河南省南阳市第一中学2020届高三第九次考试数学(理)答案

3 2
r

4 ，解得 r

2 ，故所求系数为 C72



2 3
2

28 3
.
16.【答案】
2

5 2
【解析】法一：由 tan
1 sin cos
得
sin cos
1 sin cos
，
所以 sin cos cos (1 sin ) ，即 sin( ) cos .
3 ，所以离心率存在最大值 2
3
.
a3
3
13.

11
【解析】
向量
a

(2,
3)
，
b

(1,
m)
，
a

b

(1,
3

m)
，

a
3
与
a

b
垂直，
2

3(3

m)

0
，解得
m


11
．
3
14.【答案】4
【解析】由题意得 S4
a4

21，所以 S3

21 ，又 a1
1, ，所以 S3
2 sin 3x ，故选 C.
44
8.【解析】根据题意，分 2 步分析：①先从 5 个人里选 2 人，其位置不变，有 C52 10 种
选法，②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，
被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有 2 种调换方法，故
分
设
为二面角
E

AF

C
的平面角，则
|
cos
||
cos

EO,
n
|
|
|EEOO||nn|
|

3 ，sin 3
6． 3
二面 E AF C 角的正弦值为 6 ．……………………………………………………………………12 分 3
19.【解析】（1）因
O(1，1， 0)
由（1）， EO (1 ，1， 1) 是面 AFC 的一个法向量，…………7
分
设
n

(x
，
y
，
z)
为面
AEF
的一个法向量，
由
AAFEnn

2y 2z 2x z

0 0
，令
x

1
得
n

(1
，
2
，
2)
，……………………………………………………9
-2-
南阳一中 2020 年春期高三第九次考试
结合诱导公式得 sin(
)

sin(
).
2
因为
( , 3
),
(0,
)
，所以

( , 3
),

( ,
).
2
2
22
2
由诱导公式可得 sin(
)

sin[2

(
)]，易知 2
DE AC ，在 EOF 中， OE 3,OF 6, EF 3 ，
OE2 OF 2 EF 2 ，OE OF 又 AC OF O ，
-3-
南阳一中 2020 年春期高三第九次考试
OE 面 ACF ．……………………………………………………………………5 分 （2） ED 面 ABCD ，且 DA DC ， 如图以 D 为原点， DA ， DC ， DE 方向建立空间直角坐标系， 从而 E(0 ，0，1) ， A(2 ，0， 0) ， C(0 ，2， 0) ， F (2 ，2， 2) ，

(
) ( ,
3)，
2
2
2
因为
y
sin
x在(
,
3 ) 上单调递减，所以


2

(
)
，即

2

5
.
22
2
2
法二：由 tan
1 sin cos
得 tan

sin cos
2
2
cos sin
tan 1
2 1 tan
E
点的横坐标为
xE

4m 1
m2 2m 2
；
……………………………………………………7 分
-4-
南阳一中 2020 年春期高三第九次考试
又直线
PD
的方程为
y

m 1 2
x
1
，联立方程组

y

x2 4
m 1 2
y2
x
1, 1,
消
y
得
m2 2m 2
又 S 1 ac sin B 3 3 ，…………………………………………………………9 分 2
∴ ac 12 ，②…………………………………………………………………………10 分
又 Q b 13 ，∴据①②解，得 a c 7 ．…………………………………………12 分
18.【解析】（1）证明：由题意可知： ED 面 ABCD ， 从而 RtEDA RtEDC ， EA EC ，又 O 为 AC 中点，
∴
a
1 时，
ln(1
2
20
4m 1
m2 2m 2

2
，
…………………………………10 分
化简得
m4 m4
4

2 ，解得
m2

2
，因为
m

0 ，所以
m

2，
所以点 P 的坐标为 2, 2 ． …………………………………12 分
20.【解析】（1）已知
f
(x)

ag(x) 恒成立，即 ln(1
) 上单调递增，所以





，即
2
5
.
2
24
2
17．【解析】(1) 由 cos2 C cos2 B sin2 A sin Asin C ，
得 sin2 B sin2 C sin2 A sin Asin C ．
由正弦定理，得 b2 c2 a2 ac ，即 a2 c2 b2 ac ，…………………………3 分
4
设 P 2, m ， m 0 ，则直线 PC 的方程为 y m 1 x 1 ， ………………………………………5 分
2
联立方程组

y

x2 4
m 1 2
y2
x
1, 1,
消
y
得
m2 2m 2
x2 4m 1 x 0 ，
所以
不同的调换方法有10
2

20
种.而基本事件总数为
A55
120 ,所以所求概率为
20 120

1 6
.
9.【解析】由题意可知，当 x R 时，
f (x) ex
1 ex
，所以
f (x) ex

1 ex
0 为 R 上的单调递增函数，
故由 f (x2 2x) f (3) 0 ，得 f (x2 2x) f (3) ，即 x2 2x 3 0 ，解得 1 x 3，故选 A.

