高二数学下学期期末考试试题理(5)word版本

湖北省孝感市七校2016-2017 学年高二数学放学期期末考试一试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一
项是切合题目要求的．
1、设x R, 则“ 2 x 0 ”是“x 1 1”的
Ａ．充足而不用要条件Ｂ．必需而不充足条件
C．充要条件D．既不充足也不用要条件
2、以下各式的运算结果为纯虚数的是
A．i (1 i )2B．i2(1 i )C．(1 i )2D．i (1 i )
3、已知命题p :x R, x2x10 ；命题若 a2b2, 则a b ．以下命题为真命题的是
A．p q B ．pq C ．p q D ．p q
4、椭圆 x2y21的离心率是
94
A．13B．5C．2
D．
5
3339
5、已知直线的方向向量，平面的法向量，若(1,1,1)，( 1,0,1) ，则直线与平面的地点关系是
A．垂直B．平行 C ．订交但不垂直 D ．直线在平面内或直线与平面平行
6、已知双曲线
x2y2
1 （ a0 ， b0 ）的一条渐近线方程为 y5x ，且与椭圆
C ：22
a b2
2
y 2
x 1 有公共焦点．则的方程为123
222222
D．x22
A．x
y1B．
x
y1C．
x
y1y1 810455443
7、函数f ( x)2x33x212x 5 在 [0,3] 上的最大值和最小值分别为
A.5, 15
B.5, 4
C. 4, 15
D.5, 16
8、假如正整数sin 2 mxdx 的值为
A ．B．C．D．
9、设函数f ( x) 1 e x的图象与轴订交于点，则曲线在点处的切线方程为A．ex y 0B．ex y 0 C．x y 0 D．y x 0
10、已知z1510i , z2 3
111
4i ,
z1
，则的值为z z2
A．5
5i B．
5
5i C ．5 5 i D ．5 5 i 2222
11、甲、乙、丙、丁四位同学一同去处老师咨询成语比赛的成绩，老师说，你们四人中有 2 位优秀， 2 位优异，我此刻给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家
说：我仍是不知道我的成绩，依据以上信息，则
A．乙能够知道两人的成绩B．丁可能知道两人的成绩
C．乙、丁能够知道对方的成绩 D ．乙、丁能够知道自己的成绩
12、已知函数 f ( x) 的导函数 f ( x) 知足 2 f (x)xf ( x)x2 ( x R) ，则对x R 都有
A．x2f (x)0 B． x2 f ( x)0
C ．x2[ f ( x)1] 0 D． x2[ f (x) 1]0
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．
13、在数列{ a }中，a11,a n 12a n
(
n N*
) ，猜想这个数列的通项公式是．
n2a n
14、函数y x ln x 1 的单一减区间是．
15、已知 a R ，设函数 f ( x) ax ln x 的图象在点(1, f (1)) 处的切线为，则在轴上的截距为．
16、设动点在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1的对角线 BD1上，记D1 P
APC 为
．当
D1 B
锐角时，的取值范围是________．
三、解答题：本大题共 6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、（本小题满分10 分）
（Ⅰ）求函数y x31
的导数；sin x
a
a2x2dx．（Ⅱ）求
a
18、（本小题满分12 分）
用反证法证明：假如x 1
，那么x22x 1 0．2
19、（本小题满分12 分）
如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转
轴旋转 120 获得的，是 DF 的中点．
（Ⅰ）设是上的一点，且AP BE ，求CBP 的大小；
（Ⅱ）当 AB 3 ， AD 2 ，求二面角 E AG C 的大小．
19 题图
20、（本小题满分 12 分）
已知椭圆的两个极点分别为A( 2,0), B(2,0) ，焦点在轴上，离心率为 3 ．
2（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不一样的两点M,N，过
作 AM 的垂线交 BN 于点．求BDE 与 BDN 的面积之比．
20题图
21、（本小 分
12 分）
柱形金属 料罐容 必定 ，它的高
() 与半径 () 怎 ，才能使所用资料最省？
22、（本小 分
12 分）
已知函数 2 x 1
在 x = 2 的切 与直
垂直 ．
f ( x) a ln x
(a R ) 4 x y 0
．．
x
（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的 区 ；
（Ⅱ）若存在
x (1，
) ，使 f ( x)
m(x 1)
2
m 的最小 ．
(m Z ) 成立，求
x
2016— 2017 学年度放学期孝感市七校教课 盟
期末 合考 参照答案
高 二 数 学（理科）
一、
BCBB
DBAD CCDA
二、填空
a n
2
1
1 1
n 1 ( n N
*
0,
)
13、
14、
)
e
或（ 0， ] 15、 16
、 [0,
e
3
17．（本小 分 10 分）
（Ⅰ） y
3x 2
sin x x 3
cos x
cos x
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5 分
sin 2 x
a x 2 dx 表示 x
2
y
2
a 2
与 所 成的上半 的面 ，⋯⋯⋯⋯⋯
（Ⅱ）
a
2
7 分所以
a
a x 2
dx
a 2
a
