直线与圆锥曲线测试题

直线与圆锥曲线测试题
一 选择题（本大题共 12 小题，每题 3 分，共 36 分．在每题给出的四个选项中，只
有一项为哪一项切合题目要求的）
1 直线 l 1: y=x+1, l
2
: y=x+2 与椭圆 C: 3x 2 +6y 2=8 的地点关系是
A l 1, l 2与 C 均订交
B l 1 与
C 相切， l 2 与 C 订交
C l 1 与 C 订交， l 2 与 C 相切
D l , l 2与均相离
1
2 （原创题）直线 y =x +1 被椭圆 x 2 +2y 2 =4 所截的弦的中点 M,则 M 与原点连线的斜率等于 （ ）
A 2
B
1
C 2
D
3
2
3
2
3 过椭圆 x 2+2y 2=
4 的左焦点作倾斜角为
的弦 AB ，则弦 AB 的长为
6
16
3
7
D
7
A
B
C
7
7
16
6
4
已知椭圆 x 2
y 2
1( a b 0) 的左焦点为 F ，右极点为 A ，点 B 在椭圆上，且
BF a 2 b 2
uuur uuur
x 轴，直线 AB 交 y
轴于点 P ．若 AP 2PB ，则椭圆的离心率是（ ）
A.
3 B.
2 C. 1 D.
1
2
2
3
2
5 若直线 y=-x+m 与曲线 y
5 1 x 2 只有一个公共点，则 m 的取值范围是 ( )
4
（A ） - 2≤m ＜ 2
（ B ） -2 5 ≤m ≤2 5
（C ） - 2≤m ＜ 2 或 m=5
（ D ） -2 5 ≤m ＜ 2 5 或 m=5
6
过点 P(3,2) 和抛物线 y
x 2 3x 2 只有一个公共点的直线有（
）条 .
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7 （改编题）
过原点的直线 l 与曲线 C:
x 2
y 2 1 订交 , 若直线 l 被曲线 C 所截得的线段
3
长不大于
6 , 则直线 l 的倾斜角
的最大值是 ( )
5
B C
2 D.
3
A
2
3
4
6
8
若椭圆 x
2
y 2
1 (a
b
0) 和圆 x
2
y
2
(
b
c)2 ,(c 为椭圆的半焦距 ), 有四个
a 2
b 2
e 的取值范围是 2
不一样的交
点
, 则椭圆的离心率
(
)
A
( 5,3
) B ( 2 , 5
)C (
2 ,3) D
(0,
5 )
5
5
5
5
5 5
5
9
椭圆 4x 2 9 y 2 144 内有一点 P （ 3， 2）过点 P 的弦恰巧以 P 为中点，那么这弦所在
直线的方程为
（ ）
A ． 3x 2 y 12 0
B ． 2x 3y 12 0
C ．4x9 y1440D．9x 4 y1440
10经过椭圆x2
y2 1 的一个焦点作倾斜角为45 的直线 l ,交椭圆于A、B两点.设 O 为2
uuur uuur
).
坐标原点，则 OA OB 等于(
A.3
B.1
C. 1 或3
D.1
333
11 （改编题）已知椭圆
x2y2
（ a >
b
>0）与双曲线
2
y2
有公共的焦C1 : a2b21C2: x41
点， C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆订交于A, B 两点，若 C1恰巧将线段AB 三均分，则（）
（ A）长轴长26（ B）长轴长 213（ C）短轴长2（ D）短轴长2 2
12（改编题）已知两点 M（ 1，5
），N（－ 4，-
5
），给出以下曲线方程：①4x+2y - 1=0 ②x2+y2=3 44
③ x2y2 =1④x2y2 =1.在曲线上存在点P 知足 |MP|=|NP| 的全部曲线方程是（）
22
A. ①③
B.②④
C.①②③
D.②③④
二填空题（共 4 小题，每题 3 分共 12 分，把答案填在相应的地点上）
x22
13 （改编题）已知 F1为椭圆 C：2＋ y ＝1的左焦点，直线l ：y＝x－1与椭圆 C交于 A、B
两点，那么 | F1A| ＋ | F1B| 的值为 ________．
14如图，已知抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点 F 恰巧是椭圆x
2
y2 1 (a>b>0)的右焦点，且a2b2
两曲线的公共点连线AB过 F，则椭圆的离心率是 ____________.
