【导学案524】解三角形的实际应用举例(二)
《解三角形的实际应用》 讲义
《解三角形的实际应用》讲义一、引言三角形是我们在数学学习中经常接触到的几何图形，而解三角形则是利用三角形的边长、角度等已知条件来求解未知量的过程。
在实际生活中，解三角形有着广泛的应用，从测量物体的高度、距离，到设计建筑结构、规划道路走向等等，都离不开解三角形的知识。
接下来，我们将详细探讨解三角形在实际生活中的具体应用。
二、解三角形的基础知识在探讨实际应用之前，让我们先来回顾一下解三角形的一些基础知识。
1、正弦定理在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，且等于外接圆的直径。
即：＄＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R$（其中$R$为三角形外接圆的半径）。
2、余弦定理对于任意三角形，有$a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A$，＄b^2 ＝ a^2＋ c^2 2ac\cos B$，＄c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C$。
3、三角形的面积公式＄S ＝＼frac{1}｛2}ab\sin C ＝＼frac{1}｛2}bc\sin A ＝＼frac{1}｛2}ac\sin B$这些定理和公式是我们解三角形的重要工具，在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的定理和公式来求解。
三、解三角形在测量中的应用1、测量物体的高度假设我们要测量一座塔的高度。
我们可以在塔外的平地上选择一个点，测量出该点到塔底的距离，以及在该点观测塔顶的仰角。
然后，利用正切函数$＼tan\theta ＝＼frac{h}｛d}＄（其中$＼theta$为仰角，＄h$为塔的高度，＄d$为点到塔底的距离），就可以求出塔的高度$h ＝ d\tan\theta$。
例如，在距离塔底$100$米的地方，观测塔顶的仰角为$60^｛＼circ}＄，则塔的高度为$100\tan 60^｛＼circ} ＝ 100\sqrt{3} ＼approx1732$米。
《解三角形的实际应用举例》 知识清单
《解三角形的实际应用举例》知识清单一、解三角形的基本概念解三角形是指通过已知三角形的某些元素（如边、角），求出其余元素的过程。
在实际应用中，我们通常会利用正弦定理、余弦定理以及三角形的内角和定理来解决问题。
正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R\）（＼（R\）为三角形外接圆的半径）。
余弦定理：对于任意三角形，有\（a^2 ＝b^2 ＋c^2 2bc\cos A\），＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cosC\）。
三角形内角和定理：三角形的内角和为\（180^｛＼circ}＼），即\（A ＋ B ＋ C ＝ 180^｛＼circ}＼）。
二、解三角形的实际应用类型1、测量距离问题（1）两点间不可到达的距离例如，要测量河两岸两点\（A\）、＼（B\）之间的距离，在河岸一侧选取一点\（C\），测出\（AC\）、＼（BC\）的长度以及\（＼angle ACB\）的大小。
利用余弦定理可以求出\（AB\）的长度。
假设\（AC ＝ m\），＼（BC ＝ n\），＼（＼angle ACB ＝＼theta\），则\（AB^2 ＝ m^2 ＋ n^2 2mn\cos\theta\），从而求出\（AB\）。
（2）两点间可到达但有障碍的距离比如，要测量两个山峰之间的距离，但是中间有山谷等障碍物阻隔。
可以在合适的地点选取观测点，测量出相关的边和角，然后通过解三角形计算出两点之间的距离。
2、测量高度问题（1）底部可到达的物体高度要测量底部可以到达的建筑物的高度，如塔高。
在塔底合适的位置测量出仰角，以及到塔底的距离，然后利用正切函数求出塔高。
假设在点\（C\）测得塔\（AB\）顶部\（A\）的仰角为\（＼alpha\），＼（BC\）的距离为\（d\），则塔高\（AB ＝ d\tan\alpha\）。
解三角形的实际应用举例第2课时课件
解三角形的实际应用举例第2课时
1．测量角度就是在三角形内利用_正__弦__定_理___和_余__弦__定__理__求角的正 弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角． 2．坡度与坡角：如图所示，把坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫作__坡__度___(或叫作__坡__比___)，用字母 i 表示，即 i＝hl ，坡 度一般写成 h∶l 的形式．坡面与水平面的夹角 α 叫作_坡__角___，坡 角与坡度之间有如下关系：i＝hl ＝tanα.
