辨识的模