函数曲线的凹凸性和拐点

函数曲线的凹凸性和拐点
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第四模块 微、积分学的应用
习题4—6
函数曲线的凹凸性和拐点
1．设函数y=f(x)在区间（a,b ）内二次可导，且y 〉0， >0, 〈0，则曲线y=f （x)在（a ，b ）内位于x 轴上方，单调递增且凸向上。

对吗？ 解：对.
2．设函数y=f （x)在区间(a ，b ）内二次可导，且<0， >0,则曲线y=f （x)在(a,b)单调递减且凹向上。

对吗？ 解：对。

3．求曲线y=+x —1的凹凸区间及拐点。

解：=3-12x+1，=6x —12，令=0,解得:x=2 ，在 (,2） 内， <0， 凹区间,在（2,）内, >0 ，为 凸区间， x=2,y=-15。

（2,—15）是拐点。

4． 求y=x+的凹凸区间及拐点。

解:=1— ，=，x=1，不存在，在 (，1） 内, 〈0, 凹区间，在（1,）内， >0 ，为 凸区间，无拐点。

5．已知函数y=a +b +cx+d 有拐点（—1，4），且在x=0处有极大值2,求a ，b,c ，d 的值。

解：=3a +2bx+c ，因为在x=0处有极大值2，所以，d=2，c=0，而=6ax+2b ，有拐点（-1，4）,有-6a+2b=0,4=—a+b+2，得a=1，b=3。

6．证明曲线y=xsinx 上所有的拐点均位于曲线（4+）=4上
证明：只需证明曲线y=xsinx 上所有可能是拐点的坐标满足方程(4+）=4
=sinx+xcosx ，
=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx
令=0，得: 2cosx —xsinx=0 （1）
又 y=xsinx （2） 由（1）得 x=2cotx （3)
将（2）（3）代入（4+)=4中,两边相等，证得所有拐点在(4+）
=4上。

7．在整个实数轴上有界的函数必具有水平渐进线.对吗？
解:不对，例如y=sinx 在R 上有界,但无水平渐进线。

8．若f(x)=c ，则曲线y=f(x ）有水平渐进线y=c 。

对吗? 解：对。

y 'y ''y 'y ''32
6x x -y '2
x y ''y ''-∞y ''+∞y ''1x
x -y '21(1)x -y ''3
2(1)x -y ''-∞y ''+∞y ''3x 2
x y '2
x y ''2y 2x
2
x
2y 2
x
2
x y '
y ''y ''2y 2x
2
x
2y 2x
2
x
lim
x →+∞
9．曲线
y=仅有垂直渐进线x=1。

对吗？ 解： 不对。

还有水平渐进线 y=1。

10．研究函数y=+9x —482—85的性态，并作出图形。

解：函数的定义域为（,），=3-12x+9=3(x-1）（x-3),令=0，
解得： x=1，x=3
，=6x-12，令=0，解得:x=2,列表讨论：
作图
11．研究函数y= x 的性态，并作出图形.
，），=—2，令=0，解得： x=
=—2x —4x +4=x （4—6），令=0，解得：x=0,x= ，因为函数是奇函数，关于原点对称，只要作出（，0）,即可得到
它的图形. 列表讨论：
22
321
x x x ++-32
6x x --∞+∞y '2
x y 'y ''y ''2
x e --∞+∞y '2x e -2
x 2
x e -y '±y ''2x e -2x e -3
x
2x e -2x e -2x y ''-∞
作图
12．研究函数y=的性态，并作出图形。

解:函数的定义域为（，），= ，令=0，解得： x=0，
=
，令=0,解得：x= ，因为函数是偶函数，关于y 轴对称，只要作出（,0），即可得到它的图形。

列表讨论：
作图
2
2
1
x
x +-∞+∞y '
22
2(1)
x x +y 'y ''
22328(1)x x -+y ''1
2
±
-∞。