解三角形的实际应用举例第2课时
题型四、正、余弦定理在力学中的应用
例4、如图，在墙上有一个三角形支架OAB， 吊着一个重力为12N的灯，OA、OB都是轻杆，只 受沿杆方向的力，试求杆OA、OB所受力的大小．
解三角形的实际应用举例第2课时
解：O 点受三个力的作用，灯线的拉力 F，方向向下，灯杆 OA 的拉力 F1，方向与O→A同向，灯杆 OB 的支持力 F2 方向与B→O同 向，三力平衡，∴F＋F1＋F2＝O.
A处获悉后，立即测 出该渔轮在距A处北偏东45°方向、距离为 10n mile的C处，并测得渔轮正沿东偏南15°的方 向，以9 n mile/h的速度向小岛B靠拢，我海军舰
艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的 航向和靠近渔轮所需的时间．(注：cos21°47′＝ 0.9286)
解三角形的实际应用举例第2课时
题型二、角度与营救问题
例 2、如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3＋ 3) 海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救， 其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长 时间？
解三角形的实际应用举例
(1)坡角：坡向与水平方向的夹角，如图．
(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中， 视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线 下方的角叫俯角，如图．
(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所 成的角，如图中B点的方位角为α.
(4)方向角： 从指定方向线到目标方向线所成的小于 90° 的水平角，如南偏西 60° ，指以正南方向为始边，顺时 针方向向西旋转 60° .如图中∠ABC 为北偏东 60° 或为东 偏北 30° .
画图形
数学模型
解 三 角 形
实际问题的解
检验（答）
数学模型的解
例 3 如图是曲柄连杆机构的示意图 当曲柄 CB 绕点 C 旋转时，通过连杆 AB 的传递，活塞作直线往复运动。当曲 柄在 CB0 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点 A 在 A0 处。设连杆 AB 长为
lmm ，曲柄 CB 长为 rmm ， l r
（1）当曲柄自 CB0 按顺时针方向旋转角为 时，其中 00 3600 ，求活塞移动 的距离（即连杆的端点 A 移动的距离 A0 A ） ； （2）当 l 340mm ， r 85mm ， 800 时，求 A0 A 的长（结果精确到 1mm ）.
分析：如图所示，不难得到，活塞移动的距离为
B
B
800
A0 A A0C AC
A0
A
B0
80O C C
易知 A0C AB BC l r
A0
A
B0
所以，只要求出 AC 的长即可，在 ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可 以通过正弦定理或余弦定理求出 AC 的长.
解： （1）设 AC x ，若 0 ，则 A0 A 0 ，若 1800 ，则 A0 A 2rmm 若 0 180 ，在 ABC 中，由余弦定理，得：
解三角形的实际应用举例
C
(2) 已知两边和一边对角,
求其它元素。
A
B
C
• 余弦定理
c2 a2 b2 2abcosC
(1) 已知三边 , 求三个角;
A
B
C
(2) 已知两边和它们的夹角,
求其它元素。
A
B
C
例1、自动卸货汽车的车箱采用液压机构.设计时 需要计算油泵顶杆BC的长度（如图所示）.已知车 箱最大仰角为60油泵顶点B与车箱支点A之间的 距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为620， AC为1.40m,计算BC的长.
数学问题（画出图形）
检 验
数学结论
解三角形问题
谢谢
再见！
么 “ 来 两一 的 算 已度在形是 测 ， 部解世 记 圆 经及物的我解三 量 三 分三纪 载 内 取工理方国三角 ” 角 内角的，接得程学法古角学。学容形公正了《建中。代形？最才的问元六某周筑，很的三初被一题三边些髀等有早方角的看门是世 形 特算生 关就法学 理 作 数三纪 、 殊经产 向有在来 解 包 学角， 正 角》实 量测度自 是 括 分学十 的里际 的我量量希 解 三 学的二 正，中 计国方工腊 三 角 科基边 弦已， 算数面件角文 函 。本形有…有 也学的、形“ 数…问关的广要家知测的三和题于边泛用识刘量计角解之平长的到，徽距算形三一面时应解公在离，”角。测，用三元计和后和形什量就，角高
=3.571 ∴BC≈1.89(m)．
答：顶杆BC约长1.89m．
解斜三角形理论应用于实际问题应注意：
1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。
2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如 视角，仰角，俯角，方位角等等。
3、动手画出示意图，利用几何图形的性质， 将已知和未知集中到一个三角形中解决。
解三角形的实际应用举例
跟踪训练1 如图所示，设A、B两点在河 的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的 河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m， ∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A、B两点的距离为( )
A.50 2 m C.25 2 m
B.50 3 m 25 2
D. 2 m
解析 由题意知∠ABC＝30°，
由正弦定理sin∠ACABC＝sin∠ABACB，
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x
的值；
解 依题意知PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝1.5×20
＝30(km)，
因此PB＝(x－12) km，PC＝(18＋x) km，
在△PAB中，AB＝20 km，
PA2＋AB2－PB2 x2＋202－x－122 3x＋32
由sin∠BCCAB＝sAinCB得：
sin∠CAB＝BCAsCin B 3
＝at·sin3a1t20°＝ 23＝21.
∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°.
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∴∠DAC＝60°－30°＝30°. 所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进， 才能最快与乙船相遇.
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4.我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位 于地面点C和D处，已知CD＝6 km，∠ACD ＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处 时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)， 求我炮兵阵地到目标的距离. 解 在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°， ∠ACD＝45°，
3x＋32 PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x· 5x ＝3×17352＋32≈17.71(km). 答 静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.
《解三角形的实际应用》 讲义
《解三角形的实际应用》讲义在我们的日常生活和许多实际问题中，解三角形的知识有着广泛的应用。
通过利用三角形的边长、角度等关系，我们能够解决诸如测量距离、高度、角度等问题。
接下来，让我们一起深入探讨解三角形在实际中的具体应用。
一、测量距离测量不可直接到达的两点之间的距离是解三角形的常见应用之一。
例如，在河流的一侧，要测量河对岸两个点 A 和 B 之间的距离。
我们可以在这一侧选取一个点 C，然后测量出 AC 和 BC 的长度以及角ACB 的大小。
通过余弦定理：＼（AB^2 ＝ AC^2 ＋ BC^22AC×BC×cos∠ACB\），就可以计算出 AB 的长度。
再比如，在航海中，要测量两个岛屿之间的距离。
假设我们在一艘船上，能够观测到两个岛屿与船的夹角以及船到其中一个岛屿的距离，同样可以利用三角形的知识来计算出两岛屿之间的距离。
二、测量高度测量物体的高度也是解三角形经常发挥作用的领域。
比如，要测量一座山的高度。
在山脚下选择一个合适的观测点，测量观测点到山顶的仰角以及观测点与山底的水平距离。
利用正切函数\（tanα ＝＼frac{h}｛d}＼）（其中\（α\）为仰角，＼（h\）为山的高度，＼（d\）为水平距离），可以求出山的高度\（h ＝d×tanα\）。
又如，要测量建筑物的高度。
在离建筑物一定距离的地方，测量出仰角以及水平距离，就能通过解三角形计算出建筑物的高度。
三、计算角度在实际问题中，有时需要计算角度。
例如，在航空领域，飞机的航向与地面的夹角对于飞行安全至关重要。
已知飞机的飞行速度、水平位移和垂直位移，就可以通过三角函数求出这个夹角。
在地质勘探中，根据岩层的倾斜程度和测量的数据，也需要通过解三角形来计算出岩层的倾斜角度。
四、导航与定位在现代导航系统中，解三角形也起着重要的作用。
例如，GPS 定位系统通过接收多个卫星的信号，利用三角形的原理来确定用户的位置。
假设我们能接收到三颗卫星的信号，并且知道每颗卫星的位置以及信号到达我们的时间差，就可以构建出三个三角形。
《解三角形的实际应用举例》 知识清单
《解三角形的实际应用举例》知识清单一、解三角形的基本概念解三角形，就是求解三角形的边和角的关系。
在一个三角形中，我们通常知道一些边和角的信息，然后通过特定的定理和公式来求出其他未知的边和角。
三角形的内角和为 180°，这是一个基本的常识。
而解三角形中常用的定理有正弦定理和余弦定理。
正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，并且等于外接圆的直径。
即：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R\）（其中\（R\）为三角形外接圆的半径）。
余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即：＼（a^2 ＝ b^2 ＋c^2 2bc\cos A\），＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C\）。
二、解三角形的实际应用场景解三角形在我们的日常生活和实际工作中有着广泛的应用。
1、测量距离在无法直接测量两点之间的距离时，可以通过构建三角形，利用解三角形的知识来计算。
比如，要测量河对岸两点\（A\）、＼（B\）之间的距离，可以在河的这一侧选择一个点\（C\），然后测量\（AC\）和\（BC\）的长度以及\（＼angle ACB\）的大小，就可以通过解三角形求出\（AB\）的长度。
2、测量高度要测量建筑物、山峰等的高度，如果在地面上能测量出到其底部的距离以及观测顶部的仰角，就可以构建三角形来求解高度。
例如，在距离建筑物底部\（D\）米处，测量出仰角为\（＼alpha\），则建筑物的高度\（h ＝ D\tan\alpha\）。
3、航海问题在航海中，确定船只的位置、航向和航行距离等都需要用到解三角形的知识。
比如，已知船只的航向和航行时间，以及观测到两个灯塔的角度，就可以确定船只的位置。
4、工程测量在道路、桥梁等工程建设中，需要精确测量角度和距离，解三角形可以帮助工程师进行设计和施工。
【导学案524】解三角形的实际应用举例(二)1
【导学案524】解三角形的实际应用举例（二）班级姓名编写人：王松涛审核人：【学习目标】1.熟悉运用正、余弦定理解决一些与三角形有关的实际问题；2. 在具体实例中理解方向角和方位角的区别；3、体会解三角形实际应用的解题步骤；【学习重点】由实际问题抽象出解三角形模型并利用解三角形知识解决问题【学习难点】由实际问题题意画出示意图，建立解三角形问题模型。
