高考简单多面体

简单多面体
一、选择题：
1．给出下列命题：
①有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱； ②底面为正多边形的棱柱为正棱柱；
③顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的棱维是正棱锥； ④A 、B 为球面上相异的两点，则通过A 、B 的大圆有且公有一个。

其中正确命题的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
2．正四棱柱底面面积为M ，对角面面积为N ，其体积为 （ ） A.
M
3．如图，一个封闭的长方体，它6个表面各标出A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个字母中的1个字母，现放成下面3个不同位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A 、B 、C 对面的字母分别是 （ ） A.D 、E 、F B.F 、D 、E C.E 、F 、D D. E 、D 、F
4．
那么这个圆维轴截面顶角的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是 （ ） A.
D.
5．一个圆锥和一具半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （ ） A.
34
B.
45
C.
35
D. 35
-
6．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形EF AB ，2EF =，则该多面体的体积为（ ）
A
C
D
F
E
A.
3
B.
3
C.
4
3
D.
3
2
7．长方体的一个顶点上三条棱的长分别为a、b、c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则
111
a b c
++等于（）A.
11
4
B.
4
11
C.
11
2
D
2
.
11
8．不共面的三条直线
123
,,
l l l互相平行，点A在上
1
l，点B在
2
l上，CD两点在上，CD两
点在
3
l，则三棱锥A-BCD的体积（）
A.由A点的变化而变化
B.由B点的变化而变化
C.有最大值，无最小值
D.为定值
9．已知棱长为1的正方形容器
1111
A B C D A B C D
-中，在
11111
A B A B B C
、、的中点E、F、G处各开有一个小孔，若
此容器可以任意放置，则装水较多的容积是（不计小孔面
积对容积的影响）（）
A.
7
8
B.
11
12
C.
47
48
D.
55
56
10.如图所示，在斜三棱柱
111
A B C A B C
-中，
00
.
A B分
别为侧棱
11
AA B
、B上的点，且知
00
:
BB B B=3：2，
过
001
A B C
、、的截面将三棱柱分成上、下两个部
分的体积之比为2：1，则
00
:
AA A A等于（）
C
A
C
A C
C1
A1
B1
B
A0
B0
A.1：1
B.3：2
C.2：3
D.4：3
11.如图，在正三棱维P-ABC 中，M 、N 分别是侧棱PB 、PC 的中点，若截面AMN ⊥侧面PBC ，则截面AMN 与底面ABC 所成二面角的正弦值为（ ） A.
6
B.
3
C.
2
D.
3
12．若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距
离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是 （ ）
A. B. C. D. 二．填空题：
13．正八面体的棱长为a ，则它的对角线为 。

14．（理）如图，在直三棱柱11
A B C A B C -中
，0
1
,
2,90A B B B B A B C ==∠=，E 、F 分别为
111A A C B 、的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 。

（文）如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=PC=BC ，且
2
B A
C π
∠=
，则PA 与底面ABC 所成的角为 。

15．如图，一个底面半径为R 的圆柱量杯中，装有适量的水，若放入
一个半径为r 的实心球，水面恰好升高r ，则= 。

16．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则2
2
2
AB AC BC +=”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，
研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，
A
B
C
P
N
M
A B
C
·P
A B
C ·P
A B
C ·P
A B
C
·P
·A C
B A
B C
P
B
C
P
A
C
B D
O
则 ”，请写出一结论。

三．解答题： 17．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面BEFG 所截而得到的。

其中AB=4，BC=1，AE=3，DF=4。

⑴求异面直线EF 与BC 所成的角；
⑵求截面与底面所成二面角的正切值；
18．（理）如图，在三棱锥P-ABC 中，A B B C ⊥，AB BC kPA ==，点O 、D 分别是AC 、
PC 的中点，O P ⊥底面ABC 。

⑴求证：OD 平面PAB ；
⑵当12
k =时， 直线PA 与平面PBC 所成角的大小；
⑶当k 为何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？
（文）如图，在三棱锥P-ABC 中，1,2
A B B C A B B C P A ⊥==
，点O 、D 分别是AC 、
PC 的中点，O P ⊥底面ABC ， ⑴求证：CD 平面PAB ；
⑵求直线OD 与平面PBC 所成角的大小。

（19图）
19．如图，三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC
，0
90,2,B A C P A A B A C ∠====以PA 的直径的球和PB 、PC 分别交于11B C 、，求11B C 、两点的球面距离。

F E
G
A B C
D P
B
20．正方形ABCD 边长为4，点E 是边CD 上的一点，将△AED 沿AE 折起到AED '的位置时，
有平面'A C D ⊥平面ABCE 且''BD D C ⊥ ⑴判断并证明点E 的具体位置；
⑵求点'D 到平面ABCE 的距离。

21．如图，正四棱柱1111ABC D A B C D -
中，底面的边长为4，E 、F 分别
为棱AB 、BC 的中点，EF BD G = ⑴求证：平面1B E F ⊥平面11B D D B ；
⑵求点1D 到平面1B E F 的距离d ； ⑶求三棱维11B E F D -的体积V 。

22．如图，甲、乙是边长为4a 的两块正方形钢块，现在将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，
将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积等于一个正方形的面积（不计焊接
缝的面积）
（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要的说明；
（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。

