福建省2016届高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(理科)(圆锥曲线——厦门市数学组供稿)含答案

2016高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷（理科）
圆锥曲线 厦门市数学组
一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)若k ∈R ，则“k ＞3”是“方程错误!－错误!＝1表示双曲线”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B)必要不充分条件 (C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件
（2）双曲线错误!－错误!＝1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为 ( ）
（A ）2 (B ）错误! （C ）错误! （D)错误! （3)若ab ≠0,则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的（ )
（4）已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1、F 2 ,点A 在C 上．若｜F 1A ｜＝2｜F 2A ｜，则cos ∠AF 2F 1＝ （ ）
（A) 错误! （B) 错误! (C ） 错误! （D) 错误!
（5）设P 是椭圆错误!＋错误!＝1上一点,M ，N 分别是两圆:（x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点,则｜PM ｜＋|PN ｜的最小值、最大值分别为（ )
（A ）9,12 (B ）8，11 （C)8，12 （D ）10，12
（6）设直线l 与抛物线2
4y x =相交于A,B 两点,与圆()()2
2250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中
点。

若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 （ ）
（A)()13，
（B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 二、填空题:本大题共4小题，每小题6分。

(7)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2。

若曲线Γ上存在点P 满足｜PF 1|∶｜F 1F 2｜∶｜PF 2｜＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于__________.
（8）过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若错误!＝3，则错误!＝______。

(9)如图,P 是双曲线错误!－错误!＝1（a >0，b >0，xy ≠0）上的动点，F 1，F 2是双曲线的焦点,M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且错误!·错误!＝0．某同学用以下方法研究｜OM ｜：延长F 2M 交PF 1于点N ，可知△PNF 2为等腰三角形，且M 为F 2N 的中点，得|OM ｜=错误!｜NF 1｜=…=a 。

类似地:P 是椭圆错误!＋错误!＝1（a >b 〉0，xy ≠0）上的动点，F 1，F 2是椭圆的焦点,M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且错误!·错误!＝0，则｜OM ｜的取值范围是________。

（10)已知F 是双曲线22
:18
y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(0,66A ，当APF ∆周长最小时，该三角
形的面积为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（11）（本小题满分10分）
设点(1,0)F ，直线:1l x =-，点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的 交点,,RQ FP PQ l ⊥⊥。

(Ⅰ） 求动点Q 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ）直线l 与x 轴相交于点M ,过F 的直线1l 交轨迹C 于A B ,两点,
试探究点M 与以AB 为直径的圆的位置关系，并加以说明．
（12）（本小题满分15分）
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 经过点2，且两焦点与短轴的一个端点 构成等腰直角三角形． (Ⅰ)求椭圆的方程; （Ⅱ)若圆2
2
2
3
x y +=
的任意一条切线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，
试问：OP OQ ⋅是否为定值? 若是,求这个定值；若不是,说明理由。

（13）（本小题满分15分)
如图，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，过点F 的直
线交椭圆于A ，
60︒．
B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
(Ⅱ）设线段AB 的中点为G ,AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．
记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ,求1
2
S S 的取值范围．
2016高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(理科）
圆锥曲线 (参考答案)
厦门市数学组
一、选择题。

1．（A)解析：当k>3时，k －3〉0，k ＋3〉0，∴错误!－错误!＝1表示双曲线． 反之，若该方程表示双曲线，则(k －3）(k ＋3）>0，∴k 〉3，或k 〈－3。

故k 〉3是方程错误!－错误!＝1表示双曲线的充分不必要条件．选A
2．(C ）解析：依题知，渐近线方程为y ＝±x ,∴a ＝b ，∴c 2＝2a 2,∴错误!＝2，∴e ＝错误!。

