圆锥曲线离心率(取值范围)的求法(教师版、学生版)

圆锥曲线离心率（取值范围）的求法（教师版）
知识储备： 离心率：a
c
e =；椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．
一、离心率的求法
方法一：直接求出a 、c ，求解e
已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式a
c
e =
来解决。

例1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）
A.
43 B. 32 C. 21 D. 4
1 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，
∴2=a ，1=c ，所以离心率2
1
==a c e .故选C.
变式练习1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）
A.
23 B. 26 C. 2
3 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，2
3
==a c e ，因此选C
方法二：构造a 、c 的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2：已知1F 、2F 是双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的两焦点，
以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则
双曲线的离心率是（ D ）
A. 324+
B.
13- C.
2
1
3+ D. 13+
变式练习1：设双曲线122
22=-b
y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线
L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 4
3
，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
3
2
解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得
c b a ab 4
3
2
2=
+，又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得()4222316c a c a =-，整理得01616324
=+-e e
，得42=e 或3
4
2=e ，又b a <<0 ，
∴21222
222
2
2
>+=+==a
b a b a a
c e ，∴42=e ，∴2=e ，故选A
变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，
021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）
A
3 B
26 C 36 D 3
3 解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则
2221b c MF MF +==，又c F F 221=，
在21MF F ∆中， 由余弦定理，得2
12
2
12221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=
∠,
即(
)(
)
(
)
2
22
22222421b
c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ， ∵2
2
2
a c
b -=，∴2122
22-=--a
c a ，∴2223c a =，∴232
=e ，∴26=e ，故选B 方法三：采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若2
1PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

解：121
21222222221-=+=+=+===
c
c c
PF PF c a c a c e
变式训练1：如图，1F 和2F 分别是双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的
两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左
支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ D ）
A
3
B
5 C
25
D 13+ 变式训练2：设1F 、2F 分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，
使0
2190=∠AF F ，且213AF AF =，则双曲线离心率为（ B ）
A 2
5
B
2
10 C
2
15 D
5
二、离心率的取值范围求法
唐生指点：求离心率的取值范围，事实上就是一个构造a ，c 的齐次不等式的问题，所以掌握基本的构造不等式的方式至关重要！
方法一：利用圆与圆锥曲线的位置关系构造不等式
例1：设椭圆 122
22=+b
y a x （0>>b a ）的左右焦点为F 1，F 2,若椭圆上存在点P ，使∠
F 1PF 2=90°，则椭圆的离心率e 的取值范围为 [22
,1) 。

方法二：利用焦半径的取值范围构造不等式
例2：已知双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的左右焦点分别为F 1，F 2,P 为双曲线右支
上一点，且|PF 1|=2|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为： （1,3] 。

方法三：利用题设中的已知条件构造不等式
例3:已知双曲线122
22=-b
y a x （0,1>>b a ）焦距为2c ，直线l 过()(),0,0,a b 点，且点（1,0）
到直线l 的距离与（-1,0）到直线l 的距离之和s ≥45
c
，则双曲线的离心率的取值范围为：
5,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

方法四：利用直线与圆锥曲线的位置关系构造不等式
例4：已知双曲线12222=-b
y a x （0,0>>b a ）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为0
60的
直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ C ）
A []2,1
B ()2,1
C [)+∞,2
D ()+∞,2
方法五：利用函数的值域造不等式
例5：设1a >，则双曲线22
221(1)
x y a a -=+离心率的取值范围 2,5⎡⎤⎣⎦ 。

巩固练习：
1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A ． 31
B ．33
C ．2
1
D ．23
2．已知双曲线12222=-b
y a x 的一条渐近线方程为x y 34
=，则双曲线的离心率为（ ）
A 35
B 34
C 45
D 23 3．双曲线22221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30
o
的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为___________。

4.设点P 在双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右支上，双曲线两焦点
，
，则双曲线离心率的取值范围为 。

5.已知椭圆的方程22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 1,F 2是椭圆左右两个焦点，P 是椭圆上的一点
若12PF PF =，则椭圆离心率的取值范围为 。

6.已知椭圆的方程22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 1,F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一点
若123
F PF π
∠=
，则椭圆离心率的取值范围为 。

7.已知F 1,F 2是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，P 是椭圆上的一点若满足
120MF MF ⋅=u u u r u u u u r
的点总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围为 。

8.已知斜率为2的直线l 经过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F ，并与双曲线的左
右支分别相交，则双曲线离心率e 的范围为 。

9.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 1,F 2是椭圆左右两个焦点，P 是椭圆的任一点
若122F PF π
∠≤
，则椭圆离心率的取值范围为 。

10.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 1,F 2是椭圆左右两个焦点，以F 1F 2 为边做正三角形，
若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆离心率为 。

11.椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>，斜率为1，且过椭圆右焦点F 直线交椭圆于A,B 两点，
OA OB +uu r uur 与(3,1)a =r
共线，则椭圆离心率为 。

