2013年北京(通 海 平)初三数学一模试卷及答案汇总.

海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习
数 学
2013.5
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2的相反数是
A. 2
B.2-
C.
2
1
D.21-
2．十八大开幕当天,网站关于此信息的总浏览量达5.5亿次.将5.5亿用科学记数法表示为
A. 8105.5⨯
B. 8
1055⨯ C. 7
55010⨯ D. 10
100.55⨯ 3．如图是某几何体的三视图，则这个几何体是
A. 圆柱
B. 正方体
C. 球
D. 圆锥
4．一个多边形的外角和是内角和的一半，则这个多边形的边数为
A. 5
B.6
C. 7
D. 8
5．小林在元宵节煮了20个元宵，其中10个黑芝麻馅，6个山楂馅，4个红豆馅（除馅料不同外，其它都相同）.煮好后小明随意吃一个，吃到红豆馅元宵的概率是
A ．
12 B ．13 C ． 15 D ．2
5
6.一副三角板如图放置，若∠1＝90︒，则∠2的度数为
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．90°
7.在篮球比赛中，某队员连续10场比赛中每场的得分情况如下表所示：
则这10场比赛中他得分的中位数和众数分别是
A.10, 4
B.10，7
C.7，13
D. 13，4
8.如图，△ABC 是等边三角形，6AB =厘米，点P 从点B 出发,沿
BC 以每秒1厘米的速度运动到点C 停止；同时点M 从点B 出发,沿
折线BA -AC 以每秒3厘米的速度运动到点C 停止.如果其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动.设点P 的运动时间为t 秒，P 、M 两点之间的距离为y 厘米，则表示y 与t 的函数关系的图象大致是
A. B. C. D.
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9． 分解因式：22369a b ab b -+= ．
10．若关于x 的一元二次方程2
30x x m -+=有实数根，则m 的取值范
围是 ．
11．如图,将正方形纸片对折，折痕为EF .展开后继续折叠，使点A 落在EF 上，折痕为GB ，则ABG ∠的正切值是 . 12. 如图1所示，圆上均匀分布着11个点12311,,,
,A A A A .从A 1起每
隔k 个点顺次连接，当再次与点A 1连接时，我们把所形成的图形称为“k +1阶正十一角星”，其中18k ≤≤（k 为正整数）.例如，图2是“2阶正十一角星”，那么1211A A A ∠+∠++∠=
°；当1211A A A ∠+∠+
+∠=900°时，k = .
图1 图2
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
E
D
C
B
A
13
01
12cos301)()8
-︒+-- ．
14．解不等式组：20,11.2
x x x +>⎧⎪
⎨-+≥⎪⎩
15．先化简，再求值：4212112--÷
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+x x x ，其中3=x ．
16.已知：如图，点A ，D ，C 在同一直线上，AB ∥EC ，
AC CE =，.B EDC ∠=∠
求证：.BC DE =
17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数x
y 2
-=的图象与一次函数k kx y -=的图象的一个交点为(1,)A n -． （1）求这个一次函数的解析式；
（2）若P 是x 轴上一点，且满足45APO ∠=︒，直接写出点P 的坐标．
18. 列方程（组）解应用题：
雅安地震灾情牵动全国人民的心．某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区，加工了300顶
帐篷后，由于救灾需要，将工作效率提高到原计划的2倍，结果提前4天完成了任务．求原计划每天加工多少顶帐篷.
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.如图，在四边形
ABCD 中，对角线AC ,BD 相交于点
E ,DAB ∠=CDB ∠=90︒,ABD ∠=45︒,∠DCA =30︒
,AB =.求AE 的长和△ADE 的面积．
=．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作20.已知：如图，在△ABC中，AB AC
DE⊥AC于点E.
(1)求证：DE与⊙O相切；
AB=，
(2)延长DE交BA的延长线于点F.若6
sin B求线段AF的长.
21. 下图为北京某天空气质量指数实时查询的一个结果.
为了解今年北京市春节假期空气质量情况，小静查到下表所示的某天15个监测子站的空气质量指数；小博从环境监测网随机抽取了某天部分监测点的空气质量情况，并绘制了以下两个统计图.
