2020年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）（解析版）

2020年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.
1．设集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|x＜0}，则?U（A∪B）＝（）A．{x|x|≤1}B．{x|x＞1}
C．{x|x＜﹣1或0≤x≤1}D．{x|x≤﹣1或0＜x≤1} 2．在等比数列{a n}中，a3＝3，a6＝6，则a9＝（）
A．1
9
B．
1
12
C．9D．12
3．设复数z＝x+yi，（x，y∈R），下列说法正确的是（）
A．z的虚部是yi
B．z2＝|z|2
C．若x＝0，则复数z为纯虚数
D．若z满足|z﹣i|＝1，则z在复平面内对应点（x，y）的轨迹是圆
4．树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）
A．8种B．9种C．12种D．14种
5．若(??
+8)=1
3
，则sin(-
4
)=（）
A．-2
9
B．
2
9
C．-
7
9
D．
7
9
6．田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛．在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可
成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8（每次试跳之间互不影响），则本次比赛他获得冠军的概率是（）
A．0.832B．0.920C．0.960D．0.992
7．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝ln（ln2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b
8．已知直线a和平面α、β有如下关系：①α⊥β，②α∥β，③a⊥β，④a∥α，则下列命题为真的是（）
A．①③?④B．①④?③C．③④?①D．②③?④
9．如图，为测量某公园内湖岸边A，B两处的距离，一无人机在空中P点处测得A，B的
俯角分别为α，β，此时无人机的高度为h，则AB的距离为（）
A．√1
2??
+
1
2??
-
2(??-??)
B．√1
2??
+
1
2??
+
2(??-??)
C．√1
2??
+
1
2??
-
2(??-??)
D．??√1
2??
+
1
2??
+
2(??-??)
10．过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若3|AF|＝|BF|，
O为坐标原点，则||
||
=（）
A．4
3
B．
3
4
C．4D．
5
4
11．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中的圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）
①函数f（x）的图象关于点（4
3
，0）成中心对称；
②函数f（x）在(-1
2
，-1
6
)上单调递；
③圆C的面积为31
36
π．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
12．函数f（x）＝e mx+e﹣mx+x2﹣mx（m∈R）的图象在点A（x1，f（x1），B（﹣x1，f（﹣x1））处两条切线的交点P（x0，y0）一定满足（）
A．x0＝0B．x0＝m C．y0＝0D．y0＝m
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知双曲线2
2
-
??2
??2
=1（a＞0，b＞0）的离心率为√，则双曲线的渐近线方程为．
14．执行如图所示的程序框图，若输入t∈[﹣1，3]，则输出s的取值范围是．
15．已知向量→
=(??，??)，|
→
|=√??，
→→
=??，则△ABC面积为．
16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，则二面角C﹣AM﹣N的余弦值为．若动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥平面AMN，则线段PA1的长度范围是．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．已知数列{a n}是等比数列，且公比q不等于1，数列{b n}满足=??．（Ⅰ）求证：数列{b n}是等差数列；
（Ⅱ）若a1＝2，3a3＝2a2+a4，求数列{
1
?2??+1
}的前n项和S n．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为
PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且=1
3
．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值．
19．已知椭圆C：
2
2
+??=??与x轴正半轴交于点A，与y轴交于B、C两点．
（Ⅰ）求过A，B，C三点的圆E的方程；
（Ⅱ）若O为坐标原点，直线l与椭圆C和（Ⅰ）中的圆E分别相切于点P和点Q（P，Q不重合），求直线OP与直线EQ的斜率之积．
20．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．
方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．
方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次（这时认
为每个人的血化验1
次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，
这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．
假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．
（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；
（2）设p＝0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指
出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果
四舍五入保留整数）21．已知函数，()=-??2??
，∈??
．（Ⅰ）若函数
f （x ）在x=
2
处有最大值，求a 的值；
（Ⅱ）当a ≤e 时，判断f （x ）的零点个数，并说明理由．（二）选考题：共
10分，请考生在
22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系
xOy 中，曲线C 1的参数方程为{
=??+
=
（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线C 1上的动点，点
B 在
线段OA 的延长线上，且满足|OA|?|OB |＝8，点B 的轨迹为C 2．
（Ⅰ）求曲线
C 1，C 2的极坐标方程；
（Ⅱ）设点M 的极坐标为(??，3??