选C 3．（C ）解析：方程化为y ＝ax ＋b 和x 2a
＋错误!＝1。

从B ，D 中的两椭圆看a ，b ∈（0，＋∞),
但B 中直线有a <0，b 〈0矛盾，应排除；D 中直线有a 〈0，b 〉0矛盾，应排除； 再看A 中双曲线的a <0,b >0,但直线有a 〉0，b >0，也矛盾，应排除； C 中双曲线的a >0，b 〈0和直线中a ，b 一致．选(C ）
4．B ．解析:由e ＝错误!＝2，得c ＝2a ,如图，由双曲线的定义得｜F 1A |－｜F 2A |＝2a ,
又｜F 1A |＝2｜F 2A |，故｜F 1A ｜＝4a ，|F 2A |＝2a ， ∴cos ∠AF 2F 1＝错误!＝错误!. 选B 。

5．（C ）解析:如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,
由椭圆定义知｜P A ｜＋｜PB ｜＝2a ＝10，
连接P A ,PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM ｜＋｜PN ｜最小， 最小值为|P A ｜＋｜PB ｜－2R ＝8；
连接P A ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋｜PN ｜最大， 最大值为｜P A |＋｜PB ｜＋2R ＝12，选（C)
6．(D ）解析：显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设。

当直线l 的斜率存在时，设斜率为k .设
11221200(,),(,),,(,)A x y B x y x x M x y ≠，
则2
11222
44y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，相减得121212()()4()y y y y x x +-=-。

由于12x x ≠，
所以
1212
1222y y y y x x +-⋅=-，即02ky =。

圆心为(5,0)C ，由CM AB ⊥得000001,55
y k ky x x -⋅=-=--，所以0025,3x x =-=，即点M 必在直线3x =上。

将3
x =代入2
4y x =得2
012,2323y y =∴-<<。

因为点M 在圆()()2
2250x y r r -+=>上，所以
22222000(5),412416x y r r y -+==+<+=。

又2044y +>（由于斜率不存在，故00y ≠,所以不取等号）， 所以204416,24y r <+<∴<<.选（D ） 二、填空题。

7．解析：设|F 1F 2｜＝2c （c >0)，由已知｜PF 1|∶｜F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，
得|PF 1|＝错误!c ,｜PF 2|＝错误!c ，且|PF 1|>|PF 2|，
若圆锥曲线Γ为椭圆,则2a ＝|PF 1|＋|PF 2｜＝4c ，离心率e ＝c a ＝1
2
；
若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a ＝｜PF 1｜－｜PF 2｜＝错误!c ,离心率e ＝错误!＝错误!，故错误!或错误! 8．解析:设∠AFx ＝θ错误!，则由抛物线的定义知x A ＋1＝2＋3cos θ＝3，得cos θ＝错误!。

又｜|BF ＝x B ＋1＝1－错误!cos θ＋1＝2－错误!错误!，∴错误!＝错误!。

9．解析：延长F 2M 交PF 1于点N ，可知△PNF 2为等腰三角形，且M 为F 2N 的中点，
得|OM|=错误!|NF 1|=错误!（|PF 1｜-|PF 2｜=），∵｜PF 1|+|PF 2｜=2a ，∴|OM ｜=a -|PF 2｜， ∵a -c≤｜PF 2｜≤a +c ，∵P 、F 1、F 2三点不共线∴0＜a —|PF 2｜＜c ，∴0＜｜OM|＜c . 10．解析：设双曲线的左焦点为
，由双曲线定义知,
，
∴△APF 的周长为｜PA ｜+｜PF|+|AF ｜=|PA ｜++|AF ｜=|PA ｜+
+|AF ｜+
,
由于
是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA|+
最小，即P 、A 、共线，
x
y
–121
2
3
4
5
6
7
8
9
–1–2–3–4–5–6
1
2
3456A
B
C
F
O
M
∵,（－3,0），∴直线的方程为，
即代入整理得
， 解得
或
（舍）,所以P 点的纵坐标为
，
∴
=
=126.
三、解答题。

