《高考调研》2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习作业6集合、复数、逻辑用语Word版含解析

小题专练·作业(六)
一、选择题
1．已知i 为虚数单位，复数z 满足z(1－i)＝1＋i ，则z 2 016＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i
答案 A
解析 依题意，得z ＝1＋i 1－i ＝（1＋i ）22＝i ，故z 2 016＝i 2 016＝i 4×504
＝1.
2．设非空集合P 、Q 满足P ∩Q ＝P ，则( ) A ．∀x ∈Q ，有x ∈P B ．∀x ∉Q ，有x ∉P C ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈P D ．∃x 0∈P ，使得x 0∉Q 答案 B
解析 因为P ∩Q ＝P ，所以P ⊆Q ，则∀x ∈P ，有x ∈Q ，所以∀x ∉Q ，必有x ∉P. 3．在等差数列{a n }中，“a 1<a 3”是“数列{a n }是单调递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C
解析 设{a n }的公差为d ，则a 1<a 3⇔a 1<a 1＋2d ⇔0<d ，故“a 1<a 3”是“数列{a n }是单调递增数列”的充要条件． 4．(2016·南昌一模)已知集合A ＝{x|y ＝x －x 2}，B ＝{x|y ＝ln(1－x)}，则A ∪B ＝( ) A ．[0，1] B ．[0，1) C ．(－∞，1] D ．(－∞，1)
答案 C
解析 因为A ＝[0，1]，B ＝(－∞，1)，所以A ∪B ＝(－∞，1]．故选C. 5．(2016·湖南四校联考)下列命题中，是真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ex 0≤0 B ．∀x ∈R ，2x >x 2
C ．已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是a
b ＝－1
D ．已知a ，b 为实数，则a>1，b>1是ab>1的充分条件 答案 D 解析
6.(2016·石家庄质检二)设集合M ＝{－1，1}，N ＝{x|1
x <2}，则下列结论正确的是( ) A ．N ⊆M B ．M ⊆N C ．M ∩N ＝∅ D ．M ∪N ＝R
答案 B
解析 ∵1x －2<0，即2x －1x >0，解得x<0或x>12，∴N ＝(－∞，0)∪(1
2，＋∞)，又M ＝{1，－1}，∴可知B 正确，A ，C ，D 错误，故选B.
7．(2016·湖北七校)复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，z －为z 的共轭复数，则下列结论正确的是( ) A.z －的实部为－1 B.z －的虚部为－2i C ．z ·z －＝5 D.z －z ＝i 答案 C
解析 依题意，z －＝1－2i.
A ．∃x 0∈[－2，＋∞)，x 0＋3<1
B ．∃x 0∈[－2，＋∞)，x 0＋3≥1
C ．∀x ∈[－2，＋∞)，x ＋3<1
D ．∀x ∈(－∞，－2)，x ＋3≥1 答案 A
解析 依题意，将全称量词改成存在量词，再将结论否定，就可得全称命题的否定，故选A.
9．(2016·江西九校)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a>0”是“点M 在第四象限”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 z ＝(a ＋2)＋(1－2a)i ，其在复平面内对应的点M 的坐标(a ＋2，1－2a)．若它在四象限，则⎩⎨⎧a ＋2>0，1－2a<0，解得a>1
2.所以a>0不能得出点M 在第四象限，但点M 在第四象限能得出a>0，故“a>0”是“点M 在第四象限”的必要不充分条件． 10．(2016·福州调研)命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0 B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ≠0且b ≠0，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0 答案 D
解析 逆否命题的条件和结论分别是原命题结论的否定和条件的否定，即条件和结论互换且同时否定．对于“a ＝0且b ＝0”的否定形式为“a ≠0或b ≠0”，而不是“a ≠0且b ≠0”．
11．(2016·太原四校)已知集合A ＝{x|3x <1}，集合B ＝{y|y ＝t －2t －3}，则A ∩B
＝( )
A．(－∞，2] B．(3，＋∞) C．[2，3) D．(0，3)
答案 B
解析由3
x<1，得
x－3
x>0，因而x>3或x<0，即A＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，
设m＝t－3≥0，则t＝m2＋3，因而y＝m2＋3－2m＝(m－1)2＋2，所以B＝[2，＋∞)，从而A∩B＝(3，＋∞)，故选B.