2
)，求△ABM 面积的最小值．[选修4-5:不等式选讲]23．已知函数
f （x ）＝|2x ﹣3|+|2x+3|．
（Ⅰ）解不等式
f （x ）≤8：
（Ⅱ）设x ∈R 时，f （x ）的最小值为M ．若实数a ，b ，c 满足a +b +2c ＝M ，求a 2+b 2+c 2
的最小值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|x＜0}，则?U（A∪B）＝（）
A．{x|x|≤1}B．{x|x＞1}
C．{x|x＜﹣1或0≤x≤1}D．{x|x≤﹣1或0＜x≤1}
【分析】可解出集合A，然后进行并集、补集的运算即可．
解：A＝{x|﹣1≤x≤1}；
∴A∪B＝{x|x≤1}；
∴?U（A∪B）＝{x|x＞1}．
故选：B．
2．在等比数列{a n}中，a3＝3，a6＝6，则a9＝（）
A．1
9
B．
1
12
C．9D．12
【分析】根据题意，由等比中项的性质可得（a6）2＝a3×a9，变形计算可得答案．解：根据题意，在等比数列{a n}中，a3＝3，a6＝6，
则有（a6）2＝a3×a9，变形可得a9=(??6)
2
3=
36
3
=12；
故选：D．
3．设复数z＝x+yi，（x，y∈R），下列说法正确的是（）
A．z的虚部是yi
B．z2＝|z|2
C．若x＝0，则复数z为纯虚数
D．若z满足|z﹣i|＝1，则z在复平面内对应点（x，y）的轨迹是圆
【分析】利用复数的基本概念，复数的模以及轨迹方程判断选项的正误即可．
解：复数z＝x+yi，（x，y∈R），z的虚部是y，所以A不正确；
z2＝|z|2，不正确，因为左侧是复数，右侧是实数，所以B不正确；
若x＝0，并且y≠0，则复数z为纯虚数，所以C不正确；
若z满足|z﹣i|＝1，则z在复平面内对应点（x，y）的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为1的圆，所以D正确；
故选：D．
4．树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）
A．8种B．9种C．12种D．14种
【分析】分两类，第一类，1名女生3名男生，有?????=8种，第二类，2名女生2名男生，有?=6种，根据分类计数原理可得．
解：分两类，第一类，1名女生3名男生，有?????=8种，
第二类，2名女生2名男生，有?=6种，
根据分类计数原理得，共有8+6＝14种．
故选：D．
5．若(??
+
8)=
1
3
，则sin(-
4
)=（）
A．-2
9
B．
2
9
C．-
7
9
D．
7
9
【分析】由已知利用二倍角公式可求cos（2θ+
4）的值，利用诱导公式可求sin[
2
-（2θ+
??
4
）]
＝sin（
4-2θ）＝cos（2θ+
4
）=7
9
，根据诱导公式可求sin(-
??
4
)=-sin（
??
4
-2θ）=-
7
9
，
由此得解．
解：∵(??
+
8)=
1
3
，
∴cos（2θ+
4）＝1﹣2sin2（??+??
8
）＝1﹣2×（
1
3
）2=7
9
，
∴sin[
2-（2θ+
4
）]＝sin（
??
4
-2θ）＝cos（2θ+
??
4
）=7
9
，
∴sin(-
4)=-sin（
4
-2θ）=-
7
9
．
故选：C．
6．田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛．在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可
成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8（每次试跳之间互不影响），则本次比赛他获得冠军的概率是（）
A．0.832B．0.920C．0.960D．0.992
【分析】结合题意可知，他能获得概率对应的事件为第一次能通过或第一次没通过，第
二次通过，前两次没通过，第三次通过，然后结合独立事件的概率公式可求．
解：每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8，
则本次比赛他获得冠军的概率P＝0.8+0.2×0.8+0.22×0.8＝0.8+0.16+0.032＝0.992
故选：D．
7．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝ln（ln2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【分析】可以得出0＜log52＜1，log0.50.2＞1，ln（ln2）＜0，从而可得出a，b，c的大小关系．
解：∵0＝log51＜log52＜log55＝1，log0.50.2＞log0.50.5＝1，0＜ln2＜1，ln（ln2）＜0，∴c＜a＜b．
故选：D．
8．已知直线a和平面α、β有如下关系：①α⊥β，②α∥β，③a⊥β，④a∥α，则下列命题为真的是（）
A．①③?④B．①④?③C．③④?①D．②③?④
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个选项
得答案．
解：对于A，由α⊥β，a⊥β，可得a∥α或a?α，故A错误；
对于B，由α⊥β，a∥α，可得a?β或a∥β或a与β相交，故B错误；
对于C，由a∥α，过a作平面γ与α相交，交线为b，则a∥b，
∵a⊥β，∴b⊥β，而b?α，可得α⊥β，故C正确；
对于D，由α∥β，a⊥β，可得a⊥α，故D错误．
故选：C．
9．如图，为测量某公园内湖岸边A，B两处的距离，一无人机在空中P点处测得A，B的俯角分别为α，β，此时无人机的高度为h，则AB的距离为（）
A．??√1
2??
