湖北省宜昌一中高二数学上学期期末试卷 理(含解析)

2015-2016学年湖北省宜昌一中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）
A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}
2．下列命题中是假命题的是（）
A．存在α，β∈R，使tan（α+β）=tan α+tan β
B．对任意x＞0，有lg2x+lg x+1＞0
C．△AB C中，A＞B的充要条件是sin A＞sin B
D．对任意φ∈R，函数y=sin（2x+φ）都不是偶函数
3．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”
的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊊α D．若a∥α，α⊥β，则a⊥β
5．由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）得到的回归直线方程为= x+，下列四个命题中正确的个数有（）
（1）直线= x+必经过点（，）
（2）直线= x+至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点
（3）直线= x+，的斜率为
（4）直线= x+，和各点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的偏差[y i﹣（bx i+a）]2
是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）
A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10
7．（1+2x）2（1﹣x）5=，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7等于（）A．32 B．﹣32 C．﹣33 D．﹣31
8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360 B．520 C．600 D．720
9．如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）
A．B．C．D．
10．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1，设（a，b）是区域，内的随
机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（）
A．B．C．D．
12．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2，M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）是
双曲线C上的点，N（﹣x0，﹣y0），连接MF2并延长MF2交双曲线C于P，连接NF2，PN，若△NF2P是以∠NF2P为顶角的等腰直角三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）
A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
13．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则QF等于．
14．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N，已知P=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有人．
15．若的展开式中常数项为5，则该展开式中x2项的系数为．
16．已知正△ABC的顶点A在平面α上，顶点B、C在平面α的同一侧，D为BC的中点，若△ABC在平面α上的投影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面α所成角的正弦值的范围为．
三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知命题p：方程+=1所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线，命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，又p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．
18．某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1：200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示
分数段（分）[50，70）[70，90）[90，110）[110，130）[130，150）总计
频数 b
频率 a 0.25
（2）求分数在[90，100）范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90，150）内为及格）；
（3）从成绩在[100，130）范围内的学生中随机选4人，求其中成绩在[100，110）内的人数最多2人的概率．
19．已知圆C的圆心在直线3x+y﹣5=0上，并且经过原点和点A（3，﹣1）．
（Ⅰ）求圆C的方程．
（Ⅱ）若直线l过点P（1，1）且截圆C所得的弦长为，求直线l的方程．
20．如图，在多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=1，CD=2，M、N分别为EC和BD的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值．
21．某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；
（Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
22．已知动圆Q过定点F（0，﹣1），且与直线y=1相切；椭圆N的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点O，F是其一个焦点，又点（0，2）在椭圆N上．
（1）求动圆圆心Q的轨迹M的方程和椭圆N的方程；
（2）过点（0，﹣4）作直线l交轨迹M于A，B两点，连结OA，OB，射线OA，OB交椭圆N 于C，D两点，求△OCD面积的最小值．
（3）附加题（本题额外加5分）：过椭圆N上一动点P作圆x2+（y﹣1）2=1的两条切线，切点分别为G，H，求的取值范围．
2015-2016学年湖北省宜昌一中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）
A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}
【考点】补集及其运算；交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】本题求集合的交集，由题设条件知可先对两个集合进行化简，再进行交补的运算，集合A由求指数函数的值域进行化简，集合B通过求集合的定义域进行化简
【解答】解：由题意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，
故C U A={y|y≤1}
∴（C U A）∩B={x|0＜x＜1}
故选D
【点评】本题考查补集的运算，解题的关键是理解掌握集合的交的运算与补的运算，运用指数函数与对数函数的知识对两个集合进行化简，本题是近几年高考中的常见题型，一般出现在选择题第一题的位置考查进行集合运算的能力
2．下列命题中是假命题的是（）
A．存在α，β∈R，使tan（α+β）=tan α+tan β
B．对任意x＞0，有lg2x+lg x+1＞0
C．△ABC中，A＞B的充要条件是sin A＞sin B
D．对任意φ∈R，函数y=sin（2x+φ）都不是偶函数
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】转化思想；分析法；简易逻辑．
【分析】A．存在在α=β=0，即可判断出正误；
B．对任意x＞0，有lg2x+lg x+1=+＞0，即可判断出正误；
C．利用三角形边角关系、正弦定理，即可判断出正误；
D．取φ=（k∈Z），即可判断出正误．
【解答】解：A．存在在α=β=0，使tan（α+β）=tan α+tan β，是真命题；
B．对任意x＞0，有lg2x+lg x+1=+＞0，是真命题；
C．△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，是真命题；