15已知抛物线y=-x 2+3 上存在对于直线x+y=0对称的相异两点A,B ，则 |AB|等于___________
x 2
y2
uuur uuuur
16 设F1, F2分别为椭圆1的左、右焦点，点A, B 在椭圆上，若F A5F B;则
312点 A的坐标是.
三解答题（本大题五个小题，共52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（原创题）（本小题 10 分）当过点（ 0,2
x2y2
的直线和椭圆1①有两个公共点②有
32
一个公共点③没有公共点时，求k
的取值范围
18（本小题 10 分）已知椭圆x
2y21，过点 P（ 2， 1）引一弦，使弦在这点被均分，164
求此弦所在直线l 的方程.
19（原创题）（本小题 10分）已知平面上任意一点 M（ x,y ）满足方程( x3)2y 2(x3)2y24
（ 1）判断点 P 的轨迹，并说明原由；
（ 2）设过 (0 ， -2)的直线 l 与上述曲线交于C、 D 两点，且以 CD为直径的圆过原点求直线 l 的方程．
20（本小题10 分）已知动点P 与平面上两定点A( 2,0), B(2,0) 连线的斜率的积为定1
值.
2
（Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程 C.
（Ⅱ）设直线 l : y kx 1 与曲线C交于M、N两点，当|
MN|=
4 2
时，求直线 l 的方程.
3
21（本小题 12 分）已知椭圆 C : x
2
y
2 1(a b 0)过点 (1,3)，且离心率 e1
.
a 2
b 222
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线 l : y kx m(k 0) 与椭圆交于不一样的两
点M 、 N ，且线段 MN 的垂直
均分线过定点 G ( 1
,0) ，求k的取值范围. 8
【挑战能力】
1 （改编题）已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于 A ， B 两点，
|AB|=12 ， P 为 C 的准线上的一点，则△ ABP 的面积为 ( )
A18B24
C 36
D 48
★2 （改编题）
设双曲线 x
2
y 2 1(a
0, b 0) 的右极点为 A ， P 为双曲线上的一个
a 2
b 2
动点（不是极点），从点 A 引双曲线的两条渐近线的平行线， 与直线 OP 分别交于 Q, R 两
点，此中 O 为坐标原点，则 |OP|2 与|OQ| | OR |的大小关系为（
）
A ．|OP |2 |OQ | |OR|
B
．|OP|2 |OQ| |OR|
C ．|OP |2 |OQ| |OR |
D
．不确立
★3椭圆
x
2
y 2 1 a ＞ b ＞ 0 与直线 x y 1交于 P 、 Q 两点，且 OP
OQ ，其
a 2
b 2
中 O 为坐标原点 .
（1）求
1
1
a 2
b 2
的值；
（ 2）若椭圆的离心率
e 知足
3
≤ e ≤
2
，求椭圆长轴的取值范围
3
2
直线与圆锥曲线测试题答案
一
选择题（本大题共 12 小题，每题 3 分，共 36 分．在每题给出的四个选项中，只
有一项为哪一项切合题目要求的）
1 【答案】 C
【分析】因为
y
x 1
，得 9x
2
12x 2
0 0 ，所以 l 1 与 C 订交；
3x 2
6 y
2
8
y
x 2
，得 9x 2
24x 16
0 ， l 2 与 C 相切
因为
6 y 2 8
3x 2 2 【答案】 B
【分析】由
y x
1
， 得 3x 2
4x 2 0 x 1
x 2
4
,中点坐标
x 2
2y 2
4
3
x
x 1 x 2
2
, y
0 x 01 1 ，所以 k
OM 1 ，答案为 B
2
3
3 2
3 【答案】
【解析】 AB 的直线方程为y3( x2) ，联立方程y3x 6
，得
x2 2 y24
7x212 2x 8 0 x1x212 2
, x1 x28，所以77
AB(x1x2 )2( y1y2 )2 1 3 x1x2 2( x x )2 4x x
1212
2(122)232
77
16
7
4 【答案】 D
【分析】：对于椭圆，因为5【答案】 D．uuur uuur1 AP2PB，则 OA 2OF , a2c, e
2
【分析】将曲线方程化为
x 2y 2
201 (y≥0)．
5
则该曲线表示椭圆x 2y2
1 位于x轴的上半部分．205
将方程 y=-x+m 与
x 2y 2
201 联立得：
5
5x 22
-8mx+4m-20=0.
