高二数学寒假作业 专题02 曲线和方程(学)

专题二 曲线方程
学一学------基础知识结论
1．曲线的方程和方程的曲线的概念：
1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．求曲线方程的一般步骤：
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(,)x y 表示曲线上任意一点M 的坐标；
坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程也比较简单，否则，如果坐标系选取不当，则会增加运算的复杂程度.
建立坐标系的基本原则：
１、让尽量多的点落在坐标轴上．
２、尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.
建立适当的坐标系是求曲线方程首要一步，应充分利用图形几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为坐标原点；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系.
(2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝(){}|M p M ；
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)＝0；
(4)化方程f(x ，y)＝0为最简形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 方程化简过程中如果破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．
学一学------方法规律技巧
1．直接法求轨迹方程
若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接建立联系，这时设动点坐标
（x,y)，就可根据命题中已知条件所包含的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有的关系式，进而求轨迹方程，称为直接法．
例1. 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A(－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜
率之积等于－13
.求动点P 的轨迹方程．
2.相关点法求
轨迹方程
利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知曲线上的动点，具体地说，
就是用所求动点的坐标（ｘ，ｙ）来表示已知曲线上动点的坐标，并代入已知的曲线方程，即可求得所求动点的轨迹方程．
例2. 已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．
3. 定义法求轨迹方程
如果所给几何条件正好符合所学过的已知曲线的定义，则可直接利用已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
例3. 在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B(
a
2
,0),C(
a
2,0) (a>0)且满足条件sin C-sin B=
1
2sin A,求
动点A的轨迹方程。

4．待定系数法
已知所求曲线类型，先设出曲线的方程，再应用已知条件求出参数的值，从而求得轨迹方程．
例4．直线l1⊥l2，垂足为M，点N∈l1，以A，B为端点的曲线C上任一点到l2的距离与到N点的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝17，|AN|＝3，且|BN|＝6，建立适当的坐标系，求曲线C的方程．。