解答下列问题：
（1）小静查到的统计表中重度污染出现的频率为；
（2）计算小博抽取的监测点的个数，并补全条形统计图；
（3）据统计数据显示，春节期间燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因. 市民在今年春节期间自觉减少了购买和燃放烟花爆竹的数量，全市销售烟花爆竹37万余箱，比去年减少35%.求今年比去年同期少销售多少万箱烟花爆竹.（结果保留整数）
22.问题：如图1，a、b、c、d是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）.画出一个正方形ABCD，使它的顶点A、B、C、D分别在直线a、b、d、c上，并计算它的边长.
图1 图2
小明的思考过程：
他利用图1中的等距平行线构造了33⨯的正方形网格，得到了辅助正方形EFGH ，如图2所示, 再分别找到它的四条边的三等分点A 、B 、C 、D ，就可以画出一个满足题目要求的正方形.
请回答：图2中正方形ABCD 的边长为 . 请参考小明的方法，解决下列问题：
（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为60︒，边长为1）中，画出一个等边△ABC ，使它的顶点A 、B 、C 落在格点上，且分别在直线a 、b 、c 上；
（3）如图4，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行线，1l 、2l 之间的距离是21
5
，2l 、3l 之间的距离是21
10
，等边△ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，直接写出△ABC 的边长.
图3 图4
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-． （1）求B 点坐标； （2）直线
y =
1
2
x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；
②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当
图象G 与直线
y =
1
2
x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．
24．在△ABC 中，∠ACB ＝90︒．经过点B 的直线l （l 不
与直线AB 重合）与直线BC 的夹角等于ABC ∠，分别过点
C 、点A 作直线l 的垂线，垂足分别为点
D 、点
E ．
（1）若45ABC ∠=︒，CD =1（如图），则AE 的长
为 ；
（2）写出线段AE 、CD 之间的数量关系，并加以证明； （3）若直线CE 、AB 交于点F ， 5
6
CF EF =，CD =4，求BD 的长．
25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-++的顶点为C . (1) 求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）；
(2) 直线2y x =+与抛物线交于A 、B 两点，点A 在抛物线的对称轴左侧.
①若P 为直线OC 上一动点，求△APB 的面积；
②抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ，作点B 关于直线MC 的对称点'B . 以M 为
圆心，MC 为半径的圆上存在一点Q ，使得'QB 的值最小，则这个最小值为 .
B
C
平谷区2012～2013学年度第二学期初三统一练习 数 学 试 卷 2013．4
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1．3-的倒数是
A ．3
B ．3-
C ．
13 D ．13
- 2．最新统计，中国注册志愿者总数已超30 000 000人，30 000 000用科学记数法表示为 A ．7310⨯ B ．6310⨯ C ．630
10⨯ D ．5
310⨯ 3．如图，在□ABCD 中，
CE AB ⊥，E 为垂足．
如果125A =∠，则BCE =∠ A ．25
B ．30
C ．35
D ．55
4．某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号，7号题，第3位选手抽中8号题的概率是 A ．
1
7
B ．
18
C ．
19
D ．
110
5．如图，点D E F ，，分别是ABC △三边的中点，若ABC △的 周长为20cm ，则DEF △ 的周长为 A ．15cm
B ．
20cm 3
C ．5cm
D ．10cm
6．北京市2013年4月份某一周天气预报的日最高气温（单位：℃） 分别为13，14，17，22，22，15，15，这组数据的众数是 A ．22℃ B ．15℃
C ．C ︒22℃和15
D ．18.5℃
7．将函数2
67y x x =++进行配方，正确的结果应为 A ．2
(3)2y x =+-
B ．2
(3)2y x =++
C ．2(3)2y x =-+
D ．2
(3)2y x =--
A
E
B
C
D
8．如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直
角顶点A 在直线y =x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直
角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线k
y x
=(k ≠0) 与ABC ∆有交点，则k 的取值范围是 A ．12k << B ．13k ≤≤ C ．14k ≤≤ D ．14k <≤ 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．如果分式
3
1
x -的值为正数，那么x 的取值范围是_____________． 10．分解因式：324a ab -=__________ ．
11．如图，⊙O 的半径OA =6，弦AB =8，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 ．
12．如图1、图2、图3，在ABC △中，分别以AB AC 、为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD 、相交于点O ．如图4，AB AD 、是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边；AC AE 、是以AC 为边向ABC △外所作正n (n 为正整数)边形
的一组邻边．BE CD 、的延长相交于点O ．图1中BOC ∠= ； 图4中BOC ∠= （用含n 的式子表示）．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13
．计算： 0
11
()2013
2s i n 12
2
--+︒-． 14．已知2250x x --=，求2
1(21)(2)(2)4()2
x x x x x -++---的值．
15．已知：如图，AB ∥CD ，AB =EC ，BC =CD . 求证：AC =ED .