令 =64m2-20 （ 4m2-20 ）=0,
解得 m=±5，于是得如下图直线l 1：y=-x+5．
又可求得直线l 2：y=-x-2 5 ，l3：y=-x+2 5 .
依题意，直线y=-x+m 应介于直线l 2与 l 3之间或就为直线l 1，∴-2 5 ≤m＜2 5 或m=5.
6
【答案】 D
【 解 析 】： 抛 物 线 y x 2 3x 2
如 图 ， 点 P （ 3 ， 2 ） 在 抛 物 线 的 内 部 ，
依据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，
可知过点
P(3,2) 和抛物线 y x 2 3x
2 只有一个公共点的直线有一条 .应选择 D
7 【答案】 D
【分析】设直线 l 的方程为 y
kx ，由
x 2
y 2
1
得 (3k 2 1)x 2
3 3 0 ，所以弦长等
y kx
于 k 2 1 x 1
x 2
k 2 1
12 1
6, k 2 1 ，即 tan
1或 tan
1，
3k 2
所以
3
，所以答案为 D.
4 4
8 【答案 :】 A
【分析】由题意，圆的半径应知足：
b
b
2
5
3
c a , 变形两边平方 . ，得 e (
, )
9 【答案】 B
【分析】设直线与椭圆的交点坐标为
A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ， 代 入 椭 圆 方 程
4x
2
9 y
2
144 ，
4x 1 2 9y 1 2
144
4x 22
2
，
9y 2 144
得 4( x 12 x 22 ) 9( y 1 2 y 22 ) 0 4( x 1 x 2 )( x 1 x 2 ) 9( y 1 y 2 )( y 1 y 2 ) 0
4 2 3 9 2 2k AB
0 k AB
2 , 所以直线的方程 y 2 2
( x
3)
3
3
即 2x 3y 12 0
10 【答案】 B
l 的方程为 y x 1 , 则 A(0,1) , B(
4
, uuur uuur
0 1
,应选
【分析】不如设直线
1),∴OA OB
3
3
3
B.
11 【答案】 C.
【分析】由双曲线
x 2y 2
＝ 1 知渐近线方程为 y 2x ，又∵椭圆与双曲线有公共焦
4
点，∴椭圆方程可化为 b 2 x 2＋ b2 5 y2＝ b 2 5 b 2，联立直线 y2x 与椭圆方程消 y 得， x2b2 5 b 2，又∵ C1将线段AB三均分，
5b220
∴ 1 222b2 5 b22a21
2 5b 220
，解之得 b. ，所以短轴长为
32
12 【答案】 D
【分析】：P知足 |MP|=|NP| 即 P是 MN的中垂线上的点， P点存在即中垂线与曲线有交点 .MN 的中垂线方程为2x+y+3=0，与中垂线有交点的曲线才存在点P 知足 |MP|=|NP| ，
直线 4x+2y-1=0与 2x+y+3=0 平行，故清除A、 C，
2x y 30
又由
x 2
y2
△ =0，有独一交点 P 知足 |MP|=|NP| ，应选 D.
1
2
二填空题（共 4 小题，每题 3 分共 12 分，把答案填在相应的地点上）
8 2
13 【答案】：3
【分析】：设点 A( x1， y1)， B( x2， y2)，则由
x
2
＋ y2＝1
消去2＝0，解得＝ 0，
4
(0，－1)、
2y整理得 3 －4x x12＝，易得点
x x3A y＝ x－1
(4，1)．又点1(－1,0)，所以|1| ＋ | 1 |＝12＋－1 2 ＋B33F F A F B
72＋ f(128 2
3
3)＝3 .
14【答案】： 2 -1
【分析】由题意可知， AB即是抛物线的通径， |AB|=2p ，∴A( p
,p)，又
p
=c，∴A(c,2c), 22
将 A 点代入椭圆方程中得c24c 2
2222242 221，∴4a c =b (a-c)=b，∴b =2ac，a b
而2ac=a 22222
，解得 e= 2 -1(e=-2-1舍去). -c，即 c +2ac-a=0，∴e+2e-1=0
15 【答案】 3 2
【分析】 . 设 AB 直线的方程为y=x+b ，与 y=-x 2+3 联立，得 x2+x+b-3=0.