+
1
2??
-
2(??-??)
B ．√12??+1
2??+2(??-??)
C ．√12??+12??-2(??-??)
D ．√12??+12??+2(??-??)
【分析】利用正弦定理求出AB ，再结合选项化简即可得出答案．
解：如图所示，
由题意作PE ∥AB ，可得∠APE ＝α，∠BPE ＝β，∠APO=2
-α，则∠APB ＝α﹣β，∠ABP ＝β，
在△AOP 中，PA =
(??
2
-??)
=?
，在△PAB 中，∠B ＝β，∠APB ＝α﹣β，由正弦定理
∠=
，
解得AB =(??-??)??=h?
(??-??)
；又1
2??+
1
2??-2(??-??)
═
2??+2??-2(+)22??=(2
??-2
2
??)-2+(??????2
??-2
2
??)
2
2
??
=2
2??-2+??????22
??22
??
=
2
(??-??)
2
2
??
，
又α﹣β∈（0，2
），且α、β∈（0，??2
），所以
(??-??)
＞0，
所以AB ＝h?√1
2??+
1
2??-
2(??-??)
．故选：A ．
10．过抛物线C ：x 2
＝2py
（p ＞0）的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若3|AF |＝|BF |，
O为坐标原点，则||
||
=（）
A．4
3
B．
3
4
C．4D．
5
4
【分析】根据条件画出示意图，设|AF|＝x，则|BF|＝3x，利用=，求出x，进而求出比值．
解：过A作AE⊥准线，过B作BG⊥准线，过A作AD⊥BG交BG于点D，交y轴于点C
设|AF|＝x，则|BF|＝3x，F（0，
2），准线：y=-
2
，
根据抛物线性质得：|AE|＝|AF|＝x，|BG|＝|BF|＝3x，|AB|＝x+3x＝4x，|BD|＝3x﹣x＝2x，|FC|＝p﹣x，
由图可知：=，即
4??=
??-??
2??
，解得x=2
3
p，
则=2
3
1
2
=
4
3
．
故选：A．
11．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中的圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）
①函数f（x）的图象关于点（4
3
，0）成中心对称；
②函数f（x）在(-1
2
，-1
6
)上单调递；
③圆C的面积为31
36
π．
A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】首先利用函数的图象的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的单调区间和函数的对称轴即圆的半径．
解：根据函数的图象与圆C的关系，得到点C为点M和点N的对称点．
所以点C的横坐标x=2
3
+0
2
=
1
3
，即C（
1
3
，??），
函数的最小正周期为T＝2（1
3
+
1
6
）＝1．
故①函数f（x）的图象关于点的横坐标为：n?1
2
×??+
1
3
，当n＝2时，点（
4
3
，0）成
中心对称，故①正确．
由于
4=
1
4
，
所以-1
6-??=
1
4
，
则=-1
6-
1
4
=-
5
12
＞-1
2
，故单调增区间为（-5
12
，-1
6
），故②错误．
由于f（x）＝sin（2πx+φ），当x=-1
6时，f（-1
6
）＝0，解得φ=
3
．
所以f（x）＝sin（2+
3
）．
当x＝0时f（0）=√3
2
．
所以|CM|=√(1
3)+(
√3
2
)??=√31
36
．
所以圆C的面积为×(√31
36)=
31??
