河北省衡水市安平县安平中学立体几何多选题试题含答案

河北省衡水市安平县安平中学立体几何多选题试题含答案
一、立体几何多选题
1．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ）
A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MAT
B ．当)
3,2x ∈
时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD
C ．若使点M 在平面ABC
D 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥
M HAB -6322
++【答案】BCD 【分析】
对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x --，验证当)
3,2
x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21
233
V x x =
⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为
2
323
r =
++
【详解】
对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．
此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误； 对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥．
若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=- 当)
3,2x ∈
时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面
ABCD
故B 正确；
对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，(3x ∈，
所以()
2
2
22222
1223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当且仅当223x x =-，即6
x =
时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =
因为AHB ，MHB 都是直角三角形，所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点，所以
1R =，
由等体积法，可求得内接圆半径为2323
r =++，故6132
2R r ++=，故D 正确．
故选：BCD ． 【点睛】
本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．
2．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A ．异面直线1A
B 与1AD 所成的角是3
π
B ．1BD ⊥平面11A
C D
C ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -3
D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23
【答案】ABD
【分析】
选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体
11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线
长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】
A ：正方体1111ABCD A
B
C
D -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线
1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113
A BC π
∠=
，正确；
B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111D
C B A ，11A C ⊂平面1111
D C B A ，即111AC B B ⊥，又
11
11AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确；
C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为
1
3
4
ACB S
=
，错误；
D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()()
2
2
2
2
2
2
6++=2
的正四面体11A BDC -2
2
222262213⎛
⎫--⨯ ⎪⎝⎭，故正四面体11A BDC -的高等
于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的2
3
，正确. 故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断C 、D 的正误.
3．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c ．点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为A S ，B S ，C S ，D S ．在下列所给的命题中，正确的有（ ） A ．2A BCO D S S
S ⋅=； B ．3
3
3
3
A B C D S S S S <++；
C ．若三条侧棱与底面所成的角分别为1α，1β，1γ，则222
111sin sin sin 1αβγ++=；
D ．若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为2α，2β，2γ，则
22cos α+2222cos cos 1βγ+=．
【答案】ACD 【分析】
由Rt O OA '与Rt O AD '相似，得边长关系，进而判断A 正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得C 正确；构造长方体，建立直角坐标系，代入夹角公式计算可得D 正确；代入特殊值，可得B 错误. 【详解】
由三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，
则将三棱锥A BCD -补成长方体ABFC DGHE -，连接DO 并延长交BC 于O '， 则AO BC ⊥．
对A ：由Rt O OA '与Rt O AD '相似，则2O A O O O D '''=⨯ 又1
2
A S BC O D '=
⋅，1
2
BCO
S BC O O '=
⋅， 2
22211
24
D
S BC O A BC O A ⎛⎫''=⋅=⋅ ⎪⎝⎭
所以2
A BCO
D S S
S ⋅=，故A 正确．
对B ：当1a b c ===时，333
18
B C D S S S ===
，则333
38B C D S S S ++=，
而3
3
32288A S ⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭
，此时3333A B C D S S S S >++，故B 不正确． 对D ：分别以AB ，AC ，AD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．
设(),,M x y z ，则(),,AM x y z =，AM =
(),0,0AB a =，()0,,0AC b =，()0,0,AD c =
所以2
2
2
222
222cos cos cos AM AB AM AC AM AD AM AB
AM AC
AM AD
αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⋅⋅⋅⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
2222
2
2
1x y z AM
AM
AM
=
+
+
=，所以D 正确．
对C ：当M 与O 重合时，AO ⊥面BCD ，
由D 有222
222cos cos cos 1αβγ++=，
由各侧棱与底面所成角与侧棱与所AO 成角互为余角，可得C 正确． 故选：ACD.
【点睛】
关键点睛：本题考查空间线面角、线线角、面积关系的问题，计算角的问题关键是建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用数量积的公式代入计算，解决这道题目还要结合线面角与线线角的关系判断.
4．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090B F ∠=∠=，0
60,45,A D BC DE ∠=∠==，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（ ）
A ．BC FM ⊥
B ．A
C 与平面MOF 3C ．平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°
D ．设平面ABF 平面MOF l =，则有//l AB
【答案】AD 【分析】
证明BC ⊥面FOM 可判断A ；根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ；
利用特殊位置判断C ；先证明//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可判断D ； 【详解】
由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OM OF O ⊥⊥=，
所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥，故A 正确；
因为BC ⊥面FOM ，所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=，所以余弦值为
1
2
，故B 错误； 对于C 选项可以考虑特殊位置法，由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ，所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上，不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ，过点M 作
//BC MN ，连结NF .易证AB ⊥面MNF ，则l ⊥面MNF ，所以MFN ∠为平面MOF
与平面AFB 所成的二面角的平面角，不妨设2AB =，因为060A
，所以
23BC =，则1
3,12
OF BC OM =
==，显然MFN ∠不等于45°，故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ，又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ，OM ⊂面
MOF ，所以//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可得：//l AB ，故D 正确； 故选：AD.
【点睛】
方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（ ）
A ．11//A D 平面EFGH
B ．1A
C ⊥平面EFGH
C ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°
D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】
如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方
法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否. 【详解】
如图，连接OA ，则2115OA AA =
+=，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.
同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点. 因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点.
因为正方体的棱长为2，而26<
球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ， 所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点， 如图各记为,,,E F G H .