16．如果2-是一元二次方程2
80x mx +-=的一个根，求它的另一根． 17．如图，一次函数4+=mx y 的图象与x 轴相交于点A ， 与反比例函数)0(>=
x x
k
y 的图象相交于点(16)B ，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）设点P 是x 轴上一点，若18=∆APB S ,直接写出点P 的坐标．
O
P B
A
A
18．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间
的关系如下表：
若日销售量y 是销售价x 的一次函数．
（1）求出日销售量y （件）与销售价
x （元）的函数关系式；
（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润． 四、解答题（本题共20分，第小题5分） 19．已知：如图，四边形ABCD 中，90A ∠=︒，
120D ∠=︒，E 是
AD 上一点，∠BED=135
°，BE =
DC =2DE =
求(1)点C 到直线AD 的距离； （2）线段BC 的长．
20. 如图，AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，
CAB ∠的平分线交O ⊙于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 的延长线于点E ，连接BC 交AD 于点F .
（1）求证：ED 是O ⊙的切线；
（2）若108AB AD ==，，求CF 的长.
21．2010年4月，国务院出台“房贷新政”，确定实行更为严格的差别化住房信贷
政策，
对楼市产生了较大的影响．下面是某市今年2月~5月商品住宅的月成交量统计图（不
完整），请根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）该市今年2月~5月共成交商品住宅 套； (2）请你补全条形统计图；
（3）该市这4个月商品住宅的月成交量的极差是 套，中位数是 套．
22. 对于平面直角坐标系中的任意两点1
1
1
2
2
(,)()P x y P x y 2
、，，我们把1122x x y y -+-叫做
12
P P 、两点间的直角距离，记作1
2
()d P P ，． （1）已知点1
2
(3,4)(1)P P -、，1，那么12
P P 、两点间的直角距离1
2
()d P P ，=_____________；
（2）已知O 为坐标原点，动点()P x y ，满足()1d O P =，，请写出x 与y 之间满足的关系
式，并在所给的直角坐标系中画出所有满足条件的图形；
（3）设0
()P x y ，是一定点，()Q x y ，是直线y ax b =+上的动点，我们把0
()d P Q ，的最小值叫做点0
P 到直线y ax b =+的直角距离.
试求点(21)M ，到直线2y x =+的直角距离.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题23. 已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0. （1）判定方程根的情况；
（2）设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于
3
2
，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．
24．（1）如图(1)，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是 AB 、BC 上的点，且BD CE =，连接AE 、CD 相交于点P . 请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数；= （2）如图（2）,Rt △ABC 中，∠B =90°，M 、N 分别是 AB 、BC 上的点，且,AM BC =BM CN =，连接AN 、CM 相
交于点P . 请你猜想∠APM =
°，并写出你的推理过程
25．如图1，在直角坐标系中，已知直线1
12
y x =
+与y 轴交于点A ， 与x 轴交于点B ，以线段BC 为边向上作正方形ABCD . （1）点C 的坐标为（ ），点D 的坐标为（ ）； （2）若抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过C 、D 两点， 求该抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线 BA 向上平移，直至正方形的顶点C 落在y 轴上时， 正方形停止运动. 在运动过程中，设正方形落在y 轴
右侧部分的面积为s ，求s 关于平移时间t （秒）的函数关系式， 并写出相应自变量t 的取值范围.