36
．故③正确．
故选：B．
12．函数f（x）＝e mx+e﹣mx+x2﹣mx（m∈R）的图象在点A（x1，f（x1），B（﹣x1，f（﹣x1））处两条切线的交点P（x0，y0）一定满足（）
A．x0＝0B．x0＝m C．y0＝0D．y0＝m
【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，可得f（x）的图象在A，B处的切线的方程，联立方程，求得交点的横坐标为0，即可得到结论．解：f（x）＝e mx+e﹣mx+x2﹣mx的导数为f′（x）＝me mx﹣me﹣mx+2x﹣m，
可得f（x）的图象在点A（x1，f（x1），B（﹣x1，f（﹣x1））处两条切线的斜率分别为
k1＝me mx1﹣me﹣mx1+2x1﹣m，k2＝me﹣mx1﹣me mx1﹣2x1﹣m，可得k1+k2＝﹣2m，
f（x1）＝e mx1+e﹣mx1+x12﹣mx1，f（﹣x1）＝e﹣mx1+e mx1+x12+mx1，
可得f（x）的图象在A处的切线的方程为y﹣（e mx1+e﹣mx1+x12﹣mx1）＝（me mx1﹣me﹣
mx1+2x
1﹣m）（x﹣x1），①
f（x）的图象在B处的切线的方程为y﹣（e﹣mx1+e mx1+x12+mx1）＝（me﹣mx1﹣me mx1﹣2x1﹣m）（x+x1），②
①﹣②可得，2mx1＝（2me mx1﹣2me﹣mx1+4x1）x﹣x1（﹣2m），
即（2me mx1﹣2me﹣mx1+4x1）x＝0，x1≠0，
解得x0＝0，
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知双曲线2
2
-
??2
??2
=1（a＞0，b＞0）的离心率为√??，则双曲线的渐近线方程为y
＝±x．
【分析】由双曲线2
2
-
??2
??2
=1（a＞0，b＞0）的离心率为√??，可以求出a，b，从而求
出双曲线的渐近线方程．
解：双曲线2
2
-
??2
??2
=1（a＞0，b＞0）的离心率为e==√??，∴
??2
??2
=
??2+??2
??2
=??，
∴1+2
2
=2?=1
∴双曲线2
2
-
??2
??2
=1的渐近线是y＝±x＝±x．
答案：y＝±x
14．执行如图所示的程序框图，若输入t∈[﹣1，3]，则输出s的取值范围是[0，1]．
【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出s={
-
，??＜??
??，??≥??
的值域，进而得到答案．
解：由已知可得：程序框图的功能是计算并输出s ={
-
，
??＜??
??
??，??≥??
的值域，当t ∈[﹣1，1）时，s ＝e t
﹣1
∈[e ﹣2
，1），
当t ∈[1，3]时，s ＝log 3t ∈[0，1]，故输出s 的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．
15．已知向量→
=(??，??)，|→
|=√??，→
→
=??，则△ABC 面积为√32
．
【分析】将→
，→
看成基底，表示出→
，代入→
→
=??
，可求出→
，→
的夹角，则面积可求．解：易知|→|=??
，∴→
→
=→
?(→
-→
)=→
→
-
→
＝|→
||→
|cosA -|→
|＝1×√-??=1，∴=2
√7
，∴sin A =√??-
=
√3√7
．
∴△=1
2|
→
||
→
|
=
1
2
×??×√??×
√3
√7
=
√3
2
．
故答案为：√3
2
．
16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，则二
面角C﹣AM﹣N的余弦值为2
3
．若动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，
且PA1∥平面AMN，则线段PA1的长度范围是[3√2
2
，√]．
【分析】易知∠NQC为二面角C﹣AM﹣N的平面角，利用相似的性质可求得CQ，进而求得NQ，由此得解二面角C﹣AM﹣N的余弦值；建立空间直角坐标系，可求得点P的轨迹为经过BB1，B1C1中点的线段，再根据对称性即可求得线段PA1长度的最值，进而得到取值范围．
解：延长AM至Q，使得CQ⊥AQ，连接NQ，如图，
由于ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，由三垂线定理易知∠NQC为二面角C﹣AM﹣N的平面角，
而∠=∠===
2
√22+1
=
2
√5，故=
2
√5
=
2
√5
，
∴=√（2
√5)+??=
3
√5
，
∴∠==2
3
；
以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设P（m，2，n）（0≤m，n≤2），A（2，0，0），M（1，2，0），N（0，2，1），A1（2，0，2），
则→
=(-??，??，??)，
→
=(-??，??，??)，????
