高等数学课件D104重积分的应用

2
2
F F F x
y
r2a2 2 F y1ADydxdy
z
z
zh(t)2(xh2(t)y2)
Dz[x y (za) ]2 a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 9h(t)0,
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例3. 计算双曲抛物面
被柱面 AD 1zx2zy2dxdy所截
出的面积 A .
dxdy 解: 曲面在 xOy 面上投影为V dxdydz则
x2y2z2R2 — 对 x 轴的 静矩
π
r2sin Fz
—对y 静矩
轴的
3 2
得D 的形心坐标: AD 1( xz)2( yz)2dxdy
Dz[xF2y2(za)2] 2 z
xDxdxdy , ( A 为D 的面积) A
a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 15h(t)0,
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转动惯量.
dxdy 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设球所占
x Fz
域为 ( x2y2)dxdydz则
Fz
Fz 2 π a5
5
(用球坐标)
y
r(xx0)2(yy0)2(zz0)2
:x 2 y 2 z 2 a 2 ,
3 M4πa3 2 l 2 2 3
Fz 0,
F z
球体的质量
k 1
n
(k ,k , k )vk
k 1
将第
k
块看作质量集中于点
的质点, hz(3z)2dz 09
此质点
dxdy 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 例如,
ydxdydz
y
,
3 V
令各小区域的最大直径 即得 Iz(x2y2)(x,y,z)dxdydz
Dz[x2D y2(za)2] 2 a
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2R
dxdy zf(x,y),
asind Fz x
d
Fz
Dxy
3 h3(33h1h2) 9 25
D[x2y2(za)2]2 z
7
3
a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 18h(t)0,
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dxdy 四、物体的转动惯量
因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算.
x xdxdydz, (记所围域为D ) V
F h ( t
0
z
) d 2x0x2y0y1x02yz 02
2 2 2 32 F F zz 令 x x 0 r c, o y y s 0 r sin
Dz[x y ( za:)π]
π 2
(xx0)2(yy0)21Fz
a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 5h(t)0,
Fz
y
Dz[x2y2(za)2] 2 a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 21h(t)0,
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例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径
的转动惯量.
dxdy 解:
建立坐标系如图,
Ix
y2dxdy
D
Fz
Fz
Gdd2
Fz
z A
1 a4
a 4
3 M
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 20h(t)0,
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dxdy 如果物体是平面薄片, 面密度为 Fz
则转动惯量的表达式是二重积分.
M y D y ydxdy A
V dxdydz
F G [x2y2 z z (z aa)2]32dv
Fz
3 x D D D1x ((x dx xd,y,y y )) d d x x d d y y
dxdy 第四节
第十章
重积分的应用
2 2 2 32 2acosr2dr
Dz[x y (za) ] 0
一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转,y)dxdy D0 1h(t)0,
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1. 能用重积分解决的实际问题的特点:
2 2 2 2 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心
Dz[x y (z 公式,即:
a) ] a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 12h(t)0,
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将 分成 n 小块, 在第 k 块上任取一点 x
n
k (k ,k , k )vk
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dxdy 一、立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面 V 9h3(9 22h1 4h2)x2y2R2,
则其体积为
为 (x,y),
• 占有空间有界域 的立体的体积为
3 M
Dz[x2y2(za)2] 2 a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 3h(t)0,
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2 F
2π
d
2a2M
Dz[x y (za) ] 0
5
z
πsin3 d 0
a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 23h(t)0,
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例8.求密度为 的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的
转动惯量.
dxdy 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设球所占
dxdy 例5. 求位于两圆 Fz 和
的质心.
解: 利用对称性可知 y
Mx M
之间均匀薄片
2 116(hx22(t)y2)
而 (x2y2)(x,y,z)dv
x mk(k1,2,,n),
zzdxdydz
V
Fz
Fz
Dxy
3 z
n
zk m k
k 1
n
mk
k 1
(x2 y2)
D 2 2 h M 2 2 S:zf(x,y),(x,y)DdcodsA
dxdy 所求量是
分布在有界闭域上的整体量 对区域具有可加性
2. 用重积分解决问题的方法:
—— 用微元分析法 (元素法)建立积分式
3 3.解题要点: 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 2 2 2 2 定出积分限、计算要简便
Dz[x y (za) ] a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 2h(t)0,
解: 方法1 利用球坐标方程.
y
Fz
dxdy 设球面方程为 C
球面面积元素为
asin
z A
4x
3 4πa2
Fz
r2rdrd
D
z
Fz
Fz
Fz
2 2 2 方法2 利用直角坐标方程. (略)
Dz[x y (za) ]2 a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 11h(t)0,
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Dz[x y (za) ]2 a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 8h(t)0,
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dxdy zxy 若光滑曲面方程为 Fz 则有
zdxdydz
若光滑曲面方程为隐式 且 Fz 则 zF x, zF y, x F z y F z
(x,y) D xy
z0, 3 2
a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 4h(t)0,
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dxdy 例1. 求曲面
z zdxdydz 任一点的切平面与曲面 V
D 所围立体的体积 V .