通州区初三年级模拟考试
数学试卷
2013年5月
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上． 1．3-的倒数是
A ．3
B ．3-
C ．1
3-
D ．1
3
2．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是
A B C D
3．2012年，北京实现地区生产总值约17800亿元，比2011年增长百分之七点多.将17800
用科学记数法表示应为 A ．17.8×103
B ．1.78×105
C ．0.178×105
D ．1.78×
44．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，∠ABC =32°， 则∠AOC 的度数是 A ．32°
B ．64°
C ．16°
D ．58°
5．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.妈妈买了2只红豆粽和3只咸肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同．小颖任意吃一个，吃到红豆粽的概率是 A ．
25 B ．1
2
C ．
1
5
D ．
23
6. 一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的面积是 A ．6π
B ．4π
C ．2π
D ．π
7．某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动. 为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表：
关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是 A ．平均数是2.5 B ．中位数是3
C ．众数是2
D ．方差
是4
8． 如图，在直角坐标系xoy 中，已知()01A ，，)
B
，以线段AB 为边向上作菱形
ABCD ，且点D 在y 轴上.若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行，
直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ，则表示S 与滑行时间t 的函数关系的图象为
第8题图（1） 第8题图（2）
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式
2
x x
-的值为零，则x = ． 10．分解因式：32
2x x x -+= ．
11．如图，AB ∥CD ，点E 在AB 上，且DC DE =，
70AEC ∠=︒，则D ∠的度数是______.
12．定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为31n +；②当n 为偶数时，
结果为
k
n 2
（其中k 是使得
k
n 2
为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取6n =，
则：12363105F F F −−−→−−−→−−−→① ②②
第次第次第次
……，若1n =，则第2次“F 运算”的结第11题图
C
D
A E B
果是 ；若13n =，则第2013次“F 运算”的结果是 . 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13
．计算：(
1
23tan302--+o
14．解不等式组20512(1)x x x -<⎧⎨+>-⎩，
．
15. 已知：如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且使AE ＝AD .求证：∠B ＝∠C .
16．化简求值：2221y x y
x y x
⎛⎫-+ ⎪
-⎝⎭g ，其中30x y -=，且0y ≠.
17．已知(42)A -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m
y x
=图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）将一次函数y kx b =+的图象沿y 轴向上平移n 个单位长度，交y 轴于点C ，
若12ABC S =V ，求n 的值.
18. 列方程或列方程组解应用题：
E
C
A D B
根据城市发展规划设计，某市工程队为该城市修建一条长4800米的公路.铺设600米后，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果共用9天完成任务.问原计划每天修建公路多少米? 四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．某中学组织全校1000名学生参加了有关“低碳环保”知识竞赛．为了解本次知识竞赛
的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）直接写出频数分布表中a ，b 的值，补全频数分布直方图；
（2）学校将对成绩在90分以上（不含90分）的学生进行奖励，请估计全校1000名学生
中约有多少名获奖？
20．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC DCE 是等边三角形，DE 交AB 于点F ，
求△BEF 的周长．
21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦．过点A 作∠BAC 的角平分线，交⊙O 于点D ，
过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ．
/分
A D
F
E
B C
（1）求证：直线ED 是⊙O 的切线；
（2）连接EO ，交AD 于点F ，若5AC =3AB ，求EO
FO
的值．
22. 如图所示，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°），菱形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点，沿CE 将菱形ABCD 剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上． （1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；
（2）若所拼成的直角三角形、等腰梯形、矩形的面积分别记为S 1、S 2、S 3，周长分别
记为l 1、l 2、3l ，判断所拼成的三种图形的面积、周长的大小关系（用“=”、“＞”、“＜”、“≤”或“≥”连接）：
面积关系是 ； 周长关系是 ．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
第22题图
（矩形）
（等腰梯形）
（直角三角形）
第22题图
23. 已知二次函数()2
214y x k x k =-++的图象与x 轴分别交于点()1,0A x 、()2,0B x ，
且32-
<1x <1
2
-． （1）求k 的取值范围；
（2）设二次函数()2
214y x k x k =-++的图象与y 轴交于点M ，若OM OB =，求二次
函数的表达式；
（3）在(2)的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平
行四边形的第四个顶点F 在二次函数()2
214y x k x k =-++的图象上，请直接写
出满足上述条件的平行四边形的面积.
24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB
的两侧.
（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；
（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小.
25．我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线
与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，二次函数2
23y x x =--的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点D ，AB 为半圆直径，半圆圆心为点M ,半圆与y 轴的正半轴交于点C . （1）求经过点C 的“蛋圆”的切线的表达式；
A D
B
C
（2）求经过点D 的“蛋圆”的切线的表达式；
（3）已知点E 是“蛋圆”上一点（不与点A 、点B 重合），点E 关于x 轴的对称点是F ，
若点F 也在“蛋圆”上，求点E 的坐标.