12.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两焦点为F 1(-c,0),F 2(c,0),P 是直线2
:a l x c
=上的一点，
1F P 的垂直平分线恰过2F 点，则椭圆离心率的取值范围为 。

13.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线离心率
为 。

14.椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若存在过椭圆左焦点的直线L 交椭圆于P 、Q 两点，使得OP ⊥OQ ，则椭圆离心率的取值范围为 。

15.椭圆22221(0,0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45o
的直线与椭圆交
于A 、B 两点且F 分BA uu r 的比为2
3
，则椭圆的离心率为 。

圆锥曲线离心率（取值范围）的求法（学生版）
知识储备： 离心率： ；椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ．
一、离心率的求法
方法一：直接求出a 、c ，求解e
已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式a
c
e =
来解决。

例1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）
A.
43 B. 32 C. 21 D. 41 变式练习1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）
A.
23 B. 26 C. 2
3 D 2
方法二：构造a 、c 的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2：已知1F 、2F 是双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的两焦点，
以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则
双曲线的离心率是（ ）
A. 324+
B.
13- C.
2
1
3+ D. 13+
变式练习1：设双曲线122
22=-b
y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线
L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 4
3
，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
3
2
变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，
021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）
A
3 B
26 C 36 D 3
3
方法三：采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若2
1PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

变式训练1：如图，1F 和2F 分别是双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的
两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左
支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A
3
B
5 C
25
D 13+ 变式训练2：设1F 、2F 分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，
使0
2190=∠AF F ，且213AF AF =，则双曲线离心率为（ ）
A 2
5 B
2
10 C
2
15 D
5
二、离心率的取值范围求法
唐生指点：求离心率的取值范围，事实上就是一个构造a ，c 的齐次不等式的问题，所以掌握基本的构造不等式的方式至关重要！
方法一：利用圆与圆锥曲线的位置关系构造不等式
例1：设椭圆 122
22=+b
y a x （0>>b a ）的左右焦点为F 1，F 2,若椭圆上存在点P ，使∠
F 1PF 2=90°，则椭圆的离心率e 的取值范围为 。

方法二：利用焦半径的取值范围构造不等式
例2：已知双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的左右焦点分别为F 1，F 2,P 为双曲线右支
上一点，且|PF 1|=2|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为： 。

方法三：利用题设中的已知条件构造不等式
例3:已知双曲线122
22=-b
y a x （0,1>>b a ）焦距为2c ，直线l 过()(),0,0,a b 点，且点（1,0）
到直线l 的距离与（-1,0）到直线l 的距离之和s ≥45
c
，则双曲线的离心率的取值范围为：。

方法四：利用直线与圆锥曲线的位置关系构造不等式
例4：已知双曲线12222=-b
y a x （0,0>>b a ）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为0
60的
直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A []2,1
B ()2,1
C [)+∞,2
D ()+∞,2
方法五：利用函数的值域造不等式
例5：设1a >，则双曲线22
22
1(1)
x y a a -=+离心率的取值范围 。

巩固练习：
1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A ． 31
B ．33
C ．2
1
D ．23
2．已知双曲线12222=-b
y a x 的一条渐近线方程为x y 34
=，则双曲线的离心率为（ ）
A 35
B 34
C 45
D 23 3．双曲线22221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30
o
的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为___________。

5.设点P 在双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右支上，双曲线两焦点
，
，则双曲线离心率的取值范围为 。

5.已知椭圆的方程22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 1,F 2是椭圆左右两个焦点，P 是椭圆上的一点
若12PF PF =，则椭圆离心率的取值范围为 。

6.已知椭圆的方程22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 1,F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一点
若123
F PF π
∠=，则椭圆离心率的取值范围为 。

7.已知F 1,F 2是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，P 是椭圆上的一点若满足
120MF MF ⋅=u u u r u u u u r
的点总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围为 。

8.已知斜率为2的直线l 经过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F ，并与双曲线的左
右支分别相交，则双曲线离心率e 的范围为 。

9.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 1,F 2是椭圆左右两个焦点，P 是椭圆的任一点
若122
F PF π
∠≤，则椭圆离心率的取值范围为 。

10.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 1,F 2是椭圆左右两个焦点，以F 1F 2 为边做正三角形，
若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆离心率为 。

11.椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>，斜率为1，且过椭圆右焦点F 直线交椭圆于A,B 两点，
OA OB +uu r uur 与(3,1)a =r
共线，则椭圆离心率为 。

12.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两焦点为F 1(-c,0),F 2(c,0),P 是直线2
:a l x c
=上的一点，
1F P 的垂直平分线恰过2F 点，则椭圆离心率的取值范围为 。

13.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线离心率
为 。

14.椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若存在过椭圆左焦点的直线L 交椭圆于P 、Q 两点，使得OP ⊥OQ ，则椭圆离心率的取值范围为 。

15.椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45o 的直线与椭圆交
于A 、B 两点且F 分BA uu r 的比为2
3
，则椭圆的离心率为 。