【学习过程】一、预习自学（阅读书第59页62页内容，思考回答下列问题）1、试用流程图表示出解三角形实际应用问题的解题步骤2. 阅读书例3和例4体会解三角形实际应用问题的解题步骤二、合作探究，典型突破【探究1】某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+=(14x) = 9+ (10x) -2910xcos化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,又因为sinBAC ===BAC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去），38+=83答：巡逻艇应沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.【探究2】（课本61页练习第2题）某观察站B在城A的南偏西20的方向上，由A出发的一条公路的走向是M站的南偏东40。
在B处测得公路上距B 31千米的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时B、D间为21千米，这个人还要走多少路才能到达A城？答案：15千米【探究3】地平面上有一旗杆设为OP，已知地平面上的一基线AB，AB＝200 m，在A处测得P点的仰角为∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角为∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高h.【探究4】某船在海面A处测得灯塔C与A相距海里，且在北偏东方向；测得灯塔B与A相距海里，且在北偏西方向. 船由向正北方向航行到D 处，测得灯塔B在南偏西方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？三、达标检测1.有一长为1km的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则坡底要加长( )A.0.5 km B.1 km C.1.5 km D. km2、 如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，设山对于地平面的斜度，则cos= .[解析] 在△ABC中，AB = 100m , CAB = 15, ACB = 4515 = 30由正弦定理：∴BC = 200sin15在△DBC中，CD = 50m , CBD = 45, CDB = 90 +由正弦定理：cos =.3.甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？ABDC解:此时,甲、乙两船相距最近4、在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高.5、甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10(＋1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.6、如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40 min后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C点，求P、C间的距离．北7、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ADC=，求AB的长．60021DCBAADB。
探究式导学案2：1.2.2 解三角形应用举例（二）
1.2.2 解三角形应用举例之（Ⅱ）测量高度、角度的问题【学习目标】1. 能够运用正、余弦定理等知识和方法解决简单的底不部可到达的物体高度测量的问题；2. 能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量角度的实际问题.【重、难点】重点：通过实际问题建立解三角形的数学模型，并根据计算结果解决实际问题；难点：建立数学模型，并能从复杂的图形中找到解决问题的关键条件.【知识链接】1．温故知新在“解三角形应用举例之（Ⅰ）距离测量问题”中，是如何测量水平面上“一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离”的？请画出示意图.答：选择基线，构造三角形，如图.2. 必知概念俯角与仰角——在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图所示．【典例突破】典例突破（一）. 从底部通过仰角测量高度的问题问题1. 类比水平面上一个可到达点到一个不可到达点的距离的测量方法，设计一种方法，测量地面上可到达的一点C到建筑物顶端A的距离，如图.答：如图，选择一条水平基线CD，使B、C、D三点在同一条直线上．由在C、D两点用测角仪器测得A的仰角分别是α、β、CD＝a，则在△ACD中，根据正弦定理可得AC=asinβ.sin(α−β)例3. 如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，结合探究1，设计一种测量建筑物高度AB的方法.答：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是β、α，CD＝a，测角仪器的高是h，如图.，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得AC=asinβsin(α−β)AB=AE+ℎ=asinαsinβ+ℎ.sin(α−β)变式3：如图，勘探队员朝一座山行进，在前后两处观察山顶的仰角分别是30°和45°，两个观察点之间的距离是200m，则此山的高为_______________.【答案】100(√3+1)m典例突破（二）. 从顶部通过俯角测量高度的问题例4. 如下图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α=54°40‘，在塔底C 处测得A 处的俯角为β=50°1‘. 已知铁塔BC 部分的高为27.3m. （1）求点A 到点B 的距离；（2）求出山高CD .【解析】（1）在∆ABC 中，∠BCA =90°+β，∠ABC =90°−α，∠BAC =α−β， ∠BAD =α.