通州区初三数学模拟考试参考答案及评分标准
2013．5 一、选择题：
1．C 2．C 3．D 4．B 5．A 6．D 7．B 8．A 二、填空题：
9. 2x =； 10. ()2
1x x -； 11. 40 ； 12. 1，4；
三、解答题： 13. 解：原式=
1312-+， ……………… 4分；
=
1
12
+，
=
3
2
+……………… 5分. 14. ()205121x x x -<⎧⎨
+>-⎩，
．①②
解：解不等式①，得 2x <， (1)
分；
解不等式②，
5122x x +>-， ……………… 2分； 5221x x ->--， ……………… 3分； 33x >-，
1x >-， ……………… 4分；
第25题图
∴这个不等式组的解集是12x -<< . (5)
分.
15. 证明：在△ABE 和△AC D 中
∵ .AB AC A A AE AD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，， ……………… 3分；
∴△ABE ≌△ACD （SAS ）. ……………… 4分；
∴B C ∠=∠. ……………… 5分.
16． 解：原式=x y
x y x y y x y x -∙⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+--2222222，
x y
x y x x -∙-=2
22， ……………… 1分； x
y
x y x y x x -∙
-+=))((2， ……………… 2分； =
x
x y
+. ……………… 3分； 由30x y -=，得3x y =， ……………… 4分； ∴原式=
33y y y +=34y y =3
4
. ……………… 5分.
17. 解：(1) 把(42)A -，，(24)B -，分别代入y kx b =+和m
y x
=
中， ∴42244.2
-=k b k b m ⎧
⎪-+=⎪
+=-⎨⎪⎪⎩，， ……………… 1分；
解得：128.k b m =-⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
，， ……………… 2分；
∴反比例函数的表达式为8
y x
=-
，一次函数的表达式为2y x =-- ； （2）设一次函数2y x =--的图象与y 轴的交点为D ,则()0D ，-2，
第15题图E
D
C
(3)
分；
∵12=∆ABC S ， ∴
1222
1
421=∙∙+-∙∙CD CD ， ……………… 4分；
∴4CD =，
∴4n =. (5)
分.
18. 解法一:
解：设原计划每天修建公路x 米, 则实际每天修建公路2x 米， …… 1分；
根据题意得：
600480060092x x
-+=， ……………… 3分； ∴
2700
9x
=， ∴300x =.
经检验：x =300是原方程的解，且符合实际问题的意义. ……………… 4分； 答： 原计划每天修建公路300米. ……………… 5分. 解法二：
解：设铺设600米用x 天, 则增加人力和设备后，用()9x -天完成任务.
……………… 1分； 根据题意得：6004800600
29x x
-⨯=-， ……………… 3分； 解得：2x =.
经检验：2x =是原方程的解，且符合实际问题的意义. ……………… 4分； ∴
600
3002
=， 答：原计划每天修建公路300米. ……………… 5分. 四、解答题
19. （1）0.05a =，24b =. ……………… 2分； 补全频数分布直方图正确； ……………… 4分； （2）0.371000370⨯=. ……………… 5分. 估计全校1000名学生中约有370名获奖.