因为OAE △为直角三角形，故22651AE OE OA -=-=，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.
由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ， 同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ，故11//A D EF
因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确. 因为在直角三角1BA C 中，122A B =2BC = ，
190A BC ∠=︒， 1A C 与BC 不垂直，故1A C 与GH 不垂直，故1A C ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误.
由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ， 所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥
在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥， 因为EF
EH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，
所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒， 故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，
因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确.
因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱， 其体积为
1
11212
⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8， 故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.
6．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形ABCD ，11BCC B 的中心.则下列结论正确的是（ ）
A ．平面1D MN 与11
B
C 的交点是11B C 的中点 B ．平面1
D MN 与BC 的交点是BC 的三点分点 C ．平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点 D ．平面1D MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶1 【答案】BC 【分析】
取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，连FM 并延长分别交,BC AD 于
,P Q ，连1,D Q PN 并延长交11B C 与H ，平面四边形1D HPQ 为所求的截面，进而求出
,,P Q H 在各边的位置，利用割补法求出多面体11QPHD C CD 的体积，即可求出结论.
【详解】
如图，取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ， 连接FM 并延长，设FM BC P ⋂=，FM AD Q ⋂=， 连接PN 并延长交11B C 于点H .连接1D Q ，1D H ，
则平面四边形1D HPQ 就是平面1D MN 与正方体的截面，如图所示.
111111////,22NE CC DD NE CC DD ==， NE ∴为1DD F ∆的中位线，E ∴为DF 中点，连BF ，
,,90DCE FBE BF DC AB FBE DCE ∴∆≅∆==∠=∠=︒，
,,A B F ∴三点共线，取AB 中点S ，连MS ，
则12//,,23
BP FB MS BP MS BC MS FS =∴==， 22111,33236
BP MS BC BC PE BC ∴==⨯=∴=， E 为DF 中点，11//,233
PE DQ DQ PE BC AD ∴=== N 分别是正方形11BCC B 的中心，11113C H BP C B ∴==
所以点P 是线段BC 靠近点B 的三等分点，
点Q 是线段AD 靠近点D 的三等分点，
点H 是线段11B C 靠近点1C 的三等分点.
做出线段BC 的另一个三等分点P '，
做出线段11A D 靠近1D 的三等分点G ，
连接QP '，HP '，QG ，GH ，1H QPP Q GHD V V '--=，
所以111113
QPHD C CD QPHQ DCC D V V V -==多面体长方体正方体
从而平面1D MN 将正方体分成两部分体积比为2∶1.
故选:BC.
【点睛】
本题考查直线与平面的交点及多面体的体积，确定出平面与正方体的交线是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.
7．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．
A ．棱的高与底边长的比为22
B ．侧棱与底面所成的角为4π
C ．棱锥的高与底面边长的比为2
D ．侧棱与底面所成的角为3
π 【答案】AB
【分析】 设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h =
=得254h a =，然后可得侧面积为2
42108a a
+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案.
【详解】
设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a
可得21183V a h ==，即254h a
= 所以其侧面积为2222
244215410842244a a a h a a a
⋅⋅+=+=+令()24
2108f a a a =+，则()2
3321084f a a a ⨯'=- 令()2
3
3210840f a a a ⨯'=-=得32a =
当()0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减 当()
32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增 所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小
此时3h =
所以棱锥的高与底面边长的比为22
，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=
，故B 正确，D 错误 故选：AB
【点睛】
本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.
8．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论中正确的是（ ）
A ．11A C ⊥平面11B
B D D
B ．1BD ⊥平面1ACB
C ．1B
D 与底面11BCC B 2
D ．过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条
【答案】ABD
【分析】
由直线与平面垂直的判定判断A 与B ；求解1BD 与底面11BCC B 所成角的正切值判断C ；利用空间向量法可判断D ．
【详解】
对于A 选项，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，
1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111BB A C ⊥，
由于四边形1111D C B A 为正方形，则11
11AC B D ⊥， 1111BB B D B =，因此，11A C ⊥平面11BB D D ，故A 正确；
对于B 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，
1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，
因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，
1
D DD BD =，AC ∴⊥平面11BB D D ， 1BD ⊂平面11BB D D ，1AC BD ∴⊥，同理可得11BD B C ⊥，
1AC B C C =，1BD ∴⊥平面1ACB ，故B 正确； 对于C 选项，由11C D ⊥平面11BCC B ，得11C BD ∠为1BD 与平面11BCC B 所成角， 且1
11112tan C D C BD BC ∠==，故C 错误； 对于D 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则()1,0,0A 、()0,0,0D 、()0,1,0C 、()11,1,1B ，
()1,0,0DA =，()11,0,1CB =，
设过点1A 且与直线DA 、1CB 所成角的直线的方向向量为()1,,m y z =， 则221cos ,21
DA m
DA m DA m y z ⋅<>===⋅++， 1122
111cos ,221CB m z CB m CB m y z ⋅+<>===⋅⋅++， 整理可得2222341
y z y z z ⎧+=⎨=++⎩，消去y 并整理得2210z z +-=，解得12z =-12z =-
由已知可得3z ≤，所以，12z =-+22y =±
因此，过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条，D 选项正确.
故选：ABD.
【点睛】
方法点睛：证明线面垂直的方法：
一是线面垂直的判定定理；
二是利用面面垂直的性质定理；
三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；
另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．。