【物理】物理万有引力与航天专项习题及答案解析

【物理】物理万有引力与航天专项习题及答案解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L ．已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧，引力常量为G ．求：
(1)A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ； (2)两星球做圆周运动的周期．
【答案】（1） R=m M M +L, r=m M
m
+L,（2）()3L G M m +
【解析】
（1）令A 星的轨道半径为R ，B 星的轨道半径为r ，则由题意有L r R =+
两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：22
22244mM G mR Mr L T T
ππ==
可得 R
M
r m
＝
，又因为L R r =+ 所以可以解得：M R L M m =
+,m
r L M m
=+； （2）根据（1）可以得到：2222244mM M
G m R m L L T T M m ππ==⋅+
则：()()233
42L L T M m G
G m M π=
=++ 点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径．
2．一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落回抛出点，已知该星球半径为R ，引力常量为G ，求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的密度；
(3)该星球的“第一宇宙速度”．
【答案】(1)02v g t = (2) 0
32πv RGt ρ=
(3)02v R
v t
= 【解析】
(1) 根据竖直上抛运动规律可知，小球上抛运动时间0
2v t g
= 可得星球表面重力加速度：0
2v g t
=
． (2)星球表面的小球所受重力等于星球对小球的吸引力，则有：2
GMm
mg R
=
得：2
202v R gR M G Gt ==
因为3
43
R V π=
则有：032πv M V RGt
ρ=
= (3)重力提供向心力，故2
v mg m R
=
该星球的第一宇宙速度02v R
v gR t
=
=
【点睛】本题主要抓住在星球表面重力与万有引力相等和万有引力提供圆周运动向心力，掌握竖直上抛运动规律是正确解题的关键．
3．一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为r ，周期为T ，引力常量为G ，行星半径为求： (1)行星的质量M ；
(2)行星表面的重力加速度g ； (3)行星的第一宇宙速度v ． 【答案】（1） （2）
（3）
【解析】 【详解】
(1)设宇宙飞船的质量为m ，根据万有引力定律
求出行星质量 (2)在行星表面
求出:
(3)在行星表面
求出:
【点睛】
本题关键抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力．
4．宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点，沿水平方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡另一点Q 上，斜坡的倾角α，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的密度（已知球的体积公式是
V=
43
πR 3
）．
【答案】
03tan 2V RGt α
π
【解析】
试题分析：平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度．根据万有引力等于重力求出星球的质量，结合密度的公式求出星球的密度．
设该星球表现的重力加速度为g ，根据平抛运动规律： 水平方向：0x v t = 竖直方向：212
y gt =
平抛位移与水平方向的夹角的正切值2012tan gt y x v t
α== 得：02tan v g t
α
=
设该星球质量M ，对该星球表现质量为m 1的物体有112
GMm m g R =，解得G
gR M 2
= 由343V R π=
，得：03tan 2v M V RGt α
ρπ
==
5．一名宇航员抵达一半径为R 的星球表面后，为了测定该星球的质量，做下实验：将一
个小球从该星球表面某位置以初速度v 竖直向上抛出，小球在空中运动一间后又落回原抛出位置，测得小球在空中运动的时间为t ，已知万有引力恒量为G ，不计阻力，试根据题中所提供的条件和测量结果，求：
（1）该星球表面的“重力”加速度g 的大小； （2）该星球的质量M ；
（3）如果在该星球上发射一颗围绕该星球做匀速圆周运动的卫星，则该卫星运行周期T 为多大？
【答案】（1）2v g t =（2）2
2vR M Gt
=（3）2T π=【解析】 【详解】
（1）由运动学公式得：2v
t g
＝
解得该星球表面的“重力”加速度的大小 2v g t
＝
（2）质量为m 的物体在该星球表面上受到的万有引力近似等于物体受到的重力，则对该星球表面上的物体，由牛顿第二定律和万有引力定律得：mg ＝2
mM
G
R 解得该星球的质量为 2
2vR M Gt
= （3）当某个质量为m′的卫星做匀速圆周运动的半径等于该星球的半径R 时，该卫星运行
的周期T 最小，则由牛顿第二定律和万有引力定律222
4m M m R
G R T
π''＝
解得该卫星运行的最小周期 2T π
＝ 【点睛】重力加速度g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由万有引力提供．
6．在月球表面上沿竖直方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落回抛出点，已知该月球半径为R ，万有引力常量为G ，月球质量分布均匀。