20．
解法一：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，
∴30ADF ECB ∠=∠=o ，3ED EC ==， 在Rt △ADF 中，90A ∠=o
，AD =
∴tan AF
ADF AD
∠=，
tan 30=
=o ∴1AF =， ∴312FB AB AF =-=-=，2FD =， ……………… 1分； ∴321EF ED DF =-=-=， ……………… 2分； 过点E 作EG CB ⊥，交CB 的延长线于点G . ……………… 3分；
在Rt △ECG 中，90EGC ∠=o ，3EC =，30ECG ∠=o
，
∴1322EG EC =
=，cos GC ECG EC
∠=，
cos 303GC ==
o
∴GC =
∴GB GC BC =-=
由勾股定理得，222
EB EG GB =+，
∴EB = ……………… 4分； ∴△BEF 的周长
=3EF FB EB ++=……………… 5分. 解法二：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，
∴60EDC ECD ∠=∠=o
，3ED EC ==，
过点E 作EH CD ⊥交CD 于点H ，交AB 于点G . ……………… 1分； ∴点H 是DC 的中点，点G 是AB 的中点，
30FEG ∠=o
，GH AD ==
G 第20题图
A B
D
E
F
在Rt △EHD 中，90EHD ∠=o ，3ED =， ∴sin EH
EDH ED
∠=
，
sin 603EH ==
o
∴EH =
∴EG EH GH =-=
=. 在Rt △EGF 中，90EGF ∠=o ，60EFG ∠=o ， ∴sin EG EFG EF
∠=
，
sin 260EF ==
o ∴1EF =， ……………… 2分； ∴1122
FG EF =
=， ∵点G 是AB 的中点，3AB =，
∴1322
GB AB =
=， ∴13
222
FB FG GB =+=+=， ……………… 3分；
由勾股定理得，222
EB EG GB =+，
∴EB = ……………… 4分； ∴△BEF 的周长
=3EF FB EB ++=……………… 5分. 解法三：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，
∴30ADF ECB ∠=∠=o
，3ED EC ==，
在Rt △ADF 中，90A ∠=o
，AD = ∴tan AF
ADF AD
∠=，
tan 30=
=o ∴1AF =，
H F E D C
B
A 第20题图
G
∴312FB AB AF =-=-=，2FD =， ……………… 1分； ∴321EF ED DF =-=-=， ……………… 2分； 过点B 作BG CE ⊥，交CE 于点G . ……………… 3分； 在Rt △BCG 中，90BGC ∠=o
，BC =，30ECB ∠=o ，
∴122
BG BC =
=
，cos GC BCG BC ∠=，
cos 302==o ， ∴32
GC =
， ∴33
322
GE EC GC =-=-=，
由勾股定理得，222EB EG GB =+，或BG 是线段EC 的垂直平分线，
∴EB =BE =BC ， ………… 4分； ∴△BEF 的周长
=3EF FB EB ++=……………… 5分.
21． (1)证明：连接OD.
∵OD OA =，
∴OAD ODA ∠=∠，
∵AD 平分BAC ∠，
∴BAD CAD ∠=∠，
∴ODA CAD ∠=∠， ……………… 1分； ∴AE ∥OD ， ∵DE AE ⊥， ∴ED DO ⊥，
∵点D 在⊙O 上，
∴ED 是⊙O 的切线； ……………… 2分；
（2）解法一：连接CB ,过点O 作OG AC ⊥于点G .…………… 3分； ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=o
， ∵OG AC ⊥，
第21题图
G 第20题图
A
B
C
D
E
F
∴OG ∥CB ， ∴
AG AC
AO AB
=， ∵5AC =3AB ，
∴
3
5
AG AO =， ……………… 4分； 设35AG x AO x ==，， ∵DE AE ⊥，ED DO ⊥， ∴四边形EGOD 是矩形， ∴EG OD =，AE ∥OD ，
∴5DO x =，5GE x =，8AE x =, ∴△AEF ∽△DFO ，
∴
EF AE
FO OD =， ∴
8
5EF FO = ， ∴
13
5
EO FO =. ……………… 5分．
解法二：连接CB ,过点A 作AH DO ⊥交DO 的延长线于点H . ………… 3分； ∵DE AE ⊥，ED DO ⊥， ∴四边形AHDE 是矩形， ∴EA DH =，AE ∥HD ，AH ∥ED ，
∴CAB AOH ∠=∠， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=o
， ∴ACB AHO ∠=∠， ∴△AHO ∽△BCA ， ∴
OH AC
AO AB
=， ∵5AC =3AB ，
∴
3
5
OH AO =， ……………… 4分； 设35OH x AO x ==，，
第21题图
∴5DO x =，8AE DH x ==, ∵AE ∥HD ，
∴△AEF ∽△DFO ，
∴
EF AE
FO OD =， ∴
8
5EF FO = ， ∴13
5
EO FO =. ……………… 5分． 解法三：连接CB ,分别延长AB 、ED 交于点G . ………… 3分； ∵DE AE ⊥，ED DO ⊥， ∴AE ∥OD ，90ODG ∠=o ，
∴CAB DOG ∠=∠， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=o ， ∴ACB ODG ∠=∠， ∴△GDO ∽△BCA ， ∴
OD AC
OG AB
=， ∵5AC =3AB ，
∴
3
5
OD OG =， ……………… 4分； 设35OD x OG x ==，，
∴5AO x =，8AG AO OG x =+=, ∵AE ∥OD ，
∴△AEG ∽△ODG ，△AEF ∽△DFO ，
∴ AG AE
OG OD
= ， EF AE FO OD =， ∴
8
5EF FO = ， ∴
13
5
EO FO =. ……………… 5分. 22.(1)
第21题图
画图正确； 每图各1分，共3分；
(2)面积关系是 S 1=S 2=S 3 ； ……………… 4分； 周长关系是 l 1>l 2>3l ． ……………… 5分. 五、解答题： 23.
