人教版高三数学一轮复习精品课件1：12.6 离散型随机变量的

2．能计算简 实际问题为背景考查离散型随机变量的均值
单离散型随机变 与方差在实际问题中的应用，是高考对本讲
量的均值、方 内容考查的命题方向．正态分布主要考查正
差，并能解决一 态总体在某一区间内的概率，通常以选择、
些实际问题． 填空题形式出现，题目较易.
3．利用实际 预测2016年高考仍会对本节知识点重点考
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
知识梳理
1.离散型随机变量的均值与方差 (1)均值 设随机变量X的可能取值为a1，a2，…，ar，取ai的概率为Pi(i ＝1,2，…，r)，即X的分布为 P(X＝ai)＝Pi(i＝1,2，…，r) 则定义X的均值为 a1P(X＝a1)＋a2P(X＝a2)＋…＋arP(X＝ar)＝ __a_1P_1_＋__a_2_P_2_＋__…__＋__a_rP_r_. 即随机变量X的取值ai乘上取值ai的概率P(X＝ai)再求和．
2．常见分布的均值与方差 (1)若X服从二点分布，则EX＝__p___，DX＝__p_(_1_－__p_) __；
(2)若X～B(n，p)，则EX＝_n__p___，DX＝n_p_(_1_－__p_)_； nM
(3)若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则EX＝___N_____.
3．正态分布 正态分布是常见的分布，它有两个重要的参数数： _均__值__μ_____，_方__差__σ_2_(_σ_>_0_) ，通常用X～N(μ，σ)表示服从参数 为μ和σ2的正态分布．当μ和σ2给定后，就是一个具体的正态 分布． 正态分布密度函数满足以下性质 (1)函数图像关于直线___x_＝__μ__对称； (2)__σ_(_σ_>_0_)_的大小决定函数图像的“胖”“瘦”； (3)p(μ－σ<X<μ＋σ)＝_6_8_._3_%___， p(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝__4_%_____， p(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝_9_9_._7_%___.
[规范解答] (1)由题意得 ξ＝2,3,4,5,6， 故 P(ξ＝2)＝36× ×36＝14， P(ξ＝3)＝2×6×3×6 2＝13，
P(ξ＝4)＝2×3×6×1＋6 2×2＝158，
P(ξ＝5)＝2×6×2×6 1＝19，P(ξ＝6)＝16××16＝316.
所以 ξ 的分布列为
ξ2 3 4 5 6
[思考分析] 利用均值与方差的性质求解．
[规范解答] ∵EX＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15 ＝155＝3.
P
1 4
1 3
5 18
1 9
1 36
(2)由题意知 η 的分布列为
η
1
2
3
a
bБайду номын сангаас
c
P a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c
所以 Eη＝a＋ab＋c＋a＋2bb＋c＋a＋3bc＋c＝53，
D(η)＝(1－53)2·a＋ab＋c＋(2－53)2·a＋bb＋c＋(3－53)2·a＋cb＋c ＝59，
化简得a2＋a－4bb－－141c＝c＝00，. 解得 a＝3c，b＝2c，故 a b c＝
第十二章 概率、随机变量及其分布
12.6 离散型随机变量的 均值与方差、正态分布
考纲要求
命题分析
1.理解取有
从近三年的高考试题来看，离散型随机变
限个值的离散型 量的均值与方差是高考的热点题型，以解答
随机变量均值、 题为主，也有选择、填空题，属中档题，常
方差的概念． 与排列组合概率等知识综合命题．高考均以
命题方向1 离散型随机变量的均值与方差
例 1 设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规 定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝 球得 3 分．
(1)当 a＝3，b＝2，c＝1 时，从该袋子中任取(有放回，且 每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得 的分数之和，求 ξ 的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机
变量 η 为取出此球所得分数．若 Eη＝53，Dη＝59，求 a b C．
[思路分析] (1)对取出球的颜色进行分类以确定得分值，进 而确定随机变量ξ的取值，计算相应的概率，再列出分布列 ；(2)先用a，b，c表示出随机事件的概率，列出随机变量η的 分布列，求出数学期望和方差，再把条件代入，列方程组求 出a，b，c的关系．
问题的直方图， 查，多以解答题形式出现．可能在注重基础
了解正态分布的 的前提下，选择实际问题更生活化，加强与
特点及曲线所表 概率、统计等知识的联系，加强能力要求，
示的意义.
增加思维量，难度提升到中等或中等偏难.
君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。 君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。 人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。 天生我材必有用，千金散尽还复来。 烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。 岑夫子，丹丘生，将进酒，杯莫停。 与君歌一曲，请君为我倾耳听。 钟鼓馔玉不足贵，但愿长醉不复醒。 古来圣贤皆寂寞，惟有饮者留其名。 陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑。 主人何为言少钱，径须沽取对君酌。 五花马，千金裘，呼儿将出换美酒，与尔同销万古愁
X的均值也称为X的_数__学__期__望_，它是一个数，记为EX，即EX ＝_a_1_P_1＋__a_2_P_2_＋__…__＋__a_r_P_r .均值EX刻画的是X取值的 _“_中__心__位__置__”． (2)方差 一般地，设X是一个离散型随机变量，用_E__(X__－__E_X_)_2来衡量 X与EX的平均偏离程度，E_(_X_－__E__X_)_2 __是(X－EX)2的期望， 并称之为随机变量X的方差，记为_D_X______． 方差越小，则随机变量的取值就越__集__中____在其均值周围； 反之，方差越大，则随机变量的取值范围就越__分__散____．
[方法总结] 求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1) 先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解．(2) 若随机变量 X～B(n，p)，则可直接使用公式 EX＝np，DX＝np(1 －p)求解．
命题方向2 均值与方差性质的应用 例 2 设随机变量 X 具有分布 P(X＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5， 求 E(X＋2)2，D(2X－1)， DX－1.