2020年江苏省连云港市中考数学一模试卷 (含解析)

2020年江苏省连云港市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.−6的绝对值等于()
A. −6
B. 6
C. −1
6D. 1
6
2.(a4)2的计算结果为()
A. 2a6
B. a6
C. a8
D. a16
3.一元二次方程x2−2x=0根的判别式的值为()
A. 4
B. 2
C. 0
D. −4
4.如图是一个三棱柱，则它的主视图是()
A.
B.
C.
D.
5.在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分折得出这个结论所用的统计
量是()
A. 中位数
B. 众数
C. 平均数
D. 方差
6.如图，△ABC≌△ADC，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是()
A. 120°
B. 125°
C. 127°
D. 104°
7.将二次函数y=−2(x−2)2−3的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后顶点坐标为
()
A. (4,−1)
B. (−4,−1)
C. (0,−1)
D. (0,1)
8.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C在x轴上，函数y=
k
(k>0,x>0)的图象经过点A(2,6)，且与边BC交于点D.若点D
x
是边BC的中点，则OC的长为()
A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 3.5
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.二次根式√1−x中字母x的取值范围是________．
10.因式分解：2a2−8=____．
11.截止今年4月2日，华为官方应用市场“学习强国”APP下载量约为88300000次．将数88300000
科学记数法表示为______．
12.若m为整数，且√5<m<√10，则m=______．
13.已知菱形的边长等于2cm，菱形的一条对角线也是2cm，则另一条对角线长是______ cm．
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=2√2，点O为
AB的中点，以点O为圆心作半圆与边AC相切于点D.则图中阴影
部分的面积为______．
15.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由边长为4√2的正方形ABCD可以制
作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”
造型(其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A(8,0)，与y 轴分
别交于点B(0,4)和点C(0,16)，则圆心M 的坐标为______．
三、计算题（本大题共4小题，共30.0分）
17. 解分式方程： ①40x−3=64x ；
②2x x−1+2=−2
1−x ．
18. 解不等式组{2−3x ≤−4x−12
<x
3+1
19.某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，
其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，试根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)把一班竞赛成绩统计图补充完整；
(2)根据下表填空：a=______，b=______，c=______；
平均数(分)中位数(分)众数(分)一班a b90
二班87.680c
(3)请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析．
20.如图所示，为求出河对岸两棵树A.B间的距离，小坤在河岸上选取
一点C，然后沿垂直于AC的直线的前进了12米到达D，测得∠CDB=
90°.取CD的中点E，测∠AEC=56°，∠BED=67°，求河对岸两树
间的距离(提示：过点A 作AF ⊥BD 于点F)
(参考数据sin56°≈45，tan56°≈32，sin67°≈1415，tan67°≈73)
四、解答题（本大题共6小题，共58.0分）
21. 计算：−22+(1−√2)0−√12+|−√3|
22. 小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的2支红
笔和1支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔(不放回)，若两人所取笔的颜色相同，则小明胜，否则，小军胜．
(1)请用树形图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果；
(2)请计算小明获胜的概率，并指出本游戏规则是否公平，若不公平，你认为对谁有利．
23.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE=
DF，求证：∠1=∠2．
24.如图，已知一次函数y=2x−4与反比例函数y=k
的图象相交
x
于点A(a,2)，与x轴相交于点B．
(1)求a和k的值；
(2)以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在
第一象限，求菱形ABCD的面积．
25.利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？
(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价
分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？
