高考数学压轴专题天津备战高考《推理与证明》图文答案

【高中数学】数学《推理与证明》复习知识要点
一、选择题
1．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x x
x z x y z y
+++ （ ） A ．都大于2
B ．至少有一个大于2
C ．至少有一个不小于2
D ．至少有一个不大于2
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x
z ＋x y ＝(y x ＋x y )＋
(y
z ＋z y )＋(z x ＋x z
)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数
至少有一个不小于2.
2．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币. 【详解】
第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平. 故选：B. 【点睛】
本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.
3．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（ ） A ．甲 B ．丙
C ．甲与丙
D ．甲与乙
【答案】D 【解析】 【分析】
分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论. 【详解】
若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取， 命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；
若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；
若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立. 综上所述，甲与乙被录取. 故选：D. 【点睛】
本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
4．观察下图：
12343456745678910
L
L
则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017 B ．1009
C ．1010
D ．1011
【答案】B 【解析】 【分析】
由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】
由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数 且这21n -个数成公差为1的等差数列
所以第n 行的各数之和为：()()()()
2
2122211212
n n n n n ---+⨯=
-
令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】
本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.
5．已知数列{}n a 满足1
32n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i
行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*
,i j N ∈且j i ≤），则
()21,20a =（ ）
A ．20932⨯
B ．21032⨯
C ．21132⨯
D ．21232⨯
【答案】C 【解析】 【分析】
由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解. 【详解】
由题可知,第i 行有i 个数,
当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,
()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,
则前20行共有
()1+2020=2102
⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a
,
所以()211
21221,2032a a ==⨯,
故选:C 【点睛】
本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.
6．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x
B ．()f x -
C ．()g x
D ．()g x -
【答案】D 【解析】
由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．
7．已知0x >，不等式12x x +
≥，243x x +≥，327
4x x
+≥，…，可推广为1n a
x n x
+
≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n n
C ．2n
D ．222n -
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】
由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n a
x n x
+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
8．给出下面类比推理：
①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”； ②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“
a b a b
c c c
+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”． 其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比
的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答. 【详解】
①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“
(0)a b a b
c c c c
+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；
④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；
所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.
9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】B 【解析】 【分析】
结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】
结合题意分类讨论：
若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.
10．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )
A ．各月的平均最低气温都在0℃以上
B ．七月的平均温差比一月的平均温差大
C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【考点】 统计图 【易错警示】
解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．
11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3
=63
2
n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应
的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3
C ．（k+1）3
D ．63
(1)(1)2
k k +++
【答案】B 【解析】
分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

详解：当n k = 时，等式左边3123....k =+++
当1n k =+时，等式左边3
3
3
3
3
123....(1)(2)(3)...(1)k k k k k =+++++++++
所以增加的项为3333(1)(2)(3)...(1)k k k k +++++ 所以选B
点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。

12．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,
,,,)121n n
n n --L ，…，记该数组为
1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )
A ．
911
B ．
1011
C ．11
12
D ．
910
【答案】B 【解析】 【分析】
设a 200在第n 组中，则
()()112002
2
n n n n -+≤＜（n ∈N *），
由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：1920
2
⨯=190， 再进行简单的合情推理得：a 2001010
2010111
==-+，得解．
【详解】
由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则
()()112002
2
n n n n -+≤＜（n ∈N *），
解得：n ＝20，
即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：1920
2
⨯=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为
1010
2010111
=-+，
a 2001011=
， 故选B ． 【点睛】
本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．
13．设函数()()02x f x x x =
>+，观察下列各式：()()12
x
f x f x x ==
+，()()()2134x f x f f x x ==
+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516
x
f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…，根据以上规律，若1122018
n f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭，则整数n 的最大值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
【答案】C 【解析】
分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案． 详解：观察：()()12x f x f x x ==
+，()()()2134
x f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==
+，()()()431516
x f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…可知：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一
次项的系数比常数项小1，故f n （x ）=
(21)2n n
x
x -+，所以
1
1
1112()(21)22122018
22
n n n n n
f +==>--++，即12122018n n +-+<20192673103
n
n ⇒<=⇒<，故n 的最大值为9，选C. 点睛：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．然后再结合函数的最值分析思维即可解决问题.
14．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．乙 B ．甲 C ．丁 D ．丙 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论. 【详解】
在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；
假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；
由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，
由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，
由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A. 【点睛】
本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
15．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。

2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年 B ．乙巳年
C ．丙午年
D ．丁未年
【答案】C 【解析】 【分析】
按照题中规则依次从年列举到
年，可得出答案。