求： (1)月球的密度； (2)月球的第一宇宙速度。

【答案】（1）0
32v RGt ρπ=（2）v =
【解析】 【详解】
(1)根据竖直上抛运动的特点可知：01
02
v gt -= 所以：g=
2v t
设月球的半径为R,月球的质量为M,则：2
GMm
mg R = 体积与质量的关系：34
·3
M V R ρπρ== 联立得：0
32v RGt
ρπ=
（2）由万有引力提供向心力得
2
2
GMm v m R R
= 解得;02v R
v t
=
综上所述本题答案是：（1）0
32v RGt ρπ=（2）02v R
v t
=
【点睛】
会利用万有引力定律提供向心力求中心天体的密度，并知道第一宇宙速度等于v gR = 。

7．“嫦娥一号”探月卫星在空中的运动可简化为如图5所示的过程，卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道.已知卫星在停泊轨道和工作轨道运行的半径分别为R 和R 1，地球半径为r ，月球半径为r 1，地球表面重力加速度为g ，月球表面重力加速度为.求： (1)卫星在停泊轨道上运行的线速度大小； (2)卫星在工作轨道上运行的周期.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）卫星停泊轨道是绕地球运行时，根据万有引力提供向心力：
解得：卫星在停泊轨道上运行的线速度；
物体在地球表面上，有，得到黄金代换，代入解得；（2）卫星在工作轨道是绕月球运行，根据万有引力提供向心力有，
在月球表面上，有，得，
联立解得：卫星在工作轨道上运行的周期．
8．我国预计于2022年建成自己的空间站。

假设未来我国空间站绕地球做匀速圆周运动时
离地面的高度为同步卫星离地面高度的，已知同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。

求：
(1)空间站做匀速圆周运动的线速度大小；
(2)同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期之比。

【答案】(1) (2)
【解析】
【详解】
(1)卫星在地球表面时，可知：
空间站做匀速圆周运动时：
其中
联立解得线速度为：
(2)设同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期分别为T1和T2，
则由开普勒第三定律有：
其中：，
解得：
【点睛】
本题考查了万有引力的典型应用包括开普勒行星运动的三定律、黄金代换、环绕天体运动
的参量。

9．航天专家叶建培透露，中国将在2020年发射火星探测器，次年登陆火星．中国火星探测系统由环绕器和着陆巡视器组成．环绕器环绕火星的运动可看作匀速圆周运动，它距火星表面的高度为h ，火星半径为R ，引力常量为G ．
（1）着陆巡视器的主要功能为实现在火星表面开展巡视和科学探索．着陆巡视器第一次落到火星时以v 0的速度竖直弹起后经过t 0时间再次落回火星表面．求火星的密度． （2）“环绕器”绕火星运动的周期T ． 【答案】（1）0032v RGt π（2
【解析】
（1）根据竖直上抛运动的基本规律可知，火星表面重力加速度
00
0022
v v g t t =
=； 根据火星表面万有引力等于重力得2
'
'Mm G
m g R =②， 火星密度
343
M M V R
ρπ=
=③，由①②③解得0032v RGt ρπ=； （2）根据万有引力提供向心力公式得：2
2
24G ()()Mm m R h R h T
π=++
解得：2T ==
10．2019年1月3日10时26分，嫦娥四号探测器自主着陆在月球背面南极-艾特肯盆地内的冯·卡门撞击坑内，实现人类探测器首次在月球背面软着陆。

设搭载探测器的轨道舱绕月球运行半径为r ，月球表面重力加速度为g ，月球半径为R ，引力常量为G ，求： （1）月球的质量M 和平均密度ρ； （2）轨道舱绕月球的速度v 和周期T .
【答案】（1）G
gR M 2
=， 34g RG ρπ= （2
）v =
2T π=【解析】 【详解】
（1）在月球表面：002
Mm m g G R =，则G
gR M 2
= 月球的密度：2343/34M gR g
R V G GR
ρππ===
（2）轨道舱绕月球做圆周运动的向心力由万有引力提供：2
2Mm v G m r r
=
解得：v =
22r T v π⋅==。