根据正弦定理，BC sin(α−β)=ABsin(90°+β)∴ AB =BCsin(90°+β)sin(α−β)=BCcosβsin(α−β) .（2）在Rt∆ABC 中，得BD =ABsin ∠BAD =BCcosβsinαsin(α−β).把测量数据代入上式，得BD =27.3cos50°1′sin54°40′sin4°39′≈177.4(m)CD =BD −BC ≈177.4−27.3≈150(m)∴ 山的高度约为150米．【解题反思】把本例中的图形按逆时针方向旋转90°后，对比例三，你有什么发现吗？答：把本例中的图形按逆时针方向旋转90°，则与例3没有本质的区别，不同的只是各求直角三角形的一条直角边.变式4．要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10000米，速度为900 km/h，航测员先测得对山顶的俯角为30°，经过40 s(已飞过M点)后又测得对山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度．(精确到m)(可能要用到的数据：√2=1.414，√3=1.732，√6=2.450)【解析】900 km/h＝250 m/s，AB＝250×40＝10 000(m)，在∆ABM中，由正弦定理得BMsin30°=ABsin105°，BM=ABsin30°sin105°作MD⊥AB于D，则MD=BMsin45°=ABsin30°sin105°×sin45°=10000×1 2√6+√24√22=5000(√3−1)≈3660(m).∴M的海拔高度为10 000－3 660＝6 340(m)．题型三. 从侧面通过方向角测量高度的问题例5. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°.（1）将本例中的实际问题转化为解三角形问题时，得到的图形是平面的，还是空间的？（2）求出BC的长度；（3）求此山的高度CD.【解析】（1）将例5中的问题抽象为解三角形问题时，得到的不是平面图形，是空间图形（三棱锥）. 如下图所示.≈7.4524.（2）在∆ABC中，由正弦定理易得BC=BCsinAsinC（3）在Rt∆BCD中，由勾股定理易得CD=BC∙tan∠DBC≈1047.4【解题反思】当题设条件中既有俯角（或仰角），又有方向角时，得到的图形还是平面的吗？答：不是，是空间图形，所以这时往往要在不同面内的三角形中求不同的边.变式5. 江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()A．103m B．1003m C．2030m D．30m【答案】D【解析】由题意画出示意图，设炮塔顶A、底D，两船B、C，则∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30∴DB＝30，DC＝303，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝900，∴BC＝30.【解题反思】通过例3、例4和例5，思考测量高度问题的一般思路是什么？答：测量高度问题的解题思路是将所求的高放在直角三角形中，即根据所给的边与角的关系，求出与所求的高相关的直角三角形的一条边（多为斜边）的长，最后再用勾股定理求解．题型三. 测量角度的问题例6. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.（1）计算A、C两点间的直线距离？（2）求出∠CAB的大小；（3）若海轮直接从海港A出发，直线航行到海岛C，如何确定海轮的航行方向？【解析】（1）在∆ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，AC=√AB2+BC2−2AB×BC×cos∠ABC=√67.52+54.02−2×67.5×54.0×cos137°≈113.15（2）在∆ABC中，根据正弦定理，BCsin∠CAB =ACsin∠ABC即sin∠CAB=BCsin∠ABCAC =54.0sin137°113.15≈0.3255，∴∠CAB＝19.0°（3）75°－∠CAB＝56.0°.∴此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.变式6．我舰在敌岛A南偏西50° 相距12海里的B处，发现敌舰正由该岛沿北偏西10° 的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度和沿什么方向航行，才能用2个小时追上敌舰？（提示：sin38°=5√314）【解析】如图，在△ABC中由余弦定理得BC2=AC2+AB2−2AB∙ACcos∠BAC=784∴BC=28∴我舰的追击速度为14海里/小时.又在△ABC中由正弦定理得sinB=ACsinABC =5√314∴B=38°∴我舰航行的方向为北偏东50°−38°=12°【解题反思】航海问题往往涉及较多的方位角，如何有效解决这类问题？答：首先确定一个位置，然后利用方位角正确地画出图形，并把方位角准确地转化为三角形的内角，把距离转化为三角形的边长，最后判断题型，采取相应的方法．。
高中数学 解三角形应用举例(二)导学案 新人教版必修5
1.2、解三角形的应用举例（二）【课前导学】12，c 2＝_______________。
3、余弦定理推论：cos A ＝____________，cos B ＝_____________，cos C ＝_____________。
4、基线：根据测量的需要适当确定的线段叫做基线。
一般说来，基线越长，测量的精确度越高。
5、仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线的夹角。
目标视线在水平线上方时，叫________；目标视线在水平线下方时，叫___________。
【预习自测】1、在地面A 处测得树梢的仰角为60︒，A 与树底部B 相距为5cm2、在楼顶测得距楼底水平距离为3m 处的一物体的俯角为60︒，则楼高为 。
【课内探究】例1、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。
例2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=60︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=30︒。