26.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m,m)，点B的坐标为(n,−n)，抛物线经过A、O、
B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别是方程x2−2x−3=0的两根．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合)，直线PC与抛物线交于D、E两点(点D
在y轴右侧)，连接OD、BD．
①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；
②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：解：|−6|=6，
故选：B．
根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．
本题考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
2.答案：C
解析：
根据幂的乘方性质计算后即可判定选项．
此题比较简单，直接利用幂的乘方法则计算即可得到结果．
解：(a4)2=a4×2=a8．
故选C．
3.答案：A
解析：解：△=(−2)2−4×1×0=4．
故选：A．
直接利用判别式的定义，计算△=b2−4ac即可．
本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式(△=b2−4ac)判断方程的根的情况．
4.答案：B
解析：
本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，注意看不到的棱用虚线表示．解：从正面看是矩形，看不见的棱用虚线表示．
故选B．
5.答案：A
解析：解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，
小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数，
故选：A．
根据中位数的意义求解可得．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义和意义．6.答案：C
解析：
本题考查三角形全等的性质，由△ABC≌△ADC，得出∠B=∠D，∠BAC=∠DAC，根据三角形内角和定理，从而得出∠ACD的度数．
解：由△ABC≅△ADC可知：
∠B=∠D，∠BAC=∠DAC．
∴∠B=∠D=30°，∠BAC=∠DAC=1
2∠BAD=1
2
×46°=23°，
∴∠ACD=180°−∠D−∠DAC=180°−30°−23°=127°，
故选C．
7.答案：C
解析：
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
利用二次函数的性质得到二次函数y=−2(x−2)2−3的图象的顶点坐标为(2,−3)，然后利用点平移的坐标规律求解．
解：二次函数y=−2(x−2)2−3的图象的顶点坐标为(2,−3)，先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后顶点坐标为(0,−1)．
故选：C．
8.答案：C
解析：解：设OC的长为x，则C(x,0)．
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB//OC，AB=OC=x，
∵A(2,6)，
∴B(2+x,6)，
∵点D是边BC的中点，
∴D(1+x,3)，
(k>0,x>0)的图象经过点A(2,6)，D，
∵函数y=k
x
∴3(1+x)=2×6，
∴x=3．
故选：C．
设OC的长为x，则C(x,0).根据平行四边形的性质以及A点坐标为(2,6)，得出B(2+x,6)，由点D
(k>0,x>0)的图象是边BC的中点，利用线段的中点坐标公式得出D(1+x,3)，再根据函数y=k
x
经过点A(2,6)，D，利用反比例函数图象上点的坐标特征得出3(1+x)=2×6，解方程即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k.也考查了平行四边形的性质以及线段的中点坐标公式．
9.答案：x≤1
解析：解：根据题意得：1−x≥0，
解得x≤1．
故答案为：x≤1
二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10.答案：2(a+2)(a−2)
解析：
本题主要考查的是提公因式法，运用公式法分解因式的有关知识，先提取2，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
解：原式=2(a2−4)，
=2(a+2)(a−2)．
故答案为2(a+2)(a−2)．
11.答案：8.83×107
解析：【试题解析】
解：将88300000用科学记数法表示为：8.83×107．
故答案为：8.83×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.答案：3
解析：
此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．
依据2<√5<3<√10<4，即可确定出m的值．
解：∵4<5<9<10<16，
∴2<√5<3<√10<4，
则整数m=3．
故答案为：3．
13.答案：2√3
解析：解：如图，∵菱形ABCD中，AB=AC=2cm，
AC=1cm，AC⊥BD，
∴OA=1
2
∴OB=√AB2−OA2=√3cm，
∴BD=2OB=2√3cm．
即另一条对角线的长是：2√3cm．
故答案为2√3．
首先根据题意画出图形，然后由菱形的性质，求得OA=1cm，AC⊥BD，然后由勾股定理求得OB 的长，继而求得答案．
此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
14.答案：1−π
4
解析：
