2020-2021学年安徽省合肥市 第三十八中学九年级(上)段考数学试卷(12月份) 解析版

2020-2021学年安徽省合肥三十八中九年级（上）段考数学试卷
（12月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．如果α是锐角，且cosα＝，那么sinα的值是（）
A．B．C．D．2
2．下列判断正确的是（）
A．不全等的三角形一定不是相似三角形
B．不相似的三角形一定不是全等三角形
C．相似三角形一定不是全等三角形
D．全等三角形不一定是相似三角形
3．如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列一个条件仍不能判断△ADB与△ABC相似的是（）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C．BC2＝CD•AC D．AB2＝AD•AC 4．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）＝1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b 的大小关系为（）
A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x2 5．已知在△ABC中，∠C＝90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sin B＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是（）
A．B．C．D．
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数y＝与一次函数y＝bx﹣c 在同一坐标系内的图象大致是（）
A．B．
C．D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（）
A．2：3：5B．4：9：25C．4：10：25D．2：5：25
8．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过D作BC的平行线交AC于M，若BC＝m，AC ＝n，则DM＝（）
A．B．C．D．
9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C 不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（）
A．不变B．增大
C．减小D．先变大再变小
10．如图，在梯形ABCD中，AB＝BC＝10cm，CD＝6cm，∠C＝∠D＝90°，动点P、Q
同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动，点Q沿BC、CD运动，P点与Q点相遇时停止，设P、Q同时从点B出发x秒时，P、Q经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系的大致图象为（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若点A（2，m）在函数y＝x2﹣1的图象上，则A点的坐标是．
12．在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则BC＝．
13．如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上．设AB＝xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为．
14．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB 的面积记为S2；…，依此类推，则S n可表示为．（用含n的代数式表示，其中n 为正整数）
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：+sin45°．
16．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，Rt△ABC中，斜边AB上一点M，MN⊥AB交AC于N，若AM＝3cm，AB：AC ＝5：4，求MN的长．
18．如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，BE⊥AC，垂足为点F．求证：△AEF ∽△CAB．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB和CD 之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】
20．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B＝30°，若边长AB＝x（cm）．（1）写出▱ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．（2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．
六、本题12分
21．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD：DB＝3：2，AE：EC＝1：2，直线ED和CB的延长线交于点F，求：FB：FC．
七、本题12分
22．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
八、本题14分
23．问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
初步思考：
（1）试计算出正方形零件的边长；
深入探究：
（2）李华同学通过探究发现如果要把△ABC按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，△ABC的边BC与高AD需要满足一定的数量关系．则这一数量关系是：．（直接写出结论，不用说明理由）；
（3）若△ABC可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且∠B＝30°，求证：AB ＝BC．
2020-2021学年安徽省合肥三十八中九年级（上）段考数学试卷
（12月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如果α是锐角，且cosα＝，那么sinα的值是（）