∴Δ =1-4(b-3)>0,x 1
+x 2=-1,x 1 x 2 =b-3.
∴AB 的中点 C （- 1
,b-
1
）在 x+y=0 上，
即 -
1
+b-
1
2
2
=0, 解得 b=1 切合
>0,
2
2
∴弦长 |AB|=
1 1g 1 4 （ 2）32.
16 【答案】 (0,1)或（ 0， -1 ）
【分析】设直线 F 1 A 的反向延伸线与椭圆交于点
B ，又∵F A
5
F B ，由椭圆的对称
1
2
性可得 F 1 A 5B F 1 ，设 A x 1 , y 1 ， B x 2 , y 2 ，
6
3 2
， F 1B'
6 3 2
又∵
F 1A
x 1
2 x 2
，
3
3
2
6
x 1
3 2 6
x 2 3
2
3
2 3
2
x 1 2
5(
2 x 2 )
解之得 x 1
0 ，∴点 A 的坐标为 (0,1)或（ 0， -1 ）.
三 解答题（本大题五个小题，共
52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【分析】：⑴当直线的斜率不存在时，明显直线与曲线有两个公共点，所以
设直线方程为 y kx 2 ，
y kx 2 ，得 2x
2
3(kx 2)
2
6，即 (2
3k 2 ) x 2
12kx 6 0
由
3y 2 2x 2
6
144k 2 24(2 3k 2 ) 72k 2 48
① 当
72k 2 48
0 ，即 k
6
,或 k
6 时，直线和曲线有两个公共点；
3
3
②当
72k 2
48
0 ，即 k
6
, 或 k
6 时，直线和曲线有一个公共点；
3
3
③当
72k 2 48 0 ，即
6 k
6 时，直线和曲线没有公共点 .
3
3
18 【分析】解法一 设所求直线的方程为 y-1=k(x-2) ，代入椭圆方程并整理，得
(4 k 2 1)x 2 8(2k 2 k ) x 4(2k 1)2 16
直 与 的交点
A(x 1, y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ， x 1
x 2 8(2 k 2 k )
4k 2
4(2 k 2
1
因 P 弦 AB 的中点，所以 2
x 1 x 2
k)
，解得 k 1
x+2y-4=0
2 4k 2 1
2
所以所求直 的方程
解法 2： 直 与 的交点
A( x 1 , y 1), B( x 2 , y 2 ) 因 P 弦 AB 的中点，所以 x 1 x 2 4, y 1 y 2
2
又因 A,B 在 上，所以
x 12 4y 12
16
x 22 4y 22
16
两式相减，得 ( x 12 x 22 ) 4( y 12
y 22 ) 0 即 (x 1
x 2 ) 4( y 1
y 2 ) y 1
y 2 0,
x 1 x 2
所以
y
1
y 2
(x 1 x 2 ) 1
即 k AB
1
x 1
x 2
4( y 1 y 2 )
2
2
所以所求直 的方程
y 1
1
(x
2) 即 x+2y-4=0.
2
19 【分析】 ：（ 1 ）方程
(x
3)2 y 2
( x
3) 2 y 2
4 表示 M （ x,y ）到两定点
( 3,0)( 3,0) 的距离之和
4. 依据 的定 ，可知 点
M
的 迹 ，此中
a
2， c
3 ， b
a 2 c 2 1 ．所以 点 M 的 迹方程
x 2
y 2 1．
4
（ 2）当直 l
的斜率不存在 ，不 足 意．
当直 l 的斜率存在 ， 直
l 的方程 y
kx 2 ， C (x 1 , y 1 ) ， D (x 2 , y 2 ) ，
uuur uuur
∵ OC OD 0 ，∴ x 1x 2 y 1 y 2 0 ． ∵ y 1 kx 1 2 ， y 2 kx 2 2，
∴ y 1 y 2
k 2 x 1 x 2 2k ( x 1 x 2 ) 4 ．∴ (1 k 2 )x 1x 2
2k (x 1 x 2 ) 4 0 ．⋯ ①
x 2 y 2
1, 得 1
4k 2 x
2
16kx 12 0 ． x 1
16 k 2
由方程
4 x 2
，
y kx 2.
1 4k
x 1 x 2
12 2 ，代入①，得 1 k
2
1 1
2 2
2k 16k 2 4 0 ．
1 4k
4k
1 4k
即 k 2 4 ，解得， k
2 或 k
2 ．所以，直 l 的方程是 y
2x 2 或 y
2x 2 ．
y
y
1
x 2
y
2
1.
