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二元一次方程组知识点归纳及解题技巧
一、基本定义：
二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是 1 的整式方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

二、解的情况：
二元一次方程组的解有三种情况：
1.有一组解如方程组 x+y=5 ①6x+13y=89 ②x=-24/7y=59/7 为方程组的解
2.有无数组解如方程组 x+y=6①2x+2y=12 ②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解如方程组 x+y=4 ①2x+2y=10 ②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所
以此类方程组无解。

三、二元一次方程的解法：
1、一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：
1、代入消元法
2、加减消元法
3、教科书中没有的几种解法
(一 )加减 -代入混合使用的方法.
例： 13x+14y=41(1)
14x+13y=40(2)
解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)
把(3) 代入 (1) 得 13(y-1)+14y=41
y=2
把 y=2 代入 (3) 得 x=1
所以 :x=1,y=2
特点 :两方程相加减,单个 x 或单个 y,这样就适用接下来的代入消元.
(二 )换元法
例 3： x:y=1:4
5x+6y=29
令 x=t,y=4t则方程2可写为：5t+6× 4t=29
29t=29
t=1所以 x=1,y=4
四、列方程（组）解应用题
（一）、其具体步骤是：
⑴审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未
知数）。

①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用
含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），
列方程。

一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

（二）、常用的相等关系
1．行程问题（匀速运动）
基本关系：
s=vt
⑴相遇问题 (同时出发
)：
⑵追及问题（同时出发）：
⑶
水（风）中航行：
2．配料问题：溶质
=溶液 ×浓度
溶液 =溶质 + 溶剂
3．增长率问题：
4．工程问题：基本关系：工作量 =工作效率 ×工作时间（常把工作量看着单位个三位数，百位数字为 a ，十位数字为 b ，个位数字为 c ，则这个三位数为：
“ 1）”。

5. 数字表示问题：如，一
100a+10b+c ，而不是 abc
5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

二元一次方程组练习题
（范围：代数：二元一次方程组）
一、选择：
1、任何一个二元一次方程都有（）
（A ）一个解；（ B ）两个解；（ C ）三个解；（ D ）无数多个解；
2、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为 6，那么符合条件的两位数的个数有（）
（A ）5 个
（B ）6 个
（C ）7 个
（D ）8 个
x
y
a
a 的取值范围是（）
3、如果
2 y
的解都是正数，那么
3x 4
（A ） a<2；
（B ） a
4
；
（ C ）
2 a
4 （ D ） a
4
3； ；
3
3
4、关于 x 、 y 的方程组
x 2 y
3m
的解是方程
3x+2y=34 的一组解，那么
m 的值是（）
x y 9m
（A ）2；
（B ） -1 ；
（C ） 1；（D ）-2 ；
5、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）
x y 4
（B ）
x y
5（ C ） x 1
（ D ） x y xy
（A ）11
9
x
y
y z 7 3x 2 y 6 x y 1
6、已知方程组
x
y
5 有无数多个解，则 a 、 b 的值等于（）
ax 3y
b
1
（A ） a=-3, b=-14 （B ） a=3, b=-7 （ C ） a=-1, b=9
（ D ） a=-3, b=14
7、若 5x-6 y=0，且 xy ≠ 0，则
5x
4 y
的值等于（）
5x 3y
（A ）
2
（B ）
3
（C ） 1
（D ）-1
3
2
8、若 |3 x+y+5|+|2 x-2 y-2|=0 ，则 2x 2-3 xy 的值是（）
（A ）14 （B ） -4
（ C ） -12
（D ）12
三、填空：
9、在方程 3x+4y=16 中，当 x=3 时， y=________ ，当 y=-2 时， x=_______
若 x 、 y 都是正整数，那么这个方程的解为
___________ ；
10、方程 2x+3y=10 中，当 3x-6=0 时， y=_________ ；
11、如果 0.4 x-0.5 y=1.2 ，那么用含有
y 的代数式表示的代数式是
_____________ ；
12、若 x 1 是方程组 ax 2y b 的解，则 a
_______ ；
y 1 4x y 2a 1 b _______
13、方程 | a|+| b|=2 的自然数解是 _____________ ；
14、如果 x=1， y=2 满足方程 ax1y 1，那么 a=____________ ；
4
2x ay3
有无数多解，则 a=______ ， m=______；
15、已知方程组
6 y2m
4x
16、若方程 x-2 y+3z=0，且当 x=1 时， y=2，则 z=______；
17、若 x+y=a， x- y=1 同时成立，且x、 y 都是正整数，则 a 的值为 ________ ；
18、从方程组4x3y3z 0
(xyz0) 中可以知道， x: z=_______； y: z=________ ；
x 3 y z0
四、解方程组
x y3x4y
19、 5 x 2 y11a(a为已知数 ) ； 20、25；
4x 4 y6a y
x
1
2
x(y1)y(1x)23x3y3x2y
2 25
21、
x 222、；
x(x1)y3(2x 3y )2(3x 2 y)
025
236 3x y 4 z 13x : y 4 : 7
23、 5x y3z 5 ； 24、 x : z 3 : 5；
x y z 3x 2 y 3z30
五、解答题：□x+5y=13①
4x- □ y=-2 ②
x 的系数，25、甲、乙两人在解方程组时，甲看错了①式中的
x 107
x
81
47
76 ，若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，
解得；乙看错了方程②中的y 的系数，解得
y 58
y
17 4719
并求出此方程组的解；
26、使 x+4y=| a| 成立的 x、 y 的值，满足 (2 x+y-1)2+|3 y- x|=0 ，又 | a|+ a=0，求 a 的值；
27、代数式 ax2+bx+c 中，当 x=1 时的值是0，在 x=2 时的值是3，在 x=3 时的值是 28，试求出这个代数式；
28、当 a、 b 满足什么条件时，方程(2 b2-18) x=3 与方程组ax y1都无解；
3x 2 y b5
29、 a、 b、 c 取什么数值时，x3- ax2+bx+c 与 ( x-1)(x-2)( x-3) 恒等？
30、 m 取什么整数值时，方程组2x my
4 的解：
x 2 y0
（1）是正数；
（2）是正整数？并求它的所有正整数解。