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
a
2
18． （本小 分 12 分）
明：假 x 2
2x 1 0, x
1
2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2 分
简单看出
1
2 1
, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4 分
2
下边 明
1
2
1
5 分
. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
3
因 8
9, 所以 8
9,即2 2 3，进而 2
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯８分
2
形得
1 2
1
. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9 分
2
上得 x
1
, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
2
1
矛盾．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11 分 与条件 x
2
所以，假 不可立，即原命 成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
19．（本小 分 12 分）
解（Ⅰ）因 AP
BE ，AB BE ，
AB ， AP 平面 ABP ， AB
AP A ，
所以 BE 平面 ABP ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
又 BP 平面 ABP ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3 分
所以 BE
BP ，又 EBC 120 ，
所以 CBP 30 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4 分
（Ⅱ）以 坐 原点，分 以，得
A(0,0,3) E(2,0,0) ， G (1,
，所在的直 ， ， ，成立如 所示的空 直角坐 系
. 由 意
3,3) ， C ( 1, 3,0) ，故 AE
(2,0, 3) ， AG (1, 3,0) ，
CG
(2,0,3)
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6 分
m
(x 1, y 1 , z 1 ) 是平面
AEG 的一个法向量
.
由m AE0 2 x13z10,
可得
m AG0x1 3 y10,
取
z12，可得平面 AEG 的一个法向量m (3,3, 2) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分n( x2 , y2 , z2 ) 是平面ACG的一个法向量.
由n AG0x23y20,
可得
n CG02x23z20,
取 z2 2 ，可得平面ACG的一个法向量 n (3,3,2) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分所以 cos m,n m n 1 .
| m || n |2
所以所求的角60 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分明：其余解法酌情分．
20．（本小分12 分）
解（Ⅰ）焦点在上，a2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
e c3
∴ c 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分a2
∴ b2a2c21，∴x2
y21；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4
（Ⅱ） D x0 ,0 , M x0 , y0, N x0 , y0，
直 AM的方程是 y
y0
x 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分x02
DE AM ，k
DE x0
2
，直 DE 的方程是y x0 2 x x0，⋯⋯6分y0y0
直 BN的方程是 y
y0
x 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分x02
直 BN 与 DE 直立
y
x 0 2 x x 0
x 0 2 y 0
y 0
，
整
理
：
x 2， 即
y 0
y 0
x x 0
2 y
x 2
x 0
x 0 2
x 0
2
4 x
x 0
y 0 2 x 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
2
4 x 0 2
4x 2
即 x 0
4 x x 0
x 2 ，解得 x E
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9 分
4
5
代入求得 y E 4 1 x 02
4 10 分
5
4
y 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5
y N 5 又 S
△BDE y E 4
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11 分
y E
4 S △BDN
y N
5
BDE 和 BDN 面 的比 4:5.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
21．（本小 分 12 分）