11.解：（Ⅰ）依题意知：RQ 是线段FP 的垂直平分线．∴PQ 是点Q 到直线l 的距离．
∵点Q 在线段FP 的垂直平分线，∴PQ QF =．
故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线, 其方程为：2
4(0)y x x =>．5分
（Ⅱ)法一:设A 、B 两点到直线l 的距离分别为12,d d ，
直径AB 中点N 到直线l 的距离分别为3d ,
由抛物线定义知12d d AB +=， ∴31211()22d d d AB =+=
∴以AB 为直径的圆与直线l 相切…………10分 法二：
（1）当AB 垂直x 轴时,以AB 为直径的圆22(1)+y 4x -=点)1,0(-M 为切点，
∴点M 与以AB 为直径的圆上
（2）当直线l 与x 轴不垂直时，AB d MN 2
13=>∴点M 与以AB 为直径的圆外
①当直线AB 垂直于x 轴时,易知以AB 为直径的圆方程为22
(1)+y 4x -=， 点)1,0(-M 满足方程,∴点M 与以AB 为直径的圆上…………6分 ②当直线l 与x 轴不垂直时,
设直线AB 方程为(1)y k x =- 与抛物线交点),(11y x A ，),(22y x B , 联立2
(1)
4y k x y x
=-⎧⎨
=⎩2222(42)0k x k x k ⇒-++=，
x
y
l B 1
N 1N A
M
O
F
A 1
B
x
y
l
Q
R O
F
P
显然0>∆且1,4221221=⋅+=+x x k
x x ， 圆直径1224
4AB x x p k =++=+
AB 中点N 的坐标()2
,212k k
+，
AB k k k k k k k
MN 2
12248441244)12
1(24242222=+=++>++=+++
=， ∴点M 与以AB 为直径的圆外 …………10分
12.解：(Ⅰ）椭圆C
的两焦点与短轴的一个端点连线构成等腰直角三角形，所以a =
，
故椭圆的方程为22
2212x y b b
+=．又因为椭圆经过点M(1,)2， 代入可得1b =
，所以a =故所求椭圆方程为2
212
x y +=．…………5分 （Ⅱ)①当l 的斜率不存在时,l
的方程3
x =
或3x =-
⇒P Q
或((P Q 0OP OQ ⇒⋅= 6分
②当l 的斜率存在时,设l 方程y kx m =+,
=
即2
2
3220m k --=……………………………………※ …8分
又由，222
2
2
(12)422012
y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩…………………9分 所以222
422
,1212p Q p Q km m x x x x k k -+=-⋅=++ 故22
2
2()()12p Q p Q m k y y kx m kx m k
-⋅=+⋅+=+ 222
322
12p Q p Q m k OP OQ x x y y k --∴⋅=+=+，………………………………13分
由※知OP OQ ⋅=0, 综合①②可知OP OQ ⋅为定值0. ……………………15分 13。

解:（Ⅰ)依题意,当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60︒
．
设 (,0)F c -,则
tan 60b
c
︒== 将
b = 代入 222
a b c =+，
解得 2a c =． 所以椭圆的离心率为 1
2
c e a =
=．……5分 （Ⅱ）解:由（Ⅰ),椭圆的方程可设为22
22143x y c c
+=．
设11(,)A x y ,22(,)B x y ．依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直, 故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入222
3412x y c +=,
整理得 2
2
2
22
2
(43)84120k x ck x k c c +++-=．……………………7分
则 2122843ck x x k -+=+，1212
26(2)43
ck
y y k x x c k +=++=+，所以22243(,)4343ck ck G k k -++． 因为 GD AB ⊥，所以 222
3431443
D
ck
k k ck x k +⨯=---+，2243
D
ck x k -=+．…………9分 因为 △GFD ∽△OED ，所以 22222
222122
22243()()||434343||
()43
ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==-+ 所以2222422122242
2(3)(3)99999()S ck ck c k c k S ck c k k
++===+>． 故1
2
S S 的取值范围是(9,)+∞．……………………………………………………15分。