12．(2016·贵州监测)下列说法中正确的是()
A．命题“∀x∈R，e x>0”的否定是“∃x∈R，e x>0”
B．命题“已知x，y∈R，若x＋y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题
C．“x2＋2x≥ax在x∈[1，2]恒成立”⇔“对于x∈[1，2]，有(x2＋2x)min≥(ax)max”D．命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为真命题
答案 B
解析全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，綈p(x)”，故命题“∀x ∈R，e x>0”的否定是“∃x∈R，e x≤0”，A项错误；命题“已知x，y∈R，若x＋y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题为“已知x，y∈R，若x＝2且y＝1，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题是真命题，B项正确；“x2＋2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“对于x∈[1，2]有(x＋2)min≥a”，由此可知C项错误；命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为“若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1”，而函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点⇔a＝0或a＝－1，故D项错误．
13．(2016·惠州调研)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给
出下列四个集合：①M＝{(x，y)|y＝1
x}；②M＝{(x，y)|y＝e
x－2}；③M＝{(x，
y)|y＝cosx}；④M＝{(x，y)|y＝lnx}．其中是“垂直对点集”的序号是() A．①②④B．②③
C．③④D．①③④
答案 B
解析 对于①，注意到x 1x 2＋1
x 1x 2＝0无实数解，因此①不是“垂直对点集”；
对于②，注意到过原点作任意一条直线与曲线y ＝e x －2相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线y ＝e x －2相交，因此②是“垂直对点集”；对于③，与②同理；对于④，注意到对于点(1，0)，不存在(x 2，y 2)∈M ，使得1×x 2＋0×lnx 2＝0，因为x 2＝0与x 2>0矛盾，因此④不是“垂直对点集”． 二、填空题
14．(2016·山西质检)若复数4＋bi 1＋i
(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，
则b ＝________． 答案 0 解析 由于
4＋bi 1＋i ＝（4＋bi ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）
＝b ＋4＋（b －4）i 2＝b ＋42＋b －4
2i ，而其实
部与虚部互为相反数，则有b ＋42＋b －4
2＝0，解得b ＝0.
15．(2016·吉林模拟)已知集合A ＝{x||x －a|＝4}，集合B ＝{1，2，b}．若A ⊆B 成立，则对应的实数对(a ，b)有________对． 答案 4
解析 A ＝{x||x －a|＝4}＝{a ＋4，a －4}，因为A ⊆B 成立，所以⎩⎨⎧a ＋4＝1，a －4＝b ，或
⎩⎨⎧a ＋4＝b ，a －4＝1，或⎩⎨⎧a ＋4＝2，a －4＝b ，或⎩⎨⎧a ＋4＝b ，a －4＝2.求得实数对(a ，b)为(－3，－7)或(5，9)或(－2，－6)或(6，10)，共4对．
16．(2016·天津卷改编)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－bi)＝a ，令z ＝a ＋bi ，则z 2的共轭复数所对应点所在的象限是________． 答案 第四象限
解析 ∵a ∈R ，∴b ＝1，∴a ＝2，z ＝2＋i ，z 2＝3＋4i.其共轭复数为3－4i ，所以其对应点在第四象限．
17．(2016·郑州调研)已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am(a>0)，命题q ：实数m 满足方程
x 2m －1
＋
y 22－m
＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不
必要条件，则a 的取值范围为________． 答案 [13，3
8]
解析 由a>0，m 2
－7am ＋12a 2
<0，得3a<m<4a ，即命题p ：3a<m<4a ，a>0.由
x 2
m －1
＋y 22－m
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m>m －1>0，解得1<m<32，即命题q ：1<m<32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a>1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a<32，解得1
3≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是[13，3
8]．
18．(2016·南昌调研)设命题p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x|x<0}；q ：函数y ＝
ax 2－x ＋a 的定义域为R .若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则实数a 的取
值范围是________． 答案 (0，1
2)∪[1，＋∞)
解析 根据指数函数的单调性，可知命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为P ＝{a|0<a<1}．
对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立． 当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立；
当a ≠0时，不等式恒成立的条件是⎩⎨⎧a>0，Δ＝（－1）2－4a ×a ≤0，解得a ≥1
2.所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝{a|a ≥1
2}．由“p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题”，可知命题p ，q 一真一假，
当p 真q 假时，a 的取值范围是P ∩(∁R Q)＝{a|0<a<1}∩{a|a<12}＝{a|0<a<1
2}； 当p 假q 真时，a 的取值范围是(∁R P)∩Q ＝{a|a ≤0或a ≥1}∩{a|a ≥1
2}＝{a|a ≥1}． 综上，a 的取值范围是(0，1
2)∪[1，＋∞)．。