2012新高考数学全案人教版(课外学生练与悟)7-8

第7章 第8讲
一、选择题
1．(2009·全国Ⅱ，5)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )
A.10
10
B.15
C.31010
D.35
[答案] C
2．(2009·浙江，5)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
[答案] C
3．点P 在正方形ABCD 所在的平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，则P A 与BD 所成角的度数为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° [解析] 将其补成正方体，如右图P A 与BD 成60°角，故选C.
[答案] C
4．(2009·全国Ⅰ，10)已知二面角α－l －β为60°，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P 、Q 两点之间距离的最小值为( )
A. 2 B ．2 C ．2 3 D ．4
[答案] C
5．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
[解析] 如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系，A (0,0,0)，M (0,1，12)，Q (12，1
2
，0)，P (x,0,1)
∴AM →
＝(0,1，12)，PQ →＝(12－x ，1
2，－1)
AM →
·PQ →＝0×(12－x )＋1×12＋1
2
×(－1)＝0，
∴AM →
⊥PQ →
. [答案] D
6．(2007·深圳二模理7)在教材中，我们学过“经过点P (x 0，y 0，z 0)，法向量为e ＝(A ，B ，C )的平面的方程是：A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C (z －z 0)＝0”．现在我们给出平面α的方程是x －y ＋z ＝1，平面β的方程是x 6－y 3－z
6
＝1，则由这两平面所成的锐二面角的余弦值是( )
A.23
B.33
C.39
D.223
[答案] A 二、填空题
7．(2009·四川，15)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1
的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．
[答案] 90°
8．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于____________．
[解析] 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，底面对角线BD ＝26，则边长BC ＝2 3.作SO ⊥底面ABCD ，作OE ⊥CD ，连SE ，则∠SEO 就是侧面与底面所成二面角的平面角，又由
V ＝1
3×(23)2·SO ＝12，得SO ＝3.
则在Rt △SEO 中，tan ∠SEO ＝3，
∴∠SEO ＝π3，即侧面与底面所成的二面角等于π
3.
[答案] π
3
9．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为________．
[解析] 不妨设正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系． 则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D (
32，－1
2
，2) ∴CD →
＝(32，－1
2，2)，CB 1→
＝(3，1,2)
设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1)
由⎩⎪⎨⎪⎧
n ·
CD →
＝0n ·
CB 1→＝0解得
n ＝(－3，1,1)
又∵DA →
＝(
32，－1
2
，－2) ∴sin θ＝1，cos<DA →
·n >＝4
5.
[答案] 4
5
10．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为________．
[解析] 解法一：A 1B 1∥平面D 1EF ，
∴G 到平面D 1EF 的距离为A 1到平面D 1EF 的距离．在△A 1D 1E 中，过A 1作A 1H ⊥D 1E 交D 1E 于H ，显然A 1H ⊥平面D 1EF ，则A 1H 即为所求，
在Rt △A 1D 1E 中， A 1H ＝A 1D 1·A 1E D 1E
＝
1×121＋(12
)2
＝
55
. 解法二：等体积法，设h 为G 到平面D 1EF 的距离． ∵V G －D 1EF ＝V A 1－D 1EF ＝V F －D 1A 1E ， ∴12×1×52×h ＝12×1×12×1，∴h ＝55. [答案]
5
5
三、解答题
11．(2009·全国Ⅱ，18)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1.
(1)证明：AB ＝AC ；
(2)设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．
(1)[证明] 以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A －xyz .
设AB ＝1，则B (1,0,0)，C (0，b,0)，D (0,0，c )， 则B 1(1,0,2c )，E (12，b
2，c )．
于是DE →
＝(12，b
2
，0)，
BC →
＝(－1，b,0)．
由DE ⊥平面BCC 1知DE ⊥BC ，
即DE →
·BC →
＝0，求得b ＝1. 所以AB ＝AC .
(2)[解] 设平面BCD 的法向量AN →
＝(x ，y ，z )，
则AN →
·BC →
＝0，AN →
·BD →
＝0.
又BC →
＝(－1,1,0)，BD →
＝(－1,0，c )，
故⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋y ＝0，－x ＋cz ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1c ，AN →＝(1,1，1c
)．
又平面ABD 的法向量AC →
＝(0,1,0)，
由二面角A －BD －C 为60°知，〈AN →
，AC →
〉＝60°，
故AN →
·AC →
＝|AN →
|·|AC →
|·cos60°，求得c ＝
1
2
. 于是AN →
＝(1,1，2)，CB 1→＝(1，－1，2)， cos 〈AN →
，CB 1→
〉＝AN →·CB 1→
|AN →|·|CB 1→|
＝1
2
，
∴〈AN →
，CB 1→
〉＝60°.
∴B 1C 与平面BCD 所成的角为30°.
12．(2008·广东理)如图所示，等腰三角形△ABC 的底边AB ＝66，高CD ＝3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ，记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P －ACFE 的体积．
(1)求V (x )的表达式；
(2)当x 为何值时，V (x )取得最大值？
(3)当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值． [解] (1)∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥PE . 又∵PE ⊥AE ，EF ∩AE ＝E ， 且PE 在平面ACFE 外， ∴PE ⊥平面ACFE .
∵EF ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴EF ∥CD . ∴
EF CD ＝x BD ⇒EF ＝CD BD x ＝x
6
. ∴四边形ACFE 的面积 S 四边形ACFE ＝S △ABC －S △BEF ＝12×66×3－12×16x 2 ＝96－
126
x 2.∴四棱锥P －ACFE 的体积
V P －ACFE ＝13S 四边形ACFE ·PE ＝36x －166x 3，
即V (x )＝36x －
166
x 3(0＜x ＜36)．
(2)由(1)知V ′(x )＝36－126
x 2.
令V ′(x )＝0⇒x ＝6.
∵当0＜x ＜6时，V ′(x )＞0，当6＜x ＜36时，V ′(x )＜0， ∴当BE ＝x ＝6时，V (x )有最大值，最大值为V (6)＝12 6.
(3)解法一：如图，以点E 为坐标原点，向量EA →
、EF →
、EP →
分别为x 、y 、z 轴的正向建立空间直角坐标系，
则E (0,0,0)，P (0,0,6)，F (0，6，0)，A (66－6,0,0)，C (36－6,3,0)．
于是AC →
＝(－36，3,0)，PF →
＝(0，6，－6)． AC 与PF 所成角θ的余弦值为
cos θ＝AC →
·PF →
|AC →||PF →|＝3654＋9＋00＋6＋36＝1
7.
∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为1
7
.
解法二：过点F 作FG ∥AC 交AE 于点G ，连接PG ，则∠PFG 为异面直线AC 与PF 所成的角．
∵△ABC 是等腰三角形， ∴△GBF 也是等腰三角形．
于是FG ＝BF ＝PF ＝BE 2＋EF 2＝42， 从而PG ＝PE 2＋GE 2＝BE 2＋BE 2＝6 2.
在△GPF 中，根据余弦定理得cos ∠PFG ＝PF 2＋FG 2－PG 22PF ·FG ＝1
7.
故异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为1
7
.
亲爱的同学请写上你的学习心得。