A
B C
D
A1 B1
C1
D1
E
F G
甲
乙
简单多面体参考答案
一、选择题：
1.A
2.C
3.D
4.A
5.C
6.B
7.A
8.D
9.B 10.C 11.A 12.D 二、填空题：
13. 14.
（文）3
π
15. 316. 2222
ABC ACD ABD BCD S S S S ∆∆∆∆++= 三、解答题：
17.（1）过E 作EH AD 交DF 于H 点，BC AD ，EH AD ⇒ ，又EH=BC=1=FH ，
45FEH ∴∠=，即EF 与BC 所成的角为0
45。

（2）由已知得EFGB
为平行四边形，1BG GC ∴==，延长FG 、DC 相交于N ，连结BN 。

过C 作CM BN ⊥于M ，连结GM ，则GM C ∠为所求二面角的平面角。

114
,,4443
C N G C
D F C N C N ∴=∴=+
在BCN ∆中，1
1
22
BC N S BC C N BN C M ∆=
⋅=⋅⋅ 415
,tan 45
45
C M G M C ∴=∴∠==
18.（理）（1）∵点O 、D 分别为AC 、PC PA ⊂平面PAB ，OD ∴ 平面PAB ，
（2）,,AB BC OA OC OA OB OC ⊥=∴== ，又PA PB PC ∴==，取BC 的中点E ，连结OE 则BC ⊥平面POE ，过O 作OF PE ⊥于F F H
E
G
N
M C
B D
则O F ⊥面PBC ，ODF ∴∠为OD 与平面PBC 所成的角， 又,OD PA PA ∴ 与平面PBC 所成角的大小等于ODF ∠，
在Rt ODF ∆
中，sin 30
O F O D F O D
∠==PA ∴与平面PBC
所成的角为arcsin
30。

（3）由（2）知，O F ⊥平面PBC ，F ∴为点O 在面PBC 内的射影，D 是PC 的中点，若点F 是PBC ∆的重心，则B 、F 、D 三点共线，OB ∴在面PBC 内的射影为直线BD ， ,,OB PC PC BD PB BC ⊥∴⊥∴= ，即K=1。

反之，当K=1时，三棱锥O-PBC 为正三棱锥，O ∴在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心。

（文）同理（1）和（2）。

19.连结111,,AC B C AP 为直径，11AC PC ∴⊥，在R t P A C ∆
中，2,,4P A A C P C ==∴=，又2
11,1PC PC AP PC ⋅=∴= ，同理11PB =；
又0
cos 45
AC BC =
= O
，连结11111,,4
2
O B O C B C BC ∴=
=
，在11O B C ∆中，
2
2
2
1111
1111
1cos 24
O B O C B C B O C O B O C +-∠=
=
⋅，
11111
1
arccos ,arccos 44
B O
C B C R θθ∴∠==∴==。

20.（1）如图，连结AC 、BD 交于点O ，再连'D D ，
由BD AC ⊥，且平面'AD C ⊥平面ABCE ，并且交AC ，BD ∴⊥平面'AC D ，故'CD BD ⊥，又'','CD BD CD ⊥∴⊥
平面'BDD ，即得''CD DD ⊥，在'Rt COD ∆中，由于',''ED ED EDD ED D =∴∠=∠， 由00
'90'90''ECD EDD ED D ED C ∠=-∠=-∠=∠，'EC ED ED ∴==，即E 为边CD 的中点。

（2）取OC 的中点为M ，连结',D M EM ，则EM BD ，得EM ⊥平面'ACD ，即0
'90EMD ∠=，
H A
B
C
D
O
E
M D ’
又因为'2,D E E M ==
，则'D M ='A D E M ⊥，且,'','A D D E A D D E A D ⊥∴⊥∴⊥面
'EMD ，则''AD D M ⊥，在'Rt AMD ∆
中，'4,'AD AM D M ==='D 作'D H AM ⊥于H
点，则'D H ⊥平面ABCE ，
由于''4'3
AD D M D H AM
⋅=
=
=
，即得点'D 到平面ABCE 的距离。

21.（1）连结AC ，∵正四棱柱的底面是正方形，AC BD ∴⊥，又1D D ⊥面ABCD ，1,DD AC AC ∴⊥∴⊥面11BDD B ，又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，
,EF AC EF ∴∴⊥ 面11BDD B ，故平面1B EF ⊥平面11BDD B 。

（2）在面11BDD B 中作11D H B G ⊥于点H ，由（1）知1D H ⊥面1B EF ，∴线段1D H 的长即为所求，在11Rt D HB ∆中，11111sin D H B D D B H =⋅∠，又11111
4sin sin 17
BB D B H B G B G B ∠=∠=
=，
1114,17
B D d D H ∴=∴==
；
（3）11111116
33
B EFD D EFB B EF
V V V d S ∆--===⋅⋅=。

22.（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成
一个底面边长为2a ，高为a 的正四棱柱。

将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a 的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一个侧面，焊接成一个底面边长为2a ，斜高为3a 的正四棱锥。

甲 乙
（2）∵正四棱柱的底面边长为2a ，高为a ，∴其体积为V 柱=23
(2)4a a a ⋅=，
又∵正四棱锥的底面边长为2a ，高长，
∴其体积为V 锥=2
3
1
(2)33a ⋅⋅=
，
2
2
128164(
)1603
9
9
-=-
=
> ，即43
>
3
3
43
a ∴>
，即V 柱>V 锥
故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。