河北省冀州中学2014届高三高考仿真题 数学文试题 含答案

冀州中学第一次仿真考试数学试题(文科）
第I 卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合Ａ＝｛a ２,a ＋１,－３｝，Ｂ＝{a －３，a ２＋１，２a －１｝,且ＡＢ＝｛－３｝. 则a=( ）
A ．1-
B ．0
C ．0 或1-
D ．2 2．设x R ∈,则“1x =”是“复数2
(1)(1)z x x i =-++为纯虚数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既
不充分也不必要条件
3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是
A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B ．“至少有一个黑球"与“都是红球”
C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D ．“恰有一个黑球"与“恰有两个黑球 4．命题“若022
=+b a
,R b a ∈,，则0==b a ”的逆否命题是(
)
A ．若0≠≠b a ，R b a ∈,，则022
=+b a B ．若0≠=b a ,R b a ∈,，则022
≠+b a
C ．若0≠a 且0≠b ,R b a ∈,，则022
≠+b a
D ．若0≠a 或0≠b ,R b a ∈,，则022
≠+b a
5。

某学校从高三全体500名学生中用系统抽样抽取50名学生作学
习状况问卷调查，现将500名学生从1到500进行编号，求得
间隔数5001050
k ==，即每
10人抽取一个人,在1至10中随机抽取一
个数,如果抽到的是6,则从125至140的数中应抽取的数是（ ）
A ．126
B ．136
C ．146
D ．126和136
6. 已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0, 0a b >>， 则
2w a b =-的取值范围是（
)
A ．21[,]32-
B ．2(,0)3-
C ．21(,)32-
D ．
1(0,)2
7。

已知*
,79
80N n n n a
n
∈--=
，则在数列{a n ｝的前50项中
最小项和最大项分别是( )
A 、1
a ,50
a B 、9
a ，50
a C 、9a ，8a D 、8a ，9
a 8．如图所示程序框图中,输出S = （ )
A ．
45 B ． 55- C ． 66- D ． 66
9. 偶函数)(x f 满足()()()
x f x f x f +-=+111,且在]1,0[∈x 时，2
)(x x f =，则关于x 的方
程
x
x f ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=101)(在]3,2[-上的根的个数是（ )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10.已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点，且满足PM
PN
=，
则PM PN
的最小值是（ )
（ )
A ．14
- B ．12
- C ．3
4-
D ．
1-
11.已知双曲线22
22
1(0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的
渐近线于A 、B 两点,且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A
．4
B ．
C ．
D
12.在△ABC 中，BC
AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时,线段
CD 长的最大值为（ )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分，把答案填在答题卡相应位置。

13。

如下图（左），()y f x =是可导函数，直线l 是曲线)(x f y =在4=x 处的切线，令
()
()f x g x x =
,则(4)g '=
．
14．已知某几何体的三视图（单位:cm ）如下图(右）所示，则该几何体的表面积为_____．
15。

已知长方体1
1
1
1
D C B A ABCD -内接于球O ，底面ABCD 是边长为2的正方形，
E 为1
AA
俯视图
2
左视图
2
主视图 2
的中点，BDE OA 面⊥，则球O 的表面积为 _________
16。

设数列｛a n }为等差数列，数列｛b n ｝为等比数列．若1
2
a a <，1
2
b b <,
且2(1,2,3)i
i
b a i ==,则数列{b n ｝的公比为 ．
三、解答题:本大题共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分)已知函数x x x f sin cos )(+=
，())4
g x x π
=+
()x R ∈．
(Ⅰ)求函数)()()()(2
x f x g x f x F +⋅=的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ)若
)(2)(x g x f =，求x
x x x
cos sin cos sin 12
2-+的值． 18. （本小题满分12分） 某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下． 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品．
(Ⅰ）根据频率分布表中的数据,写出a ，b ，c 的值；
（Ⅱ)某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．
是次品的概率；
（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了()*
∈n n N 个，如果这n 个灯
泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样．．．．．．．．．
所得的结果相同，求n 的最小值．
19. （本小题满分12分）如图，四
棱
锥
S -ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ,AB ∥DC ,
AD ⊥DC ,AB =AD =1，DC=SD =2，E
为棱SB 上
的一点，
平面EDC ⊥平面SBC 。