已知铁塔BC 部分的高为30 m,求出山高CD(精确到1 m)【反馈检测】1、如下图，在山脚A 处测得山顶B 的仰角045CAB ∠=，沿倾斜角为030的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶仰角075DSB ∠=。
则山高BC=（ ）米A 、500B 、1000C 、1200D 、15002、为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？3、在地面C 处观察同一铅垂面内迎面飞来的一架飞机，当飞机在A 处时测得其仰角为30︒，过1min 后，飞机到达B 处，又测得飞机的仰角为75︒，如果该飞机以480km/h 的速度沿水平方向飞行，试求飞机的高度。
4、在测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 、D ，测得AB A C S CD BDC BCD ，求塔高的仰角为测量塔顶并在点θβα,,,==∠=∠.。
解三角形的实际应用举例
第二章 解三角形
(2)由正弦定理得 AC＝sin[180°20－sin（（3405°°＋＋4650°°＋）60°）] ＝20ssiinn4150°5°＝20sisnin4575°° ＝10(1＋ 3)(米)， BC＝sin[180°－（206s0i°n 4＋5°30°＋45°）] ＝20sisnin4455°°＝20(米)．
栏目 导引
第二章 解三角形
测量高度问题 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在 西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处， 测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的 高度 CD＝________m.
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第二章 解三角形
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第二章 解三角形
若 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的( )
A．东偏北 46°
B．东偏北 44°
C．南偏西 44°
D．西偏南 44°
解析：选 C.如图，因为 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的南 偏西 44°.
栏目 导引
第二章 解三角形
A，B 两点间有一小山，选定能直接到达点 A，B 的点 C， 测得 AC＝60 m，BC＝160 m，∠ACB＝60°，则 A，B 两点间 的距离为________m. 解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos 60° ＝602＋1602－2×60×160cos 60°＝196 00， 所以 AB＝140 m，即 A、B 两点间的距离为 140 m. 答案：140
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第二章 解三角形
1.(1)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶
高三数学 《解三角形应用举例》导学案
高三数学 SX-3-009《解三角形应用举例》导学案姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1﹑解决测量距离的问题.2﹑解决测量高度的问题.【重点难点】重点:熟练掌握正弦定理，余弦定理及三角形面积公式.难点:公式在应用举例中的灵活应用.【知识链接】1﹑在解答实际问题过程必须掌握的几个概念：（1）坡度：斜面与地平面所成角，如右图中的角θ。
(2)仰角和俯角:在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。
(3)方位角【学习过程】请阅读课本第11页至第12页的内容，尝试回答以下问题知识点1:测量距离问题例1：如图所示，已知在四边形ABCD 中，,,,14,10,13560︒︒=∠=∠==⊥BCD BDA AB AD CD AD 求BC 的长。
分析：要求BC 长，因为在中，可根据正弦定理先求出BD 的长。
思考1:在三角形ABD 中，60,14,10︒=∠==BDA AB AD 请尝试求出BD 的长。
思考2:请根据思考1中BD 的长与其它已知条件求出BC 的长。
本题小结：将需求解的距离长问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理，余弦定理等有关知识正确求解。
例2：某观测站C 在目标A 的南偏西25度方向，从A 出发有一条南偏东35度走向的公路，在C 处测得与C 相距31千米的公路上的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 为21千米，求此人在D 处距A 还有多少千米？分析：要求D 处距A 有多少千米即为求AD 的长在三角形ACD 中，21,60==∠︒CD CAD 要求AD 长，需求出sin ACD ∠。
易发现，ACD ∠=CDB ∠-60︒可转求sin(CDB ∠-60︒)，又因三角形CBD 中三边已知易得所求。
思考1:在三角形CBD 中三边已知，请求出cos CDB ∠。
思考2:由cos CDB ∠值如何求出sin CDB ∠值，请尝试完成。
学案：解三角形的实际应用举例