A．B．C．D．2
【分析】因为cosα＝所以利用sin2α+cos2α＝1直接解答即可．
【解答】解：∵sin2α+cos2α＝1，
∴sinα＝＝＝．
故选：C．
2．下列判断正确的是（）
A．不全等的三角形一定不是相似三角形
B．不相似的三角形一定不是全等三角形
C．相似三角形一定不是全等三角形
D．全等三角形不一定是相似三角形
【分析】做题前需掌握：全等三角形一定是相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形，根据此对各个选项进行分析从而不难得到答案．
【解答】解：A，不正确，两个相似的三角形相似但不全等；
B，正确，因为全等三角形是特殊的相似三角形，不相似即不构成全等的前提；
C，不正确，因为相似三角形可以是全等三角形，全等三角形是特殊的相似三角形；
D，不正确，因为全等三角形一定是相似三角形；
故选：B．
3．如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列一个条件仍不能判断△ADB与△ABC相似的是（）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C．BC2＝CD•AC D．AB2＝AD•AC
【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与D正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得B正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵∠A是公共角，
∴当∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
故A与B正确；
当＝，即AB2＝AC•AD时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；
故D正确；
当＝，即BC2＝CD•AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误．
故选：C．
4．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）＝1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b 的大小关系为（）
A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x2【分析】因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x﹣a）（x﹣b）＝1，再由已知条件x1＜x2、a＜b结合图象，可得到x1，x2，a，b的大小关系．
【解答】解：用作图法比较简单，首先作出y＝（x﹣a）（x﹣b）图象，任意画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：
答案是：x1＜a＜b＜x2．
故选：C．
5．已知在△ABC中，∠C＝90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sin B＝n，当∠B是最小
的内角时，n的取值范围是（）
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的内角和定理，易知直角三角形的最小内角不大于45°．
再根据sin45°＝和一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
【解答】解：根据题意，知
0°＜∠B＜45°．
又sin45°＝，
∴0＜n＜．
故选：A．
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数y＝与一次函数y＝bx﹣c 在同一坐标系内的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数的图象可得出a＞0、b＜0、c＞0，由此即可得出反比例函数y＝的图象在第一、三象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，再结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：观察二次函数图象可得出：a＞0，﹣＞0，c＞0，
∴b＜0．
∴反比例函数y＝的图象在第一、三象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限．
故选：A．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（）
A．2：3：5B．4：9：25C．4：10：25D．2：5：25
【分析】根据平行四边形性质得出DC＝AB，DC∥AB，求出DE：AB＝2：5，推出△DEF ∽△BAF，求出＝（）2＝，＝＝，根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比求出＝＝＝，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∵DE：CE＝2：3，
∴DE：AB＝2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2＝，＝＝，
∴＝＝＝（等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故选：C．
8．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过D作BC的平行线交AC于M，若BC＝m，AC
＝n，则DM＝（）
A．B．C．D．
【分析】根据“CD平分∠ACB，过D作BC的平行线交AC于M”，得到DM＝MC，所以AM＝AC﹣MC＝n﹣DM，再根据平行线分线段成比例定理推论解答．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，过D作BC的平行线交AC于M，
∴∠MDC＝∠MCD，
∴DM＝MC，
∴AM＝AC﹣MC＝n﹣DM，
又∵DM∥BC，
∴，即，
解得DM＝．
故选：C．
9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C 不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（）