→
=(??-??，??，??-??)，设平面AMN
的一个法向量为→=(??，??，??)，则{→→
=-??+=??
→→
=-++??=??
，
故可取→
=(??，??，??)，又PA 1∥平面AMN ，
∴????→
→
=??(??-??)+??+??(??-??)=??+??-??=??，∴点P 的轨迹为经过
BB 1，B 1C 1中点的线段，
根据对称性可知，当点P 在两个中点时，||=√??+??=√??，当点P 在两个中点的中点时，||
=√(√??)-(√22)??=3√22
，故选段PA 1的长度范围是[3√22
，√??]
．故答案为：2
3
，[3√22，√
]．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.第17-21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答
.（一）必考题：共
60分
17．已知数列{a n }是等比数列，且公比q 不等于1，数列{b n }满足??=??
．
（Ⅰ）求证：数列
{b n }是等差数列；
（Ⅱ）若a 1＝2，3a 3＝2a 2+a 4，求数列{1
?2??+1}的前n 项和S n ．
【分析】（Ⅰ）直接利用定义证明数列为等差数列．（Ⅱ）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）数列{a n }是等比数列，且公比
q 不等于1，
所以
+1
=??．
数列{b n }满足
=???，则b n ＝log 2a n ，
所以b n+1﹣b n ＝log 2a n+1﹣log 2a n =??+1
?
=??
??．故数列{b n }是等差数列．解：（Ⅱ）由于
a 1＝2，3a 3＝2a 2+a 4，可知3×2q 2＝2×2q+2q 3．
解得q ＝2或q ＝1（舍去）．
即??
=??
．设
12????+1
=
1??(??+1)=
1??
-
1??+1
，
所以=??
-12
+12
-13
+?+1??-1??+1=1-1??+1=
????+1
．
18．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，∠BAD ＝90°，点E 为
PB 的中点，且
CD ＝2AD ＝2AB ＝4，点F 在CD 上，且=1
3
．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）若平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD 且PA ⊥PD ，求直线PA 与平面PBF 所成角
的正弦值．
【分析】（Ⅰ）先证明四边形DFEM 为平行四边形，进而得到
EF ∥DM ，由此得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PBF 的一个法向量及直线
PA 的方向向量，再利
用向量的夹角公式得解．解：（Ⅰ）证明：取
PA 的中点，连接
DM ，EM ，
在△PAB 中，ME 为一条中位线，则=
∥1
2
，又由题意有，=
∥1
2
，故=∥
，∴四边形DFEM 为平行四边形，∴EF ∥DM ，
又EF ?平面PAD ，DM ?平面PAD ，∴EF ∥平面PAD ；
（Ⅱ）取AD 中点N ，BC 中点H ，连接PN ，NH ，
由平面PAD⊥平面ABCD，且PN⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可知PN⊥平面ABCD，
又AD⊥NH，
故以N为原点，NA，NH，NP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则(，??，??)，??(??，??，??)，??(??，??，??)，??(-??，??，??)，→
=(-??，-??，??)，
→
=(-??，-??，??)，
设平面PBF的一个法向量为→=(??，??，??)，则{→→
=-??-+??=??
→→
=--??+??=??
，可取→=
(??，-??，-??)，
又→
=(??，??，-??)，故|
＜
→
，??→＞|=|
→→
|
→
||??
→
|
|=
2√7
7
，
∴直线PA与平面PBF所成角的正弦值为2√7
7
．
19．已知椭圆C：
2
2
+??=??与x轴正半轴交于点A，与y轴交于B、C两点．
（Ⅰ）求过A，B，C三点的圆E的方程；
（Ⅱ）若O为坐标原点，直线l与椭圆C和（Ⅰ）中的圆E分别相切于点P和点Q（P，Q不重合），求直线OP与直线EQ的斜率之积．
【分析】（Ⅰ）由题意可得A，B，C三点的坐标，再由圆的性质可得圆心在圆的弦的中
垂线上，可设圆心的坐标，由圆的半径可求出圆心的坐标及半径的值，进而求出圆的方
程；
（Ⅱ）设直线l 的方程由与椭圆相切由判别式为0求出参数的关系，及切点的坐标，再
由与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径可得参数的关系，两式联立求出参数的值，进而求出EQ 的斜率及OP 的斜率，求出两个斜率之积．解：（Ⅰ）由题意可得A （√，0），B （0，1），C （0，﹣1），由圆的性质可得圆心
E 在线段BC 的中垂线上，所以设
E （m ，0）可得AE ＝BE ，
所以1+m 2＝（m -√??