D．取φ=（k∈Z），函数y=sin（2x+φ）=±cos2x是偶函数，因此是假命题．
故选：D．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、正弦定理、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”
的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．
【专题】直线与圆；简易逻辑．
【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，
则圆心到直线距离d=，|AB|=2，
若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．
若△OAB的面积为，则S==×2×==，
即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，
则（|k|﹣1）2=0，
即|k|=1，
解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．
故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．
4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊊α D．若a∥α，α⊥β，则a⊥β
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】解：若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由直线与平面平行的判定定理得b∥α，故A正确；若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；
若a⊥β，α⊥β，则线面垂直、面面垂直的性质得a∥α或a⊊α，故C正确；
若a∥α，α⊥β，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．
5．由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）得到的回归直线方程为= x+，下列四个命题中正确的个数有（）
（1）直线= x+必经过点（，）
（2）直线= x+至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点
（3）直线= x+，的斜率为
（4）直线= x+，和各点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的偏差[y i﹣（bx i+a）]2
是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】线性回归方程．
【专题】函数思想；分析法；概率与统计．
【分析】根据最小二乘法原理和回归系数公式进行判断．
【解答】解：由回归系数公式=可知（1）正确；由回归系数公式=
可知（3）正确；
由最小二乘法原理可知（4）正确，（2）不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了最小二乘法求回归方程原理，属于基础题．
6．如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）
A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10
【考点】茎叶图；循环结构．
【专题】概率与统计；算法和程序框图．
【分析】算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，根据茎叶图可得
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，
由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，
由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，
则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26 故选：B．
【点评】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键
7．（1+2x）2（1﹣x）5=，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7等于（）
A．32 B．﹣32 C．﹣33 D．﹣31
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；规律型；整体思想；试验法；二项式定理．
【分析】利用赋值法，化简求解即可．
【解答】解：（1+2x）2（1﹣x）5=，
当x=0时，a0=1．
当x=1时，a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0，…①
当x=﹣1时，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7=25…②
①﹣②可得a1+a3+a5+a7=﹣16．
①+②得：a0+a2+a4+a6=16．a2+a4+a6=15．
∴a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=﹣31．
故选：D．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的应用，考查计算能力．
8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360 B．520 C．600 D．720
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，
若只有甲乙其中一人参加，有C21•C53•A44=480种情况；
若甲乙两人都参加，有C22•C52•A44=240种情况，
其中甲乙相邻的有C22•C52•A33•A22=120种情况；
则不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种，
故选C．
【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．
9．如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．
【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=；
∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，
则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，
∴双曲线C2的离心率e===．
故选D．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
10．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；转化思想；数形结合法；直线与圆．
【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为4，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为5．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．
【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣）2=1的圆心C（3，），半径为1，
∵圆心C到O（0，0）的距离为4，
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为5．
再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，
可得PO=AB=m，故有m≤5，
故选：B．
【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为5，是解题的关键，属于中档题．
11．已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1，设（a，b）是区域，内的随
机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型；二次函数的性质．