解三角形的实际应用举例 日期：学习目标：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养个人分析问题和解决问题的能力． 重点难点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决有关的实际问题； 学习过程：一、自学课本，解决课后练习（请将自己的的问题和解答记录在下面）；二、交流探究：1、对测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角.（2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了（4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2、应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案.3、请用框图表示解实际问题的一般过程；三、学以致用：1、如图，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=，60BDC ∠=，47ACD ∠=，72BCD ∠=，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.引申：如果A ，B 两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量A ，B 两点间距离的方法2、如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）.3、如图，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3π的C 处，12时20 分测得轮船在海岛北偏西3π的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.四、概括升华：五、温故知新：习题2-31、解：在ADC ∆中，85ADC ∠=，47ACD ∠=，则48DAC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC m DAC ∠==≈∠. 在BDC ∆中，60BDC ∠=，72BCD ∠=，则48DBC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC m DBC ∠==≈∠. 在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB=+-⋅∠()22134.05116.542134.05116.54cos 7247=+-⨯⨯-3233.95≈，所以 ()57AB m ≈答,A B 两点之间的距离约为57m . 本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .2、解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=.由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即()()222211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠.化简，得 2369100x x --=， 解得()()240min 3x h ==（负值舍去）. 由正弦定理，得sin 9sin1203sin 21BC ACB x BAC AB x ∠∠===， 所以21.8BAC ∠≈，方位角为4521.866.8+=.答 舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠.3、解：设ABE θ∠=，船的速度为/km h υ，则43BC υ=，13BE υ=. 在ABE ∆中，153sin sin 30υθ=，15sin 2θυ∴=. 在ABC ∆中，()43sin120sin 180AC υθ=-，4415sin 22AC υθυ⋅⋅∴===在ACE ∆中，2252525cos1503υ⎛⎫=+-⨯⨯⋅ ⎪⎝⎭， 2254007752510093υ=++=，293υ∴=， ∴船的速度/h υ=.。
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【导学案524】解三角形的实际应用举例（二）
班级姓名编写人：王松涛审核人：
【学习目标】1.熟悉运用正、余弦定理解决一些与三角形有关的实际问题；
2.在具体实例中理解方向角和方位角的区别；
3、体会解三角形实际应用的解题步骤；
【学习重点】由实际问题抽象出解三角形模型并利用解三角形知识解决问题【学习难点】由实际问题题意画出示意图，建立解三角形问题模型。
【学习过程】一、预习自学（阅读书第59页62页内容，思考回答下列问题）1、试用流程图表示出解三角形实际应用问题的解题步骤
2. 阅读书例3和例4体会解三角形实际应用问题的解题步骤
二、合作探究，典型突破
【探究1】某巡逻艇在A处发现北偏东45︒相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需
要多少时间才追赶上该走私船？
【探究2】（课本61页练习第2题）
【探究3】地平面上有一旗杆设为OP，已知地平
面上的一基线AB，AB＝200 m，在A处测得P点的
仰角为∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角为∠
OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高h.
米
【探究4】某船在海面A处测得灯塔C与A
相距且在北偏东30︒
方向；测得灯塔B与A
相距75︒方向. 船由A向正
北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西60︒方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？
三、达标检测
1.有一长为1km的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则坡底
要加长()A.0.5 km B.1 km C.1.5 km D.
3
2km
2、如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45︒，假设建筑物高50m，设山对于地平面的斜度θ，则cosθ= .
3.甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20
海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？
B。