(Ⅰ）证明：SC DE ⊥
(Ⅱ)求四棱锥ABCD E - 的体积。

20. （本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，
椭圆
2
222
1(0)y x a b a b +=>>的离心率为1
2
，过椭圆右焦点F
作两条互相垂直的弦AB 与CD ． 当直线AB 斜率为0时,7AB CD +=．
（1)求椭圆的方程；
（2）求AB CD +的取值范围．
21．（本小题满分12分)已知()ln ().a f x x a R x
=+∈
（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ）若函数()()2g x f x x =+，在1[,)2
+∞单调递增，求a 的范围；
x
y
A
B
F O
D
C
（Ⅲ）当*
n N ∈时，试比较(1)2
1(
)()1n n n n n e
+++与的大小，并证明。

选考题请考生在第（22）、（23)、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
22。

（本小题满分10分）选修4-1 :几何证明选讲 如图，AB 是0的一条切线，切点为
B,直线ADE,CFD ,
CGE 都是O 的割线，已知AC=AB 。

(1)求证:FG//AC;
(II ）若CG =1,CD =4,求GF DE
的值。

.
23. （本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系,直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
+=-=,231,212t y t x (t 为参
数).
（I)写出直线l 与曲线C 的直角坐标系下的方程； (II ）设曲线C 经过伸缩变换⎩
⎨⎧='=',2,
y y x x 得到曲线C '设曲线C '上任一点
为M （x,y),求
y x 2
1
3+
的取值范围. 24. （本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲.
设函数()|3||1|f x x x =--+，x ∈R .
(1） 解不等式()1f x <-; (2） 设函数()||4g x x a =+-,且()()g x f x ≤在[2,2]x ∈-上恒成立,求实数a 的取值范围.
冀州中学仿真一考试数学答案(文科）
一、 选择题：ACDDD CCBCB BC
二、 填空题：16
3- 218+（cm 16π
3+三、
解答题:
17。

解：（Ⅰ)易得 ()cos sin g x x x =-
∴
2
()(cos sin )(cos sin )(cos sin )F x x x x x x x =+-++)14
x π
+
+
所以,函数()F x 的最小正周期22
T π
π==
又由222(),2
4
2
k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得：3()8
8
k x k k Z ππππ-≤≤+∈
所以，函数()F x 的单调递增区间为[
]3,()88
k k k Z ππππ-
+∈...........6分
（Ⅱ）由题意，cos sin 2(cos sin )x x x x +=-
∴1tan 3x =所以，22222
2
1sin cos 2sin 12tan 11
cos sin cos cos sin cos 1tan 6
x x x x x x x x x x x +++===---...........12分
18．(Ⅰ)解：0.15a =，30b =,0.3=c ． …………
4分
(Ⅱ)解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A ． 由表可知：这批灯泡中优等品有60个,正品有100个,次品有40个,
所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为
100604
()2005
+=
=P A ． …………… 8分
(Ⅲ）解:由（Ⅱ)得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为
60:100:403:5:2=．
所以按分层抽样法，购买灯泡数
35210()*=++=∈n k k k k k N ，
所以n 的最小值为
10． (12)
分
19．解：（1）证明：连接BD,过B 作BF ⊥CE,垂足为F 。