解
柱的高 ，底半径 ， 表面
S 2 Rh 2 R 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
由 V
R 2 h, 得 h
V 2 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3 分
R
所以 S( R)
2 R
V 2 R 2 2V 2 R 2 , R 0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5 分
R 2
R
令 S(R)
2V 4 R 0, 解得
R 3
V 6 分
R 2
. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
当 R
0,3
V
，
S (R)
0;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7 分
2
当 R
3
V ，
S (R)
0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
,
2
所以 R
3
V 10 分
是函数 S( R) 的极小 点，也是最小 点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
此 ， h
V 23 V
2R. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11 分
R 2
2
答：当罐与底面直径相等，所用资料最省．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分
22．（本小分12 分）
解（Ⅰ）f( x)a1ax1由已知，f(2)2a11，解得： a =
x x2x244
1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴ f (x)x1 x2
当 x(0，1] ， f (x) ≤ 0 ，f( x) 是减函数当 x[1，) ， f( x) ≥ 0 ，f( x) 是增函数∴函数f ( x)的减区是(0 ， 1] ，增区是[1 ， +∞ ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
（Ⅱ）解：∵ x(1，)，∴
f ( x)m(x 1)
2
等价于 m x ln x2x1
x x1
即存在 x(1，)，使 m x ln x2x 1
成立，∴ m g (x)min⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
x1
x ln x 2 x1，x2ln x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
g ( x)x1( x1)g ( x)( x 1)2
h( x) x 2 ln x (x1) ，h ( x )1
∴0h( x) 在 (1， )上1
x
增⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分又h (3)< 0，h (4)> 0，∴h ( x)在(1，)上有独一零点，x0，x0 2ln x0，且
x
0( ，34)i g (n x )x0 ln x02 x1 0 x (x 2)0 2 x 0 1x 10
0 g( x) m0
1x01
x0
又 m x01，∴m的最小是 5．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分
部分目根源或出或明：
1：天津文数 2；
2：全国卷 1 文数 3；3：山
文数 5；
4：浙江理数 2；5：豫
南九校考；
6：全国卷 3 理数 5；
题 7：教师师用书第 58 页题 4 改编；题
8：课本第 55 页练习题改编；
题 9：课本第 19 页题改编；题
10：课本第 116 页题改编；题
11：全国卷2 文数题9；题13：
课本第 83 页题改编；题 15：天
津文数题 10；
题 14：课本第 31 页题 1；题
16：建系办理较为简单；题17：
课本第 18、60 页题；
题 18：教师用书第 87 页题 5；题
19：山东理数题 17；
题 20：北京文数题 19；题
21：课本第 37 页习题 .
11、由甲的说法可知乙、丙一人优异一人优异，则甲丁一人优异一人优异，乙看到丙的结果则知
道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，应选 D.
12、结构函数F ( x)x2 f ( x) ,则 F '( x)2xf ( x)x2 f '(x)x(2 f ( x) xf '(x)) ，
当 x0 时，F '( x)x30 ， F (x) 递加；当x0 时，F '( x) x30 ， F (x) 递减，所以
F ( x)x2 f ( x) 在x0 时取最小值，进而 F ( x)x2 f ( x) F (0)0 ，应选 A.
16、由题设可知，成立如下图的空间直角坐标系D﹣xyz ，则有A（1，0，0），B（1，1，0），
C（0， 1， 0）， D（ 0， 0， 1），由D1B =（1，1，﹣1），得D1P =（λ，λ，﹣λ），所以=（﹣
λ，﹣λ，λ） +（ 1，0，﹣ 1）=（ 1﹣λ，﹣λ，λ﹣ 1），PC =（﹣λ，﹣λ，λ ） +（ 0， 1，
﹣ 1） =（﹣λ， 1﹣λ，λ ﹣ 1），
所以∠ APC为锐角等价于cos ∠ APC＞ 0，则等价于PA PC ＞0，
即（ 1﹣λ）（﹣λ） +（﹣λ）（1﹣λ） +（λ ﹣ 1）2=（λ ﹣1）（ 3λ ﹣1）＞ 0，
∵ 0≤ λ＜ 1，∴， 0≤λ＜1
,所以，λ的取值范围是[0,
1
)，33
故答案为[0, 1 )．3。