A．不变B．增大
C．减小D．先变大再变小
【分析】设∠DCF＝∠DBE＝α，易知BE+CF＝BC•cosα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．
【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF＝∠DBE，设∠DCF＝∠DBE＝α，
∴CF＝DC•cosα，BE＝DB•cosα，
∴BE+CF＝（DB+DC）cosα＝BC•cosα，
∵∠ABC＝90°，
∴O＜α＜90°，
当点D从B向C运动时，α是逐渐增大的，
∴cosα的值是逐渐减小的，
∴BE+CF＝BC•cosα的值是逐渐减小的．
故选C．
面积法：S△ABC＝•AD•CF+•AD•BE＝•AD（CF+BE），
∴CF+BE＝，
∵点D沿BC自B向C运动时，AD是增加的，
∴CF+BE的值是逐渐减小．
故选：C．
10．如图，在梯形ABCD中，AB＝BC＝10cm，CD＝6cm，∠C＝∠D＝90°，动点P、Q 同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动，点Q沿BC、CD运动，P点与Q点相遇时停止，设P、Q同时从点B出发x秒时，P、Q经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系的大致图象为（）
A．B．
C．D．
【分析】二次函数开口方向由a的符号确定：当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．
【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，
设P、Q同时从点B出发x秒时，△BPQ的面积是y，
∴PE＝BP•sin B，
∴当点P在AB上，即0＜x≤10时，y＝BQ•BP sin∠B＝x2×＝x2；
∴当点P在AD上，即10≤x≤12时，y＝梯形ABCD面积﹣△PDQ面积＝36﹣PD•QD．而PD＝12﹣x，QD＝16﹣x，则y＝﹣x2+14x﹣60；
P到D之后，面积达到最大36cm2，且不变．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
11．若点A（2，m）在函数y＝x2﹣1的图象上，则A点的坐标是（2，3）．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征把A（2，m）代入函数解析式求出m的值，则可确定A点坐标．
【解答】解：把A（2，m）代入y＝x2﹣1得m＝4﹣1＝3，
所以A点坐标为（2，3）．
故答案为（2，3）．
12．在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则BC＝．【分析】通过作辅助线把一般的三角形转化为直角三角形，根据三角函数的定义求解．【解答】解：作AB边的高CE．
在Rt△ACE中，
∵∠A＝30°，AC＝，
∴CE＝AC＝．
在等腰Rt△CBE中，BC＝CE，
故BC＝．
13．如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上．设AB＝xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为．
【分析】根据△EAD∽△EBF列出比例式，用含x的代数式表示AD，根据矩形的面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴△EAD∽△EBF，
∴＝，即＝，
解得，AD＝12﹣x，
∴y＝x（12﹣x）
＝﹣x2+12x
＝﹣（x﹣）2+15，
∴当x＝时，长方形的面积最大，
故答案为：．
14．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB 的面积记为S2；…，依此类推，则S n可表示为．（用含n的代数式表示，其中n为正整数）
【分析】连接D1E1，设AD1、BE1交于点M，先求出S△ABE1＝，再根据＝
＝得出S△ABM：S△ABE1＝（n+1）：（2n+1），最后根据S△ABM：＝（n+1）：（2n+1），即可求出S n．
【解答】解：如图，连接D1E1，设AD1、BE1交于点M，
∵AE1：AC＝1：（n+1），
∴S△ABE1：S△ABC＝1：（n+1），
∴S△ABE1＝，
∵＝＝，
∴＝，
∴S△ABM：S△ABE1＝（n+1）：（2n+1），
∴S△ABM：＝（n+1）：（2n+1），
∴S n＝．
故答案为：．
三．解答题
15．计算：+sin45°．
【分析】根据特殊角的三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝+
＝1+
＝
16．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
【分析】（1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；
（2）根据比例中项的定义列式求解即可．
【解答】解：（1）设＝＝＝k，
则a＝3k，b＝2k，c＝6k，
所以，3k+2×2k+6k＝26，
解得k＝2，
所以，a＝3×2＝6，
b＝2×2＝4，
c＝6×2＝12；
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴x2＝ab＝6×4＝24，
∴线段x＝2．
17．如图，Rt△ABC中，斜边AB上一点M，MN⊥AB交AC于N，若AM＝3cm，AB：AC ＝5：4，求MN的长．
【分析】先证得△AMN∽△ACB，由AB：AC＝5：4可得出AN：AM＝5：4，再由AM＝3cm可求出MN的长．
【解答】解：由题意得：△AMN∽△ACB
∴AB：AC＝AN：AM＝5：4
∴可知AN＝，
根据勾股定理得AM2+MN2＝AN2
∴MN＝．
18．如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，BE⊥AC，垂足为点F．求证：△AEF ∽△CAB．
【分析】只要证明∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB．
19．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB和CD 之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】
