一次函数分节练习

一次函数
考点1.函数的概念，性质：
例1. 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ （1）3x y -
=； （2）x
y 8-=； （3）)81(82
x x x y -+=； （4）x y 81+=. 例2.已知3-y 与x 成正比例函数，且x=2时，y=7． (1)求y 与x 之间的函数关系式． (2)求当x=2时y 的值． (3)求当y=-3时x 的值．
例3. 已知1
22
)2(-++-=m m x m m y ，当m 是什么数值时，为正比例函数？
练习: 1.已知函数1
22)1(---=m m x m y ，m 为何值时，函数是正比例函数？
2. m 为何值时，22813
(2)m m y m m x ++=+是正比例函数？并求出这个正比例函
数的解析式．
3. 已知y 与3x 成正比例，且当8x =时，12y =-.⑴求y 与x 的函数解析式；
⑵求当3x =y 的值⑶求当2
3
y =
时，x 的值 4. y 与x 成正比例，x 与z 也成正比例，求证y 与z 成正比例. 考点2.求解析式：
例4. 已知m y +与n x -成正比例（其中m ，n 是常数） （1）求证：y 是x 的一次函数；
（2）如果1-=x 时，15-=y ，7=x 时，1=y ，求这个一次函数的解析式. 例5. 已知一次函数b kx y +=的图像经过)2,3(--A ，)6,1(B 两点。

（1）求此一次函数的解析式；
（2）求此函数图像与坐标轴围成的三角形面积。

练习：1.已知一次函数b kx y +=的图象经过点A （-2，-3）及点B （1，6）. （1）求此一次函数的解析式. （2）判断点C(3
1
-
,2)与点D(2,-5)是否在函数的图象上. 2.已知反比例函数)0(≠=
k x
k
y 和一次函数6--=x y . （1）若一函数和反比例函数的图象交于点),3(m -，求m 和k 的值.
（2）当k 满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？
（3）当2-=k 时，设（2）中的两个函数图象的交点分别为A 、B ，试判断A 、
B 两点分别在第几象限？∠AOB 是锐角还是钝角（ 考点3. 求函数关系式:
例 6. 如图所示，在ABC ∆中，B ∠与C ∠的平分线交于点P ，设x A =∠，
y BPC =∠，当A ∠变化时，求y 与x 之间的函数关系式，并判断y 是不是
x 的一次函数，并指出自变量的取值范围.
例7.如图所示，公路上有A，B，C三站，一辆汽车在上午8时从离A站10千米的P地出发向C站匀速前进，15分钟后离A站20千米。

（1）设出发x小时后，汽车离A站y千米，写出y与x之间的函数关系式；
（2）当汽车行驶到离A站150千米的B站时，接到通知要在中午12点前赶到离B站30千米的C站。