【专题】概率与统计．
【分析】由题意求出使二次函数在区间[1，+∞）上是增函数的满足条件，求出区域面积，利用几何概型解答．
【解答】解：关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则，
即，满足条件的如图阴影部分，直线x+y﹣8=0与x+2y=0的交点为（），
已知区域面积为=32，阴影部分面积为，
所以函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是；
故选C．
【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键是求出区域面积，由公式解答．
12．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2，M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）是
双曲线C上的点，N（﹣x0，﹣y0），连接MF2并延长MF2交双曲线C于P，连接NF2，PN，若△NF2P是以∠NF2P为顶角的等腰直角三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）
A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】可设双曲线的左焦点为F1，并连接MF1，MF2，根据双曲线的对称性及条件便知四边形F1NF2M为矩形，可设MF2=x，并连接PF1，这样根据双曲线的定义及平行四边形对边相等即可得出MF1=2a+x，MP=2a+2x，PF1=4a+x，这样根据直角三角形的边的关系即可得到
，这样可以由②解出x，带入①中便可得到a，b，c的关系，根据c2=a2+b2即可得出的值，从而便得出渐近线方程．
【解答】解：如图，设F1为双曲线左焦点，连接MF1，NF1，则：
由对称性可知四边形F1NF2M为平行四边形；
又∠MF2N=90°；
∴F1NF2M为矩形；
设MF2=x，则MF1=2a+x；
∴PF2=NF2=MF1=2a+x；
∴PF1=2a+PF2=4a+x；
在Rt△MF1F2中有：（2a+x）2+x2=4c2①；
在Rt△MF1P中有：（2a+x）2+（2a+2x）2=（4a+x）2②；
由②解得，x=a，代回①得：9a2+a2=4c2；
∴；
∴；
∴；
∴渐近线方程为：y=．
故选C．
【点评】考查双曲线的对称性，双曲线的标准方程，双曲线的焦点，以及双曲线的定义，直角三角形的边的关系，c2=a2+b2，双曲线的渐近线方程．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
13．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则QF等于 3 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．
【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，
∵=4，
∴|PQ|=3d，
∴不妨设直线PF的斜率为﹣=2，
∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），
与y2=8x联立可得x=1，
∴|QF|=d=1+2=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
14．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N，已知P=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有8 人．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】应用题；概率与统计．
【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N．得到考试的成绩ξ关于ξ=110对称，根据P=0.34，得到P（ξ≥120）=0.16，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．
【解答】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N．
∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称，
∵P=0.34，
∴P（ξ≥120）=P（ξ≤100）=（1﹣0.34×2）=0.16，
∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．
15．若的展开式中常数项为5，则该展开式中x2项的系数为﹣．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理．
【分析】根据的展开式中常数项为5，求出a的值，即可求展开式中x2的系数．
【解答】解：的展开式中常数项为
=5，
∴a=，
∴展开式中x2的系数为=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
16．已知正△ABC的顶点A在平面α上，顶点B、C在平面α的同一侧，D为BC的中点，若△ABC在平面α上的投影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面α所成角的正
弦值的范围为．
【考点】直线与平面所成的角．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据题意，作图，设正三角形的边长为1，设出B，C到面的距离分别为a，b，则DG的长度为两者和的一半，通过解直角三角形用a，b表示出DG，得出sinα的表达式后，再根据条件，利用函数、不等式知识研究其最值．
【解答】解：设正△ABC边长为1，则线段AD=
设B，C到平面α距离分别为a=BE，b=CF，
则D到平面α距离为hDG=
射影三角形两直角边的平方分别为1﹣a2，1﹣b2，
设线段BC射影长为c，则1﹣a2+1﹣b2=c2，（1）
又线段AD射影长为，
所以（）2+=AD2=，（2）
由（1）（2）联立解得 ab=，
所以sinα===≥==，当a=b=时等号成立．
此时BC与α平行．
令函数f（a）=，0＜a＜1，根据B，C关于D的对称性，不妨研究≤a＜1的情形．由于函数f′（a）=1﹣=
当≤a＜1时，f′（a）＞0，
所以f（a）在（1）上单调递增，当a趋近于1时，f（a）趋近于1+=．，
sinα趋近于
所以sinα的取值范围为
故答案为：
【点评】本题考查线面角的大小度量，考查空间想象、计算、推理论证能力．以及建立数学模型，解决数学模型的能力．
三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知命题p：方程+=1所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线，命题q：方
程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，又p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】简易逻辑．
【分析】先根据曲线的标准方程和一元二次方程无实根时△的取值即可求出命题p，q为真时的m的取值范围，然后根据p∨q为真，p∧q为假得到p真q假，或p假q真两种情况，求出每种情况的m的取值范围再求并集即可．
【解答】解：若p为真，则：；
∴m＞2；
若命题q为真，则：△=16（m﹣2）2﹣16＜0；
∴1＜m＜3；
由p∨q为真，p∧q为假知p，q一真一假；
∴，或；
∴解得m≥3，或1＜m≤2；
∴m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．
【点评】考查双曲线的标准方程，以及一元二次方程无实根时△的取值情况，p∨q，p∧q 的真假和p，q真假的关系．
18．某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1：200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示
分数段（分）[50，70）[70，90）[90，110）[110，130）[130，150）总计
频数 b
频率 a 0.25
（2）求分数在[90，100）范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90，150）内为及格）；
（3）从成绩在[100，130）范围内的学生中随机选4人，求其中成绩在[100，110）内的人数最多2人的概率．