1 q3 1 q

21 ，解得 q

4
或 q 5（舍），所以 q 4 .
28
15.【答案】
3
【解析】
x

3
2 x
7 展开式的通项公式为 Tr1
C7r
x7r


2 3
1
x2
r

C7r



2 3
r

7 3 r
x2
，
令7

0) 的右顶点 A(a, 0) ，双曲线的渐近线方程为
y


b
x
，不妨取
y

b
x
，设
M
(m,
b
m)
，则
AM

(m

a,
b
m)
，
NM

(m

3a,
b
m)
.
a
a
a
a
a
若存在过 N (3a, 0) 的直线与双曲线的渐近线交于一点 M ，使得 AMN 是以 M 为直角顶点
的直角三角形，则
所以 V

1 r2h 3

rh

1 r2 h2
1 16 2 ，当且仅当 r h 2
S rl 12 12 2 12 2 3
2 时取等号.此时侧面积为
1 2 2 2 4 8 2 . 2
12.【解析】双曲线
x2 a2

y2 b2
1(a 0, b
南阳一中 2020 年春期高三第九次考试
数学参考答案（理）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答 案
D
C
D
B
A
B
C
C
A
A
D
B
1.【解析】 A B {x |1 x 2}，故选 D.
2.【解析】 z 1 3 4i 3 4 i ，所以 z 的实部为 3 ，虚部为 4 ， z 的共
10. 【 解 析 】 (2m n)x (m n) y 2m 2n 0 整 理 得 (2x y 2)m (x y 2)n 0 ， 由 题 意 得
2x

x

y
y20 20
，解得
x

y

0 2
，所以直线
l
过定点
Q(0,
2)
.因为
3 4i 25 25 25
25
25
轭复数为 3 4 i ，模为 ( 3 )2 ( 4 )2 1 ，故选 C.
25 25
25 25 5
3.【解析】因为 a 3, b 4 ，所以 7 ，故双曲线 x2 + y2 1的右焦点的坐标是 (0, 7 ) . 9 16
4.【解析】因为 m log4 0.4 0, n 40.4 1, 0 p 0.40.5 1 ，所以 m p n .
x)

ax 1 x
恒成立．
设
（x）
ln(1
x)

ax 1 x
(x

0),
则
'
(
x)

1 1
x
a （1 x）2
x 1a （1 x）2
,
……………………………1
分
当 a≤1 时， ' (x) 0仅当x 0, a 1 时等号成立，
∴（x）在0， 上单调递减，又（0） 0，（x） 0在0， 上恒成立，
OP

l
，所以点
P
的轨迹是以
OQ
为直径
的圆，圆心为 (0,1) ，半径为 1，因为圆心 (0,1) 到直线 x y 3 0 的距离为 d 2 2 ，所以 P 到直 2
-1-
南阳一中 2020 年春期高三第九次考试
线 x y 3 0 的距离的最大值为 2 1.
11.【解析】设圆锥的底面半径为 r，高为 h，则 r2 h2 =42 =16 ，
x2 a2
yLeabharlann b2 1(ab
0) 的离心率 e
3 2
，且经过点


c 3,
3,
1 2

，所以


a2
2
3 a2

1 4b2
1,
解得 a2 4 ， b2 1．所以椭圆标准方程为 x2 y2 1 ．……………………4 分 4
（2）由（1）知椭圆方程为 x2 y2 1 ，所以直线 l 方程为 x 2 ， C 0,1 ， D 0, 1 ．
5.【解析】 y (3x2 2x)e x (x3 x2 )e x ，所以 y |x1 7e ，又 x 1 时， y 2e ，所以所求切线方程为 y 2e 7e(x 1) ，即 y 7ex 5e
6.【解析】因为
S15

15(a1 2
a15 )
15a8
所以 cos B a2 c2 b2

ac

1
．………………………………………………5 分
2ac
2ac 2
因为 0
C

，所以 B

3
．……………………………………………………6 分
（2）由（1）知 B ，∴ b2 a2 c2 2ac cos B a2 c2 ac ．①…………8 分 3
AM

NM

0
，即
(m

a)(m
3a)

(b
m)2

0 ，整理可得
a
(1
b2 a2
)m2

4am

3a2

0
，由题意可知此方程必有解，则判别式


16a2
12a2 (1
b2 a2
)

0
，
得 a2 3b2 ，即 a2 3c2 3a2 ，解得1 e c 2
x2 4m 1 x 0 ，
所以 F 点的横坐标 xF
4m 1 ．
m2 2m 2
…………………8 分
由
SPCD

2SPEF
得
1 2
PC
PDsinDPC

2
1 2
PE
PFsinEPF
，
则有
PC PD PE PF

2 ，则
2
20
4m 1
m2 2m 2
15 ，所以 a8
1 ，又
a4
11，所以公差
d

1 11 4


5 2
，所以
a2

a4

2d

11
5

16
．
7.【解析】因为 y sin 3x cos 3x
2
sin(3x

)
，

所以将其图象向左平移 个单位长度，可得
4
4
y
2
sin[3(x


)

]

2 sin(3x )

tan(
2

) 4
，所以 tan
tan( 2
). 4
22
2
因为
( , 3