汽车若按原速能否按到达？若能，是几点几分到达？若不能，车速最少应提到多少？
练习:拖拉机开始工作时，油箱中有油36公斤，如果每小时耗油3公斤，那么，油箱中的余油量y公斤与它工作的时间t小时之间的函数关系式是什么？
它是什么函数？自变量的取值范围是什么？
考点4. 一次函数与二元一次方程（组）
例8.在直角坐标系中有两条直线：L1：y=3
5
x+
9
5
和L2：y=-
3
2
x+6，它们的交
点为P，•第一条直线L与x轴交于点A，第二条直线L与x轴交于点B．（1）
A、B两点的坐标；（2）用图象法解方程组：
359
3212
x y
x y
-=-
⎧
⎨
+=
⎩
；（3）求△PAB的
面积. 练习:1.如果直线y=3x+6与y=2x-4交点坐标为（a，b），则
x a
y b
=
⎧
⎨
=
⎩
是方程组_____
的解（ •）
A．
36
24
y x
y x
-=
⎧
⎨
+=-
⎩
B．
36
24
y x
y x
-=
⎧
⎨
-=
⎩
C．
36
34
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
D．
36
24
X Y
X Y
-=-
⎧
⎨
-=-
⎩
2.直线AB∥x轴，且A点坐标为（1，-2），则直线AB上任意一点的纵坐标都
是-•2，此时我们称直线AB为y=-2，那么直线y=3与直线x=2的交点是（） A．（3，2） B．（2，3） C．（-2，-3） D．（-3，-2）
3.解方程组
15
7
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
解为________，则直线y=-x+15和y=x-7的交点坐标是
________．•
4．已知函数y=mx-（4m-3）的图象过原点，则m应取值为__________．
5．直线y=2x-1与y=x+4的交点是（5，9），则当x_______时，直线y=2x-1•上的点在直线y=x+4上相应点的上方；当x_______时，直线y=2x-1上的点在直线y=x+4上相应点的下方．
6．在同一坐标系中画出一次函数y1=-2x+1与y2=2x-3的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）直线y1=-x+1、y2=2x-2与y轴分别交于点A、B，请写出A、B两点的坐标．（2）写出直线y1=-2x+1与y2=2x-3的交点P的坐标．（3）求△PAB的面积．
7．有两条直线y=ax+b和y=cx+5，学生甲求得它们的交点坐标为（3，-2），学生乙因抄错c而解得它们的交点为（4，5），求这两条直线的解析式．
考点5.一次函数与一元一次不等式:
例9．已知函数y1=kx-2和y2=-3x+b相交于点A（2，-1）
（1）求k、b的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象．
（2）利用图象求出：当x取何值时有：①y1<y2；②y1≥y2
（3）利用图象求出：当x取何值时有：①y1<0且y2<0；②y1>0且y2<0
例10.某单位需要用车，•准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订
合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y元，付给出租车公
司的月租费是y元，y，y分别与x之间的函数关系图象是如图11-3-4所示的
两条直线，•观察图象，回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，•那么这个单位租哪家
的车合算？
练习:
1.直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（）
A．x>1 B．x≥1 C．x<1 D．x≤1
2．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0•的
解集是（）
A．x>-2 B．x≥-2 C．x<-2 D．x≤-2
3．已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x轴
的交点是（）
A．（0，1） B．（-1，0） C．（0，-1） D．（1，0）
4．当自变量x的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x轴下方．
5．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2•的解集
是________．
6．直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9>12•的解集是
________．
7．已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x•
轴的交点是__________．
8．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3•的交点坐标
是_________．
9.根据图象回答下列问题：
（1）写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点P的坐标．
（2）直接写出：当x取何值时y1>y2；y1<y2.
考点6.一次函数的综合应用：
例11.（1）如下图所示，一辆客车从甲站驶往乙站，中途休息了一段时间．如
果用横轴表示时间t，纵轴表示客车行驶的路程s，那么下列四个图中较好
地反映了s与t之间的函数关系的是 ( )
（2）直线y＝mx+n的图像如图，化简：n
m-2
m
例12.如图，直线4
3
4
+
-
=
x
y与y轴交于点A，与直线
y＝
5
4
x+
5
4
交于点B，且直线y＝
5
4
x+
5
4
与x轴交于点C，
求△ABC的面积. B
A
C
Y=mx+n
例13.某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元的月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟付话费0.6元。

若一个月内通话时间为x分钟，甲、乙两
种的费用分别为y
1、y
2
元。

(1) 试分别写出y
1、y
2
与x之间的关系式；
(2)在同一坐标系中画出y
1、y
2
的图像；
(3)在一个月时间内，选择哪种通信业务更优惠？
练习：1.一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而减小，且kb＜0，则这个一次函数的图像一定经过那些象限？
2.已知一次函数y＝kx+b(k≠0)的图像经过点(0,1),且y随x的增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数关系式。

3.在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)的关系如图，请根据图像回答问题：
(1)甲、乙两个蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到烧尽所用的时间分别是；
(2)分别求出甲、乙两个蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；
(3)当x为何值时，甲、乙两个蜡烛在燃烧过程中高度相等。

4.甲、乙两工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图，根据图像所提供的信息解答下列问题：
(1) 乙队开挖到30m时，用了h，开挖6h时，甲队比乙队多挖了m；
(2)甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的关系式；
(3)乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的关系式；
(4)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
5.在正常情况下，年龄为15岁和45岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数分别为164次/分和144次/分，设某人所能承受的每分钟心跳的最高次数S(次/分)是这个年龄n(岁)的一次函数。

(1)根据信息，求在正常情况下，S与n之间的关系式。

(2)若一位63岁的老人在跑步，医生在途中给他测得10分钟心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？
6.狼山山青水秀，气候宜人，在山上人们发现一种蟋蟀，它15秒钟叫的次数与当地温度之间有近似一次函数关系。