【考点】茎叶图．
【专题】数形结合；数学模型法；概率与统计．
【分析】（1）由茎叶图中的数据以及频率=的关系，求出a和b的值；
（2）求出分数在[90，150]范围内的学生人数，计算及格率（对应的频率）即可；
（3）求出分数在[100，130）和[100，110）范围内的人数，再计算成绩在[100，110）内的人数最多2人的概率P=P（X=1）+P（X=2）．
【解答】解：（1）由茎叶图可知分数在[50，70）范围内的有2人，在[110，130）范围内的有3人，
∴a==0.1，b=3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）分数在[70，90）内的人数20×0.25=5，
结合茎叶图可得分数在[70，80）内的人数为2，
所以分数在[90，100）范围内的学生人数为4，
故数学成绩及格的学生为13人，
所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为
×100%=65%；﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（3）由茎叶图可知分数在[100，130）范围内的有7人，
分数在[100，110）范围内的有4人，
则其中成绩在[100，110）内的人数最多2人的概率
P=P（X=1）+P（X=2）=+=+=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用问题，也考查了概率的计算问题，是基础题目．
19．已知圆C的圆心在直线3x+y﹣5=0上，并且经过原点和点A（3，﹣1）．
（Ⅰ）求圆C的方程．
（Ⅱ）若直线l过点P（1，1）且截圆C所得的弦长为，求直线l的方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】（Ⅰ）设心为（x0，5﹣3x0），则
，可得圆心和半径，从而求得
圆的方程．
（Ⅱ）分类讨论，设出直线的方程，求出圆心到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程．
【解答】解：（I）设圆心为（x0，5﹣3x0），则
解得，所以圆的方程：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣
（II）当直线l垂直于x轴时，方程为x=1，交点为，弦
长为
符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当直线l不垂直于x轴时，设方程为y﹣1=k（x﹣1），
由弦心距三角形得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以方程为5x+12y﹣17=0，综上l的方程为x=1或5x+12y﹣17=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定圆心坐标与半径是关键．
20．如图，在多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=1，CD=2，M、N分别为EC和BD的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）证明BC⊥BD，BC⊥DE，即可证明BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系D﹣xyz，求出平面BMC的法向量，即可求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，取CD中点H，连接BH，因为AD=AB，AB∥CD，AD⊥CD，所以四边形ADHB为正方形，
又BD2=AD2+AB2=2，BC2=HC2+HB2=2，
所以CD2=BD2+BC2，所以BC⊥BD…
又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，DE⊥AD，
所以DE⊥平面ABCD，…
所以BC⊥DE，
又BD∩DE=D，故BC⊥平面BDE．…
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知CD⊥平面ABCD，AD⊥CD，所以DE，DA，DC两两垂直．
以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系D﹣xyz，则C（0，2，0），B（1，1，0），E（0，0，1），，，，…
设为平面BMC的法向量，则，即
可取，…
又，所以…
直线MN与平面BMC所成的角的正弦值为…
【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，空间向量的运算，考查空间想象能力，计算能力以及逻辑推理能力．
21．某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；
（Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】（I）利用中值估算抽样学生的平均分；
（II）求出两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率，确定随机变量ξ的可能取值，求出相应的概率，可求ξ的分布列及数学期望Eξ．
【解答】解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：
45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．…
众数的估计值为75．…
所以，估计这次考试的平均分是72分．…
（II）从95，96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是=15，有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），
这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是=6，
∴两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率P==…
随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，则有P（ξ=k）=（k=0，1，2，3）
ξ 3 2 1 0
P
…
Eξ=3×+2×+1×+0×=1.2 …
【点评】本题考查频率分布直方图，考查随机变量的分布列及数学期望，正确求概率是关键．
22．已知动圆Q过定点F（0，﹣1），且与直线y=1相切；椭圆N的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点O，F是其一个焦点，又点（0，2）在椭圆N上．
（1）求动圆圆心Q的轨迹M的方程和椭圆N的方程；
（2）过点（0，﹣4）作直线l交轨迹M于A，B两点，连结OA，OB，射线OA，OB交椭圆N 于C，D两点，求△OCD面积的最小值．
（3）附加题（本题额外加5分）：过椭圆N上一动点P作圆x2+（y﹣1）2=1的两条切线，切点分别为G，H，求的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；探究型；转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由抛物线的定义可得动点Q的轨迹M的标准方程，由题意可得c=1，a=2，求得b，进而得到椭圆方程；
（2）显然直线m的斜率存在，不妨设直线m的直线方程为：y=kx﹣4，分别代入抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得三角形的面积，再由不等式的性质，即可得到所求最小值．
（3）设∠EPF=2α，求出表达式，利用的范围，求解表达式的范围即可．【解答】解：（1）依题意，由抛物线的定义易得动点Q的轨迹M的标准方程为：x2=﹣4y，依题意可设椭圆N的标准方程为+=1（a＞b＞0），
显然有c=1，a=2∴b=，
∴椭圆N的标准方程为：；
轨迹；
（2）
所以x1x2+y1y2=0⇒OA⊥OB
设，
所以，
同理可得：，
所以，
令t=1+k2（t≥1），，
所以当
（3）（附加题）设∠GPH=2α，圆x2+（y﹣1）2=1的圆心为E，如图：
当P在椭圆上顶点时PE最小为1，在椭圆下顶点时，|PE|的最大值为3，PE∈[1，3]，PEcosα=PG，sinα=．
∴
==，当且仅当|PE|=时取等号．因为|PE|∈[1，3]，所以．
【点评】本题考查直线和圆相切的条件，同时考查抛物线的定义和椭圆方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于难题．。