本题是切线的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、三角形的面积、扇形的面积的综合应用，根据已知条件求出圆的半径是解决此题的关键．
遇切线，想直角；根据切线，可得∠ADO=90°，根据AB的长，求出AO的长度；解直角三角形，求出半径OD的长度；根据阴影部分的面积=2×(三角形的面积−扇形的面积)，计算即可．
解：如图，连接OD，
∵AC与⊙O相切，
∴∠ADO=90°，
∵∠C=90°，CA=CB，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠AOD=45°，
∵O是AB的中点，AB=2√2，
∴OA=√2，
在Rt△AOD中，∠A=45°，OA=√2，
×√2=1，
∴OD=cos45°⋅OA=√2
2
．
．
故答案为：1−π
4
15.答案：4√5
解析：解：如图2中，连接EG，作GM⊥EN交EN
的延长线于M．
在Rt△EMG中，∵GM=4，EM=4+4+4=12，
∴EG=√EM2+GM2=√122+42=4√10，
=4√5，
∴EH=
√2
故答案为4√5．
如图2中，连接EG，GM⊥EN交EN的延长线于M，利用勾股定理解决问题即可．
本题考查正方形的性质，七巧板，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
16.答案：(8,10)
解析：
本题考查切线的性质等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．
连接BM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定理求出HB，得到OH，即可得到M的坐标．
解：如图连接BM，AM，作MH⊥BC于H．
∵⊙M与x轴相切于点A(8,0)，
∴AM⊥OA，OA=8，
∴∠OAM=∠MHO=∠HOA=90°，
∴四边形OAMH是矩形，
∴AM=OH，
∵点C(0,16)，点B(0,4)，
∴OB=4，OC=16，
∴BC=12，
∵MH⊥BC，
∴HC=HB=6，
∴OH=AM=10，
∴点M的坐标为：(8,10)，
故答案为：(8,10)．
17.答案：解：(1)方程两边都乘以x(x−3)得，
40x=64(x−3)，
64x−40x=192，
x=8，
检验：当x=8时，x(x−3)≠0，
∴x=8是原方程的解；
(2)方程两边都乘以(x−1)得，
2x+2(x−1)=2，
4x=4，
x=1，
检验：当x=1时，x−1=0，
∴x=1是原分式方程的增根，
原分式方程无解．
解析：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
(1)方程两边都乘以x(x−3)，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)方程两边都乘以(x −1)，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
18.答案：解：{2−3x ≤−4①x−12<x 3
+1② 解不等式①得，x ≥2，
解不等式②得，x <9，
∴不等式组的解集为2≤x <9．
解析：本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
19.答案：87.6 90 100
解析：解：(1)根据题意得：一班中等级C 的人数为25−(6+12+5)=2(人)，
补全条形统计图，如图所示：
(2)根据题意得：一班的平均分为
100×6+90×12+80×2+70×525=87.6(分)，中位数为90分，
二班的众数为100分， 则a =87.6，b =90，c =100；
(3)一班与二班的平均数相同，但是二班众数为100分，一班众数为90分，
则二班成绩较好．
(1)根据总人数为25人，求出等级C 的人数，补全条形统计图即可；
(2)求出一班的平均分与中位数得到a 与b 的值，求出二班得众数得到c 的值即可；
(3)选择平均数与众数比较即可．
此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．
20.答案：解：∵E为CD中点，CD=12m，∴CE=DE=6m．
在Rt△ACE中，
∵tan56°=AC
CE
，
∴AC=CE⋅tan56°≈6×3
2
=9m
在Rt△BDE中，∵tan67°=BD
DE
，
∴BD=DE.tan67°=6×7
3
=14m．
∵AF⊥BD，
∴AC=DF=9m，AF=CD=12m，
∴BF=BD−DF=14−9=5m．
在Rt△AFB中，AF=12m，BF=5m，
∴AB=√AF2+BF2=√122+52=13m.
∴两树间距离为13米．
解析：根据E为CD中点，CD=12，得到CE=DE=6.在Rt△ACE中，求得AC=CE.tan56°，在Rt△BDE中，求得BD=DE.tan67°，然后利用勾股定理求得AB的长即可．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是正确的构造直角三角形，并选择正确的边角关系．
21.答案：解：−22+(1−√2)0−√12+|−√3|
=−4+1−2√3+√3
=−3−√3．
解析：直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22.答案：解：(1)画树状图为：
共有6种等可能的结果数；
(2)所取笔的颜色相同的结果数为2，所以小明胜的概率=2
6=1
3
，
由于1
3<1
2
，
所以本游戏规则不公平，对小军有利．
解析：(1)画树状图展示所有6种等可能的结果数；
(2)先确定所取笔的颜色相同的结果数，则可计算出小明胜的概率=1
3，利用1
3
<1
2
可判断本游戏规则
不公平，对小军有利．
本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
23.答案：证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