【分析】在Rt△ABE中，根据正切函数可求得BE，在Rt△DEC中，根据等腰直角三角形的性质求得ED，然后根据BD＝BE+ED求解即可．
【解答】解：由题意得：∠AEB＝42°，∠DEC＝45°，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15，∠AEB＝42°，
∵tan∠AEB＝，
∴BE＝≈15÷0.90＝，
在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝∠DCE＝45°，CD＝20，
∴ED＝CD＝20，
∴BD＝BE+ED＝+20≈36.7（m）．
答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m．
20．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B＝30°，若边长AB＝x（cm）．（1）写出▱ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．（2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AE＝x，利用平行四边的周长可表示出BC＝4﹣x，则0＜x＜4；然后根据平行四边形的面积公式即可得到y（cm2）与x的函数关系式；
（2）把（1）中的关系式配成顶点式得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的最值问题即可得到x取什么值时，y的值最大，并得到最大值．
【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，如图，
∵∠B＝30°，AB＝x，
∴AE＝x，
又∵平行四边形ABCD的周长为8cm，
∴BC＝4﹣x，
∴y＝AE•BC＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x（0＜x＜4）；
（2）y＝﹣x2+2x
＝﹣（x﹣2）2+2，
∵a＝﹣，
∴当x＝2时，y有最大值，其最大值为2．
21．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD：DB＝3：2，AE：EC＝1：2，直线ED和CB的延长线交于点F，求：FB：FC．
【分析】过B作BG∥AC交EF于G，得到△DBG∽△ADE，由相似三角形的性质得到＝＝，推出BG：CE＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过B作BG∥AC交EF于G，
∴△DBG∽△ADE，
∴＝＝，
∵AE：EC＝1：2，
∴BG：CE＝，
∵BG∥AC，
∴△BFG∽△CFE，
∴＝．
22．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点
是否符合要求即可．
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积．
【解答】解：①∵函数的图象与x轴相交于O，
∴0＝k+1，
∴k＝﹣1，
∴y＝x2﹣3x，
②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，
∵△AOB的面积等于6，
∴AO•BD＝6，
当0＝x2﹣3x，
x（x﹣3）＝0，
解得：x＝0或3，
∴AO＝3，
∴BD＝4
即4＝x2﹣3x，
解得：x＝4或x＝﹣1（舍去）．
又∵顶点坐标为：（1.5，﹣2.25）．
∵2.25＜4，
∴x轴下方不存在B点，
∴点B的坐标为：（4，4）；
③∵点B的坐标为：（4，4），
∴∠BOD＝45°，BO＝＝4，
当∠POB＝90°，
∴∠POD＝45°，
设P点横坐标为：x，则纵坐标为：x2﹣3x，
即﹣x＝x2﹣3x，
解得x＝2 或x＝0，
∴在抛物线上仅存在一点P（2，﹣2）．
∴OP＝＝2，
使∠POB＝90°，
∴△POB的面积为：PO•BO＝×4×2＝8．
23．问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
初步思考：
（1）试计算出正方形零件的边长；
深入探究：
（2）李华同学通过探究发现如果要把△ABC按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，△ABC的边BC与高AD需要满足一定的数量关系．则这一数量关系是：AD＝BC．（直接写出结论，不用说明理由）；
（3）若△ABC可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且∠B＝30°，求证：AB ＝BC．
【分析】（1）设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据EF∥BC，
得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；（2）BC＝AD，如图2由已知条件得：EF∥GH∥BC，通过△GBN≌△EGM，得到EG ＝BG，根据△AEF∽△AGH，得到比例式，证得AE＝EG，于是得到AE＝EG＝GB，再由△AEF∽△ABC，得到比例式，即可得到结论．
（3）如图3，过点A作AD⊥BC于D，分别交EF、GH于点M、N，设每个正方形的边长为a，根据EF∥GH∥BC，推出△AEF∽△AGH∽△ABC，于是得到，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴，
∴，
解得x＝48．
答：正方形零件的边长为48mm．
（2）BC＝AD，
如图2由已知条件得：EF∥GH∥BC，
在△GBN与△EGM中，
，
∴△GBN≌△EGM，
∴EG＝BG，
∵△AEF∽△AGH，
∴，
∴AE＝EG，
∴AE＝EG＝GB，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵PD＝2x，
∴AD＝3x，BC＝3x，
∴AD＝BC，
故答案为：AD＝BC；
（3）如图3，过点A作AD⊥BC于D，分别交EF、GH于点M、N，设每个正方形的边长为a，
∵EF∥GH∥BC，
∴△AEF∽△AGH∽△ABC，
∴，
∴，
解得AD＝2.5a，BC＝5a，
∴BC＝2AD．
∵∠B＝30°，AD⊥BC，
∴AB＝2AD，
∴AB＝BC．。