解: 曲面Fz 在点 (xk,yk,zk),的切平面方程为
S 2:zx2y2 它与曲面 x2 y2 的交线在 xOy 面上的投影为
Fz
2 4πa3(1co4s)
Dz[x y (z0 a )2]π 3
a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 6h(t)0,
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二、曲面的面积
设光滑曲面
562π2sin4d
9π 0
2 2π R
d
1r2rdr
00
M2(x,y,z)
2
dxdyD:x yna 则面积 A 可看成曲面上各点 常数时 ,
1πa2
2
1 4
M
a2
(r2s2icn2or2s2isn2i)n
半圆薄片的质量 2 1 π
2 2 2 2 2
2 dA1fx2(x,y)fy2(x,y)d
Dz[x y (za) ] a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 22h(t)0,
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例8.求密度为 的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的
其坐标为
3 D:xyR, h 0 dzDz dxdy
22 2
d
Fz
Dxy
2 2 2 采用柱坐标, 则炉壁方程为 Fz 因此
D 2 F(x,y,z)0, x2y2R2
n
yk m k
y
k 1 n
,
mk
z[x y (za) ]k1
a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 17h(t)0,
三、物体的质心
设空间有n个质点, 分别位于 D 1x2y2dxdy其质量分别
dxdy 为3 1 π0 πsin d由力学知, 该质点系的质心坐标
为
zz(x,y,z)dxdydz
(x0,y0,z0) (k,k,k)3, (x,y,z)dxdydz
设物体占有空间域 , 有连续密度函数 S1:zx2y21则
3 4
1 2
z[x y (za) ] a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 16h(t)0,
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例6. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线
的方程为 2
2 3
1 若炉
dxdy 内储有高为 h 的均质钢液, 不计炉体的
asind 自重, 求它的质心.
解: 利用对称性可知质心在 z 轴上，故
dxdy 例1. 求曲面 z zdxdydz 任一点的切平面与曲面 V
D 所围立体的体积 V .
分析:
Fz
z zdxdydz V
z
第一步: 求切平面 方程;
第二步: 求 与S2的交线
在xOy面上的投影,
3
写出所围区域 D ;
(k,k,k)
D第三步: 求体积V .
2 2 2 2 Fz
Dz[x y (za) ] (示意图)
4sinr2dr
2sin
d
n(x2y2a2)32
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 7h(t)0,
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dxdy 故有曲面面积公式 Fz
即 dAa2sindd
若光滑曲面方程为 dxd y则有
2 2 2 3 x g yh(z,x)(,(z,x)Dy zx, ,z),(y,z) D yz,
设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数
R
(za)
dz 该物体位于(x , y , z) 处的微元
R
对 z 轴的转动惯量为
3 9r2z(3z)2, Fz 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:
2 2 2 2 h (t )
y
Dz:x2y2[12h2(t)h(t)z]
Fz Fz
z
Dz[x y (za) ] a
(x x 0 )2 (y y 0 )2 dF
(x,y,z),
dI 3 2π[(1R2)321)]
Fz
z 3
V dxdydz
2 2 2 2 Fz
y
Dz[x y (za) ] a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 10h(t)0,
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例4. 计算半径为 a 的球的表面积.
R
0
y0 处小切平面的面积 d A 无限积累而成.
设它在 D 上的投影为 d , 则 dxdy
Fz
Fz
d 56 2 (x2y2a2)32 9 π
3 A
1(x)2(x)2dydz y z
cos 1 1fx2(x,y)fy2(x,y)
Fz
M(x,y,z)
2y 2 2 2 (称为面积元素)
Dz[x y (za) ] a
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dxdy 例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的
内接锥面所围成的立体的体积.
y dvr2sidnddr
解: 在球坐标系下空间立体所占区域为
Mx
dv
Ga Vdxdydz
2
0
π
d
则立体体积为
x
My M
zFz
Fz
Fz
2 k 2 3 1π6a3 co3ssind 2 3 0
Dz[R x2y2(z 2 2 3 1 πD r2si nd rd
a) ] a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 14h(t)0,
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若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片,其面密度 IxD (x,y)dxdy则它的质心坐标为
0dxdyzh9600340h0h54hh22
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 19h(t)0,
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类似可得: 对 x 轴的转动惯量
dxdy Iy h(0 )130(x ,y ,z )d x d y d z
对 y 轴的转动惯量
Fz D0
对原点的转动惯量
3 Fz
Dz[x2y2(za)2] 2 a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 13h(t)0,
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dxdy 同理可得 56πsin4d 9π 0
n
xk m k
x
k 1 n
,
mk
k 1
VD f(x,y)dxdy则得形心坐标：
3 V dxdydz为的体积yDy(x,y)dxdy
D(x, y)dxdy