在△ADF和△CDE中，
{AD=CD
∠D=∠D
DF=DE
，
∴△ADF≌△CDE(SAS)，
∴∠1=∠2．
解析：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
由菱形的性质得出AD=CD，由SAS证明△ADF≌△CDE，即可得出结论．
24.答案：解：(1)当y=2时，有2a−4=2，
解得：a=3，
∴点A的坐标为(3,2)．
∵点A在反比例函数y=k
x
的图象上，
∴k=3×2=6．
(2)过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示．
当y=0时，有2x−4=0，
解得：x=2，
∴点B 的坐标为(2,0)．
∵点A 的坐标为(3,2)，
∴点E 的坐标为(3,0)，
∴BE =3−2=1，AE =2−0=2，
∴AB =√BE 2+AE 2=√5．
∵四边形ABCD 为菱形，
∴BC =AB =√5，
∴S 菱形ABCD =BC ⋅AE =2√5．
解析：(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a 值，进而可得出点A 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 值；
(2)过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点A 的坐标可得出点E 的坐标，进而可得出BE ，AE 的长度，利用勾股定理可求出AB 的长度，由四边形ABCD 为菱形，利用菱形的性质可求出BC 的长度，再利用菱形的面积公式即可求出菱形ABCD 的面积． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、菱形的性质以及菱形的面积，解题的关键是：(1)利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，求出a ，k 的值；(2)利用菱形的性质及勾股定理求出BC ，AE 的长度．
25.答案：解：(1)假设甲、乙两种商品的进货单价各为x ，y 元，
根据题意得：{x +y =53(x +1)+2(2y −1)=19
， 解得：{x =2y =3
； 答：甲、乙两种商品的进货单价各为2元、3元；
(2)∵商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．
∴甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元时，
甲乙每天分别卖出：(500+m 0.1×100)件，(300+m 0.1×100)件，
∵销售甲、乙两种商品获取的利润是：甲乙每件的利润分别为：3−2=1元，5−3=2元， 每件降价后每件利润分别为：(1−m)元，(2−m)元；
总利润w =(1−m)×(500+m 0.1×100)+(2−m)×(300+m 0.1×100)，
=−2000m 2+2200m +1100，
因为−2000<0，
所以当m =−b 2a =−22002×(−2000)=0.55元，
故降价0.55元时，w 最大，最大值为：1705元，
∴当m 定为0.55元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元．
解析：此题主要考查了二元一次方程的应用以及二次函数最值求法的应用，此题比较典型也是近几年中考中热点题型，注意表示总利润时分别表示出商品的单件利润和所卖商品件数是解决问题的关键．
(1)根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，列出方程组求出即可；
(2)根据降价后甲乙每天分别卖出：(500+m 0.1×100)件，(300+m 0.1×100)件，每件降价后每件利润分别为：(1−m)元，(2−m)元；即可得出总利润，利用二次函数最值求出即可． 26.答案：解：(1)x 2−2x −3=0，则x =3或−1，
故点A 、B 的坐标分别为(−1,−1)、(3,−3)，
设抛物线的表达式为：y =ax 2+bx ，将点A 、B 的坐标代入上式得：{−1=a −b −3=9a +3b ，解得：{a =−12b =12
， 故抛物线的表达式为：y =−12x 2+12x ；
(2)将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AB 的表达式为：y =−12x −32，故点C(0,−32)，
同理可得：直线OP 的表达式为：y =−x ；
①过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，
设点D(x,−12x 2+12x)，则点H(x,−x)，
△BOD 面积=12×DH ×x B =12×3(−12x 2+12x +x)=−34x 2+94x ，
∵−34<0，故△BOD 面积有最大值为：2716，此时x =32，
故点D(32,−38)；
②当OP =PC 时，
则点P 在OC 的中垂线上，故y P =−34，则点P(34,−34)；
②当OP =OC 时，
t 2+t 2=(92)2，解得：t =±3√24(舍去负值)， 故点P(3√24,−3√24
)； ③当PC =OC 时，同理可得：点P(32,−32)；
综上，点P(34,−34)或(3√24,−3√24)或(32,−32).
解析：(1)x 2−2x −3=0，则x =3或−1，故点A 、B 的坐标分别为(−1,−1)、(3,−3)，设抛物线的表达式为：y =ax 2+bx ，将点A 、B 的坐标代入上式，即可求解；
(2)①过点D 作y 轴的平行线交OB 于点H ，△BOD 面积=12×DH ×x B ，即可求解； ②分OP =PC 、OP =OC 、PC =OC 三种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解一元二次方程、图形的面积计算等，其中(2)②要注意分类求解，避免遗漏．。