下面是蟋蟀所叫的次数与温度之间的关系：
（1）根据表中数据确定：用含x的代数表示y；
（2）在该地最热的夏天，人们测得这种蟋蟀15秒中叫了50次，那么该地的最高温度大约为多少度？
7.某公司要印制新产品宣传材料。

甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费。

(1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式；
(2)印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？这家公司拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？8.如图所示，L1，L2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用=灯的售
价+电费，单位：元）与照明时间x（h）的函数关系图像，假设两种灯的使用寿命都是2000h，照明效果一样．
（1）根据图像分别求出L1，L2的函数关系式．
（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？
（3）小亮房间计划照明2500h，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法．
9.某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，•汽车货运公司和铁路货运公司
均开办了海产品运输业务．已知运输路程为120千米，•汽车和火车的速度分别为60千米/时和100千米/时．两货物公司的收费项目和收费标准如下
运输工具运输费单价
（元/吨·千米）
冷藏费单价
（元/吨·小时）
过路费
（元）
装卸及管理费
（元）
汽车 2 5 200 0
火车 1.8 5 0 1600 注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/•吨小时”表示每吨货物每小时的冷藏费．
（1）设该批发商待运的海产品有x（吨），•汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2（元），试求出y1和y2和与x的函数关系式；
（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，•他应该选择哪个货运公司承担运输业务？
蟋蟀15秒所叫的次数x …. 10 19 28 …. 温度y(°C) …. 10 15 20 ….
10.如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=-2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0<x<3），过点P作直线m与x轴垂直．
（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y1>y2？
（2）设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s，
求出s与x之间函数关系式．
（3）当x为何值时，直线m平分△COB的面积？
11.某苹果生产基地组织20辆汽车装运A，B，C三种苹果42吨到外地销售．按
苹果品种 A B C
每辆汽车的装载重量(吨) 2.2 2.1 2
每吨苹果获利(百元) 6 8 5
(1)设用x辆车装运A种苹果，用y辆车装运B种苹果，不运C种苹果．根据
上表提供的信息，求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)设此次外销活动的利润为W(百元)，求W与x之间的函数关系式及最大利
润，并制定相应的车辆分配方案.
12.在全国顶防某种传染病时期，某厂接受了生产一批高质量医用口罩的任
务。

要求在8天之内（含8天）生产A型和B型两种型号的口罩共5万只，其中A型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产A型口罩每天能生产0.6万只，若生产B型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只A 型口罩可获利0.5 元，生产一只B型口罩可获利0.3元。

设该厂在这次任务中主产了A型口罩x万只．
(l)该厂生产A型口罩可获利润_______万元，生产B型口罩可获利润______万元；
(2)设该厂这次生产口罩的总利润是y万元，试写出y关于x的函数关系式，
并求出自变量x的取值范围．
(3)如果你是该厂厂长：①在完成任务的前提下，你如何安排生产A型和B
型口罩的只数，使获得的总利润最大？最大利润是多少？②若要在最短时间内完成任务，你又如何来安排生产A型和B型口翠的只数？最短时间是多少？13．某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书金额y(元)与租书时间x(天)之间的关系如下图所示。

(1)分别写出用租书卡和会员卡租书金额y(元)与租书时间x(天)之间的关系式。

(2)两种租书方式每天的收费是多少元?(x＜100)
14.红太阳大酒店客房部有三人间、双人间和单人间客房，收费数据如下表(例
如三人间普通间客房每人每天收费50元)。

为吸引客源，在五一黄金周期间进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠。

一个50人的旅游团在五月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间普通客房，并且每个客房正好住满，一天一共花去住宿费1510元。

普通间(元／人／天) 豪华间(元／人／天) 贵宾间(元／人／天) 三人间50 10O 500
双人间70 150 800
单人间100 200 1500
①三人间、双人间普通客房各住了多少间?
②设三人间共住了x人，则双人间住了_______人，一天一共花去住宿费用y 元表示，写出y与x的函数关系式；
③在直角坐标系内画出这个函数图象；
④如果你作为旅游团团长，你认为上面
这种住宿方式是不是费用最少?为什么?。