六、列方程（组）解应用题
31、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45 千米，就要延误30 分钟到达；若每小时行驶50 千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？
32、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两
人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？
33、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑 10 米，那么甲跑 5 秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑 2 秒钟，那
么甲跑 4 秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？
34、甲桶装水 49 升，乙桶装水 56 升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量
的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的
1
，求这两个水桶的容量。

3
35、甲、乙两人在 A 地，丙在 B 地，他们三人同时出发，甲与乙同向而行，丙与甲、乙相向而行，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 110 米，丙每分钟走 125 米，若丙遇到乙后
10 分钟又遇到甲，求
A 、
B 两地之间的距离。

36、有两个比 50 大的两位数，它们的差是
10，大数的 10 倍与小数的 5 倍的和的
1
是 11
的倍数，且也是一个
20
两位数，求原来的这两个两位数。

测试题
1．下列方程中，是二元一次方程的是（）
A ． 3x － 2y=4z
B ． 6xy+9=0
C ．
1
y
2
+4y=6D ． 4x=
x
4
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）
x y 4 B.
2a 3b 11
x 2 9 x y 8 A ．
3y 5b 4c 6
C.
D.
x 2
y 4
2x
7
y
2x
3．二元一次方程 5a － 11b=21 （） A ．有且只有一解 B ．有无数解 C ．无解 D ．有且只有两解 4．方程 y=1 － x 与 3x+2y=5 的公共解是（）
x
3 x 3 C.
x 3 x
3 A ．
2
B.
4
y
2
D.
2
y y
y
5．若│ x － 2│ +（ 3y+2 ） 2
=0，则的值是（） 3 A ．－ 1B ．－ 2C ．－ 3D ．
2
4x 3y k
6．方程组
的解与 x 与 y 的值相等，则
k 等于（）
2x 3y 5
7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（）
① x y+2x － y=7 ；② 4x+1=x － y ；③ 1
+y=5 ；④ x=y ；⑤ x 2－ y 2=2
x
⑥ 6x － 2y ⑦ x+y+z=1 ⑧ y （ y － 1） =2y 2－ y 2 +x A ．1B ．2C ．3D ．4
8．某年级学生共有 246 人，其中男生人数 y 比女生人数 x 的 2 倍少 2 人， ?则下面所列的方程组中符合题意的有
（）
x y
246
x y 246 x y 216 x y
246
A ．
B.
C.
D.
2 y x 2
2x y 2
y 2x 2
2 y x 2
9．已知方程 2x+3y － 4=0，用含 x 的代数式表示 y 为： y=_______ ；用含 y 的代数式表示 x 为： x=________ ．
10．在二元一次方程－
1
时， x=______ ． x+3y=2 中，当 x=4 时， y=______ ；当 y=－ 1
2
11．若 x 3m － 3－2y n － 1
=5 是二元一次方程，则
m=_____ ， n=______ ．
x
2,
是方程 x － ky=1 的解，那么 k=_______ ．
12．已知
y 3
13．已知│ x－ 1│ + （ 2y+1 ）2 =0，且 2x－ ky=4 ，则 k=_____ ．14．二元一次方程x+y=5 的正整数解有______________ ．x5
_________ ．
15．以为解的一个二元一次方程是
y7
x2mx y3 16．已知是方程组
x ny 的解，则 m=_______ ， n=______ ．
y16
三、解答题
17．当 y= － 3 时，二元一次方程3x+5y= － 3 和 3y－ 2ax=a+2 （关于 x， y 的方程）有相同的解，求 a 的值．18．如果（ a－ 2） x+ （b+1 ） y=13 是关于 x， y 的二元一次方程，则a， b 满足什么条件？
4x3y7
的解 x ， y 的值相等，求k．
19．二元一次方程组
(k1)y 3
kx
20．已知 x ， y 是有理数，且（│x│－ 1）2+（ 2y+1 ）2=0，则 x－ y 的值是多少？。