）2，解得m =√2
4
，
所以圆心E 的坐标（√24
，0），半径r ＝|AE |=√??+??=√??+18
=
√98
，所以圆E 的方程为：（x -√2
4
）2+y 2=
9
8
；（Ⅱ）由题意设直线
l 的方程为y ＝kx +m （k 存在且不为
0），
联立直线l 与椭圆的方程{=+??
+??
=??
，整理可得：（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2
﹣2＝0，设直线l 与椭圆的切点P （x 0，y 0），由△＝0即16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣2）＝0，
可得m 2＝1+2k 2，①，解得x 0=
-2??
，y 0=1
，
因为直线l 与E 相切，所以圆心
E 到直线l 的距离等于半径，可得
√9
8=|√2
4??+??|√
1+??
2，整理可得4√k m ＝8k 2﹣8m 2
+9，②
由①②可得2k 2＝m 2﹣1=
1
24
，直线OP 的斜率为k OP =0
0=-12??
，直线EQ 与直线l 垂直，所以k EQ =-
1
，所以k OP k EQ ＝（-12??）（-1
??）=12??
2=24．20．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次
NCP 普查，为此需要抽验
1000人的血样进行化验，由于人数较
多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．
方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，
如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血只需检验一次（这时认
为每个人的血化验
1
次）；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，
这样，该组k 个人的血总共需要化验
k+1次．
假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．
（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；
（2）设p＝0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指
出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果
四舍五入保留整数）
【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，依题意知X的可能取值，计算分布列即可；
（2）方案②中计算每个人的平均化验次数E（X），分别求出k＝2、3、4时E（X）的值，比较即可．
解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则q＝1﹣p；
所以k个人的混合后呈阴性的概率为q k，呈阳性反应的概率为1﹣q k；
依题意知X的可能取值为1
，1+1；
所以X的分布列为；
X11+1
P qk1﹣qk
（2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为：
E（X）=1
?q k+（1+
1
??
）?（1﹣q k）=1
??
-q k+1；
所以当k＝2时，E（X）=1
2
-0.92+1＝0.69，
此时1000人需要化验的总次数为690次；
当k＝3时，E（X）=1
3
-0.93+1≈0.6043，
此时1000人需要化验的总次数为604次；
当k＝4时，E（X）=1
4
-0.94+1＝0.5939，
此时1000人需要化验的总次数为594次；
即k＝2时化验次数最多，k＝3时化验次数居中，k＝4时化验次数最少；而采用方案①需要化验1000次；
所以在这三种分组情况下，相比方案①，
k ＝4时化验次数最多可以平均减少1000﹣594＝406（次）．
21．已知函数，()=-??2??
，∈??
．（Ⅰ）若函数
f （x ）在x =
2
处有最大值，求a 的值；
（Ⅱ）当a ≤e 时，判断f （x ）的零点个数，并说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意得
f ′（
2
）＝0得，a ＝e ，则f （x ）＝eln （2x ）﹣e
2??
，先求f ′
（x ），再令φ（x ）＝f ′（x ），求导得φ′（x ）=-2-4
??
2e 2??
＜0，则
f ′（x ）
为减函数，又f ′（
2）＝0，得f （x ）单调性，即函数
f （x ）在x=
2
处取得最大值，综上，a ＝e ．（Ⅱ）令t =
2??
，g （t ）＝a+alnt ﹣e t （t ＞0），则g （t ）与f （x ）的零点个数相等，分三种情况①当a ＝0时，②当a ＜0时，③当0＜a ≤e 时，分析g （t ）单调性，函数值，零点个数，进而得出答案．解：（Ⅰ）f （x ）＝aln 2x ﹣e
2??
（x ＞0），f ′（x ）=-2
??
??
2??
，由条件可知，x=
2
时，f ′（x ）＝0，
即
2??
-
2
??
e ＝0，解得a ＝e ，
则f （x ）＝eln （2x ）﹣e
2??
，f ′（x ）=-2
??
e
2????，令φ（x ）＝f ′（x ），则φ′（x ）=-
2-4
??