解：(1)令0y =，则()2
2140x k x k -++=
解方程得：2x k =或2x =， ……………… 1分； 由题意得：()20A k ，，()20B ，
， ∴ 31
222-k <<-， ∴31
44
k -<<-. ……………… 2分；
(2)令0x =，则4y k =， ∴()04M k ，， ∵OM OB =，
∴ 42k -=， ……………… 3分； ∴ 1
2
k =-
， ∴2
2y x x =--. (4)
分；
或∵OM OB =，()20B ，， ∴()0M ，-2，
把点M 的坐标分别代入()2
214y x k x k =-++中，
∴42k =-， ……………… 3分； ∴ 1
2
k =-
，
∴22y x x =--. (4)
分；
(3)2
，5
，5. （每个答案各1分） ……………… 7分． 24． 解：（1）过点A 作AG BC ⊥于点G . ∵∠ADB=60°，2AD =， ∴1DG =
，AG ∴ 3GB =，
∴
tan 3
AG ABG BG ∠=
=
， ∴30ABG ∠=o
，AB = ……………… 1分； ∵ △ABC 是等边三角形，
∴ 90DBC ∠=o
，BC = ……………… 2分；
由勾股定理得：
CD =
==…… 3分；
（2）作60EAD ∠=o
，且使AE AD =，连接ED 、EB . ………… 4分；
∴△AED 是等边三角形，
∴AE AD =，60EAD ∠=o
，
∵ △ABC 是等边三角形，
∴AB AC =，60BAC ∠=o
，
∴EAD DAB BAC DAB ∠+∠=∠+∠， 即EAB DAC ∠=∠，
∴△EAB ≌△DAC . ……………… 5分； ∴EB =DC .
当点E 、D 、B 在同一直线上时，EB 最大，
∴246EB =+=， ……………… 6分； ∴ CD 的最大值为6，此时120ADB ∠=o
. (7)
分.
另解：作60DBF ∠=o
，且使BF BD =，连接DF 、AF .
参照上面解法给分. 25．
G
第24题图
D C
B
A 第24题图E
C
B
A F
A
B
C
D
第24题图
解：（1）由题意得：()10A -，，()30B ，，()03-D ，，()10M ，. ∴2AM BM CM ===，
∴OC =
∴(0C
∵GC 是⊙M 的切线， ∴90GCM ∠=o
∴cos OM MC
OMC MC MG
∠=
=， ……………… 1分； ∴
122MG
=， ∴4MG =，
∴()30G -，，
∴直线GC
的表达式为y x =
……………… 2分； （2）设过点D 的直线表达式为3y kx =-，
∴2
323,
y kx y x x =-⎧⎨
=--⎩，
∴()2
20x k x -+=，或1202x x k ==+，
0)]2([2=+-=∆k ，或12x x =， (3)
分；
∴2k =-，
∴ 过点D 的“蛋圆”的切线的表达式为23y x =--. (4)
分；
（3）假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，设()E m n ，，则点F 的坐标为()m n -，. EF 与x 轴交于点H ，连接EM . ∴222
HM EH EM +=，
∴()2
2
14m n -+=，……① ………… 5分；
∵点F 在二次函数2
23y x x =--的图象上，
∴2
23m m n --=-，……②
解由①②组成的方程组得：11m n ⎧=+⎪⎨
=⎪⎩11
m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩0n =舍去)
……………… 6分；
由对称性可得：11m n ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩11
m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩……………… 7分；
∴()
11E +，()21E ，()311E -，()
411E -. (8)
分.。