【分析】：（Ⅰ） 点
P( x, y)
， 依 意有
20 x
2 x 2
2
，整理得 2
x 2 y 2
1(x
2).
因为
x
2
，所以求得的曲
C 的方程
2
x 2 2
1,
y
2
2
4k
2
消去 得 2k ) x
4kx 0.
y : (1
( x 1 , x 2
（Ⅱ）由
y kx
1.
解得 x 1=0, x 2= 1 2k 2 分 M ，
|MN |
1 k
2 | x 1 x 2 |
1 k
2 | 4k |4
2,
1.
N 的横坐 ）由
1 2k
2 3
解得 : k
所以直 l 的方程 x －y +1=0或x +y － 1=0
1
，
b 2 1 3 2
3a 2
21【分析】：（Ⅰ） Q 离心率 e
a 2
1
，即 4b
（ 1）；
2
4
4
又 点 (1,
3
) ，
1
9 1，（ 1）式代入上式，解得 a 2
4 ， b 2
3 ， 方程
2
a 2
4b 2
x 2 y 2
4
1.
3
（Ⅱ） M ( x 1 , y 1), N ( x 2 , y 2 ) ，弦 MN 的中点 A (x 0 , y 0 )
y
kx m
得： (3 4k 2 ) x
2
8mkx 4m
2
12
0 ，
由
2 4 y 2
3x 12
Q 直 l : y
kx m(k 0) 与 交于不一样的两点，
64m 2k 2 4(3 4k 2 )(4m 2
12) 0 ，即 m 2 4k 2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1）
由 达定理得：
x 1
x 2
8mk
2 , x 1 x 2
4m 2 122 ，
3 4k
3 4k
x 0
4mk , y 0 kx 0 m
4mk 2 m
3 3m ， 3 4k 2
3 4k 2
4k 2
3m 24m
直 AG 的斜率 ： K AG
3 4k 2
，
4mk 1
32mk
3
4k
2
3 4k 2 8
由直 AG 和直 MN 垂直可得：
24m
4k 2
gk
1 ，即 m
3 4k 2
，代入（ 1）
32mk
3
8k
式，可得 ( 3 4k
2
)
2
4k
2
3 ，即 k
2
1 ， k
5
或 k
5 .
8k
20
10
10
【挑战能力】
1 【答案】 C
【分析】 . 设抛物线方程为 y 2
=2px ，则点 C （ p ，0），在方程中，令 x= p
，则 y=±6，即
2
2
36=p 2
，得 p=6, ∴y 2
=12x ，∴点 P 到直线 AB 的距离为 p=6，∴S △ABP = 1
|AB| ·6=36.
2 【答案】 C 2
【分析】取特别点
b 2
) ，则直线 OP 的方程为 y b 2
P(c,
x ，又直线 AQ 的方程为
a
ac
y
b
( x a) ， 直 线 AR 的 方 程 为 y
b
( x a) ， 解 得 Q, R 的 坐 标 为
a
a
(
ac
, b 2 ) ，( ac , b 2 ) ，易得 |OP |2 |OQ | | OR | ．（若设随意点也可得此结果） 3
c b c b c b c b
【分析】：设 P( x 1 , y 1 ), P(x 2 , y 2 ) ，由 OP ⊥ OQ
x
1
x
2
+ y
1
y
2
= 0
y 1 1 x 1 , y 2 1 x 2 , 代入上式得： 2x 1 x 2 (x 1 x 2 ) 1 0 ① 又将 y
1 x 代入
x 2 y 2
1
(a 2 2 ) x 2 2a 2
x a 2
2
) 0 ，
0, x 1
x 2
2a 2
2 ,
a 2
b 2
b
(1 b
a 2 b
a 2 (1
b 2 )
x 1 x 2
代入①化简得
1
1 2 .
a 2
b 2
a 2
b 2
a 2 (2)
e 2
c 2
1 b 2
1 1 b 2
1 1 b
2
2
, 又由（ 1）知 b 2
a 2
a 2 3
a 2 2 2 a 2
3
2a 2 1
1 1 1 2
5 a 2
3 5 a
6
，∴长轴 2 a ∈ [
5,
6 ].
2 2a 2
3
4
2
2 2。