因为平面EDC ⊥平面SBC . 平面EDC 平面SBC =EC
EC BF SBC BF ⊥⊂,面
所以,DEC BF 面⊥，所以BF DE ⊥ 由题意得:D BD SD SD BC BD BC =⋂⊥⊥,, 所以SBD BC 面⊥，又因为⊂DE SBD 面 所以BC DE ⊥，
B BF B
C =⋂,所以SBC DE 面⊥
所以SC DE ⊥—--——--——--——-—-——-—-————--—-——-—---6分
（2）由（1）知SB DE ⊥ ,SD =2，2=
BD 6=∴SB
3
2=
∴DE ,BDE RT ∆∴在中3
6
22=
-=
DE BD BE ，所以12:：
=EB SE
所以E 到面ABCD 的距离为3
23
1=SD
所以3
1
32132131=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=-ABCD
E V
——---—------—-—-——--——-———-————-—-——-————12分
20.解：（1)由题意知,12
c e a
==,72CD a =-, 所以2
222
4,3a
c b c ==．
因为点74(,)2c c -在椭圆上，即2
2
22
74()2143c c c c -+=,
所以1c =． 所
以椭圆的方程为
2
2143
y x +=． ……………………………4分
(2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在, 由
题
意
知
7
AB CD +=； …………………………
…6分
② 当两弦斜率均存在且不为0时，设1
1
(,)A x y ，2
2
(,)B x y ，
且设直线AB 的方程为(1)y k x =-,
则直线CD 的方程为1
(1)y x k
=--． 将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2
2
22(34)84120
k x
k x k +-+-=， 所
以
2122
12(1)
|34k AB x x k +=-=
+． ……………………………8分
同理，2222112(1)
12(1)4343k k CD k k
++==++．
所以
2222
222212(1)12(1)84(1)3434(34)(34)
k k k AB CD k k k k ++++=+=
++++, …………………10分
令2
1
t k
=+，则1t >,2
3441
k
t +=-，2
3431
k
t +=+，
设2
2
2
(41)(31)
111149()12()
24
t t f t t t t t
-+==-++=--+,
因为1t >，所以1(0,1)t
∈，
所以49()(12,]4
f t ∈, 所以8448[,7)()7
AB CD f t +=∈．
综合①与②可知,
AB CD
+的取值范围是
48[,7]
7
． ……………………………12分
21、解：(1)当1a =时，函数1()(0)f x bx x x
=+>，则2
2
11
1
()x f x x
x x -'=-=
, 当()0f x '<时，01x <<，当()0f x '>时,1x >
则函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞。

……3分
（2）
()ln 2a
g x x x x
=+
+， 222
12()20a x x a
g x x x x +-'∴=-+=≥在1[,)2+∞上恒成立， 令2
()2x x
x a ϕ=+-,2111
()2()0222
a ϕ=⨯+-≥,1a ∴≤.…………6分
（3）令2()ln h x x x x
=++
222
122
()1(0)x x h x x x x x +-'=-+=>
()(0,1]h x ∴在上单调递减,在[1,)+∞上单调递增 …………8分
(1)3h =2
()ln 3h x x x x
∴=+
+≥，当且仅当1x =时取最小值 011n n <<+,2(1)()ln 3111
n n n n h n n n n +∴=++>+++
21ln
011n n n n ∴+->++，2ln 01(1)
n n n n n +∴+>++ (1)ln
(2)1n n n n n ∴+>-++，(1)21
()().1n n n n n e
++∴>+………………12分 23。

解:（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程,01323=--+y x
学必求其心得，业必贵于专精
曲线C 的直角坐标方程422=+y x
-—---—-——-———-—---——
————-5分 (Ⅱ)曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y
y x x 2,得到曲线C '的方程为4422=+y x , 则点M 参数方程为)(sin 4,cos 2参数θθ
θ⎩⎨⎧==y x ，代入y x 213+得， y x 213+==⋅+⋅θθsin 421cos 23)3
sin(4cos 32sin 2πθθθ+=+, ∴y x 2
13+的取值范围为[]4,4- ——--—---———--—-—---—-----—10分
24.解：(1） 由条件知41()|3||1|22
1343x f x x x x x x <-⎧⎪=--+=-+-≤≤⎨⎪->⎩,
由()1f x <-，解得32
x >。

-—————--——-----——-——-—————5分
（2） 由()()g x f x ≤得 ||4|3||1|x a x x +-≤--+,由函数的图像 可知a 的取值范围是[4,0]-.--——-——--—-———-—--------—----10分。