2e 2??＜0，则
f ′（x ）为减函数，
又f ′（2
）＝0，则f （x ）在（0，??2
）上单调递增，在（??2
，+∞）上单调递减，
即函数f （x ）在x=
2
处取得最大值，综上，a ＝e ．（Ⅱ）令t =
2??
，g （t ）＝a+alnt ﹣e t （t ＞0），则g （t ）与f （x ）的零点个数相等，
①当a ＝0时，g （t ）＝﹣e t
＜0，即f （x ）＝﹣e 2??
??＜0，所以函数
f （x ）零点个数为0，
②当a ＜0时，g ′（t ）=
-??
＜0，所以函数g （x ）在（0，+∞）上为减函数，
即函数g （t ）至多有一个零点，即f （x ）至多有一个零点，
当0＜t＜e-??＜1时，a+alnt＞e?a+alnt＞e t?g（t）＞0，
所以当0＜t＜e-??时，g（t）＞0，
又g（1）＝a﹣e＜0，
所以函数g（t）有且只有一个零点，即函数f（x）有且只有一个零点，③当0＜a≤e时，令g′（t）＝0，即
=e，
令h（t）＝te t（t＞0），
易知h（t）＝te t在（0，+∞）为增函数，且h（1）＝e，
故存在t0∈（0，1]，使得g′（t0）＝0，即
=e，
由以上可知，当0＜t＜t0时，g′（t）＞0，g（t）为增函数，
当t＞t0时，g′（t）＜0，g（t）为减函数，
所以g（t）max＝g（t0）＝a+alnt0﹣e=a+alnt0-
，t0∈（0，1]，令F（t）＝a+alnt-，t∈（0，1]，
则F′（t）=+??
2
＞0，所以F（t）在（0，1]上为增函数，
则F（t）≤F（1）＝0，即（g（t））max≤0，当且仅当t＝1，a＝e时等号成立，由以上可知，当a＝e时，g（t）有且只有一个零点，即f（x）有且只有一个零点，当0＜a＜e时，无零点，
综上所述，当0≤a＜e时，函数f（x）无零点，
当a＜0或a＝e时，函数f（x）有且只有一个零点．
一、选择题
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{=??+
=
（α为参数），以坐标
原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|?|OB|＝8，点B的轨迹为C2．
（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设点M的极坐标为(??，3??
2
)，求△ABM面积的最小值．
【分析】（Ⅰ）利用参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化关系直接求解可；
（Ⅱ）先表示出△ABM的面积，再利用余弦函数的有界性求解即可．
解：（Ⅰ）将曲线C1化为普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，
又=√??+????，??=，则曲线C1的极坐标方程为ρ1＝2cosθ；又根据题意有ρ1ρ2＝8，可知=4，即为曲线C2的极坐标方程；
（Ⅱ）由△=1
2||?|??-????|=
1
2
(????-????)
=(
4
-)????????
=??-
??，
而cos2θ≤1，
故△ABM面积的最小值为2．
[选修4-5:不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|2x+3|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤8：
（Ⅱ）设x∈R时，f（x）的最小值为M．若实数a，b，c满足a+b+2c＝M，求a2+b2+c2的最小值．
【分析】（Ⅰ）分类讨论，即可求得不等式的解集，得到答案；
（Ⅱ）由绝对值的三角不等式，求得f（x）的最小值M＝6，再结合柯西不等式，即可求解．
解：（Ⅰ）因为函数f（x）＝|2x﹣3|+|2x+3|．
当x≤-3
2时，不等式等价为﹣（2x﹣3）﹣（2x+3）≤8，解得﹣2≤x≤-3
2
；
当-3
2＜x＜3
2
时，不等式等价为﹣2x+3+2x+3≤8，解得-3
2
＜x＜3
2
；
当x≥3
2时，不等式等价为2x﹣3+2x+3≤8，解得
3
2
≤x≤2；
综上，不等式的解集为[﹣2，2]；
（Ⅱ）由|2x﹣3|+|2x+3|≥|2x﹣3﹣2x﹣3|＝6，可得f（x）的最小值为M＝6，∵（a2+b2+c2）（12+12+22）≥（a+b+2c）2＝36，
当且仅当“2a＝2b＝c”时取等号，
∴a2+b2+c2≥6；
即a2+b2+c2的最小值为6．。