【详解】 根据规则，年是己亥年，
年是庚子年，
年是辛丑年，
年是壬寅年，
年是癸卯年，
年是甲辰年，
年是乙巳年，
年是丙午年，故选：C 。

【点睛】
本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题。

16．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，
5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）
A ．255
B ．419
C ．414
D ．253
【答案】B 【解析】 【分析】
每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【详解】
以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数
列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()
*
3,n n ≥∈N ，
则876854928154a a a =++=++=，
9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．
17．已知()()2739n
f n n =+⋅+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,
则最大的m 的值为( ) A ．30 B ．9 C ．36 D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】
由()(27)39n
f n n =+⋅+，得(1)36f =，
(2)336f =⨯，(3)1036f =⨯， (4)3436f =⨯，由此猜想36m =.
下面用数学归纳法证明： (1)当1n =时，显然成立。

(2)假设n k =时，()f k 能被36整除，即
()(27)39k f k k =+⋅+能被36整除；
当1n k =+时,
1[2(1)7]39k k +++⋅+
1
3(27)391823k k k +⎡⎤=+⋅+-+⨯⎣⎦ ()
13(27)391831k k k -⎡⎤=+⋅++-⎣⎦
131k --Q 是2的倍数，
()
11831k -∴-能被36整除，
∴当1n k =+时，()f n 也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有
()(27)39n f n n =+⋅+能被36整除， m 的最大值为36.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查的是数学归纳法的应用，解题的关键是熟练掌握数学归纳法解题的一般步骤，考查的是推理计算能力，是中档题.
18．观察下列一组数据
11a =
235a =+
37911a =++
413151719a =+++
…
则20a 从左到右第一个数是（ ）
A ．379
B ．383
C ．381
D ．377 【答案】C
【解析】
【分析】
先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第一个数．
【详解】
由题意可知，n a 可表示为n 个连续的奇数相加，从1a 到19a 共有
()119191902
+⨯=个奇数，
所以20a 从左到右第一个数是第191个奇数，第n 个奇数为21n -，
所以第191个奇数为21911381⨯-=．
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
19．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214
S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则为
12V V =（ ） A ．164 B ．127 C ．19 D ．18
【答案】B
【解析】
【分析】
平面图形类比空间图形,二维类比三维,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.
【详解】
设正四面体P-ABC 的边长为a ，设E 为三角形ABC 的中心，H 为正四面体P-ABC 的中心，则HE 为正四面体P-ABC 的内切球的半径r,BH=PH 且为正四面体P-ABC 的外接球的半径R ，
所以BE=
2
2
23336
,
32333
a a PE a
a a
⎛⎫
⨯==-=
⎪
⎪
⎝⎭
，
所以在Rt BEH
∆中，
22
2
63
a r r a
⎛⎫⎛⎫
-=+
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
解得6
12
r a
=，所以R=PE-HE=
666
a a a
-=，所以
1
3
r
R
=，
根据的球的体积公式有，
3
3
1
3
2
4
1
3
427
3
r
V r
V R
R
π
π
⎛⎫
===
⎪
⎝⎭
，
故选：B.
【点睛】
本题考查类比推理，常见类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比. 20．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U.其计算式子为
2
1212
1111
U kcq
R R x x R x R x
⎛⎫
=+--
⎪
+-+-
⎝⎭
，其中，kc为静电常量，1x、2x分别表示
两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12
12
1
x x
R x x R
R
-
⎛⎫
+-=+
⎪
⎝⎭
，
1
1
1
x
R x R
R
⎛⎫
+=+
⎪
⎝⎭
，2
2
1
x
R x R
R
⎛⎫
-=-
⎪
⎝⎭
，且()12
11
x x x
-
+≈-+，则U的近似值为（）
A．
2
12
3
kcq x x
R
B．
2
12
3
kcq x x
R
-C．
2
12
3
2kcq x x
R
D．
2
12
3
2kcq x x
R
-
【答案】D
【解析】
【分析】
将12
12
1
x x
R x x R
R
-
⎛⎫
+-=+
⎪
⎝⎭
，1
1
1
x
R x R
R
⎛⎫
+=+
⎪
⎝⎭
，2
2
1
x
R x R
R
⎛⎫
-=-
⎪
⎝⎭
代入U，结合
()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.
【详解】
221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
2222
121211221111x x x x x x x x kcq R R R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
21232kcq x x R =-. 故选：D.
【点睛】
本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。