3.5 典型非周期信号的傅里叶变换
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复习
1 傅立叶变换对
1 jt x(t ) X ( j )e d 2 X ( j ) x(t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
F ( ) f (t )e jt dt
n ( 4 2 ( 2 n 1)
4 2 n 1)
4 ( n 1)
) )
4
2
( )
2 4
与傅立叶级数比较:
F ( ) ESa (
E
2
)
E n1 Fn Sa ( ) T1 2
(2 )
4
2
2
4
二、冲激偶的傅里叶变换
1 FT[ (t )] 1 即： (t ) 2 上式两边对t 求导得：
d 1 jt (t ) ( j )e d dt 2 d FT (t ) j dt
d FT n (t ) ( j ) n dt
1 t 1 e 2 2 1 1 1 2 2 e e t 1 2
a 1, t 0
f (t ) e
f 换成 F1 换 成
at
FT
1 F ( ) a j
t
1 F1 ( ) FT ? a jt
对 称 性
2f (t ) F ( )e
jt
d F ( x)e jxt dx
2f (t ) F ( )e
jt
d F ( x)e jxt dx
2f ( ) F ( x)e jx dx
jt
2 a2
;
X ( j ) tan 1 ( ) a
2a 2 a2
ESa(
u (t ) X ( j )
(t ) 2 (t ) 2
) F( j
2
)
sin(
2
)
2
补充:
1, sin Bt x(t ) X ( j ) t 0,
( ) 2
2
0
小结
(t )
F ( j )
1
j
t
f (t ) ' (t )
1 1 u (t ) sgn(t ) 2 2
F ( j ) j
11 ] [ 1 s F ( j ) u(t )] [ [ ( ) 2 2 j
j j E 2 (e e 2 ) E j
E f (t ) 0
( t 2)
/ 2
/2
2
t
(t ) 2
sin
2
2
ESa (
2
2
)
F ( ) E Sa( ) 2
0 ( )
( ) 2
这个例子也给了一种求傅立叶变换的方法.是什么方法呢?
小结
x(t ) e at u (t ) X ( j )
F
1 (a>0) j a
X ( j )称为x(t )的频谱
X ( j )
x(t ) e
E f (t ) 0
a t
1
| | B | | B
小结
1 t 0 sgn(t ) 1 t 0
2 F lim ( j ) 0 F1 ( j ) j
2 F ( j )
2 ( ) 2
0 0
补充:信号频谱的MATLAB实现
t t
F ( )
2 ( )
F ( )
1
1
f (t )
F ( )
0
2
2
t
2
0
2
c 2
f (t )
1
c 0
2
F ( )
2
0
2
t
c
2
c
c
例:
1 求: F 2 t 1
解：p114 .双边指数信号
e
at
2a 2 a 2
E T1
F ( j )
Fn
2 4
4
2
2
4
1 21
可以从中看出什么问题?
四、符号函数
1 t 0 sgn(t ) 1 t 0
sgn( ) t
1
1
f (t )
t
t
f (t ) e t u(t ) e t u(t )
2
t
1 2a
3a
2
3.5 典型非周期信号的傅里叶变换
二、双边指数信号
f(t)
f (t ) e
t
( t )
0
F ( )
2 F ( ) 2 2
t
( ) 0
0
3.5 典型非周期信号的傅里叶变换
E
f (t )
三、矩形脉冲信号
E e jt jt jt 2 F ( ) f (t )e dt E e dt 2 j
例:如图所示三角波信号，即：f (t ) 1 ,2 t 2 ，试求其频谱
2
f(t) 1 三角形频谱.m： syms t w f ft; % 定义符号变量 f=(1-(abs(t)/2)); % 三角波信号 -2 0 ft=f*exp(-j*w*t); % 计算被积函数 F=int(ft,t,-2,2); % 计算傅立叶变换F(w) F=simple(F);F % 化简 subplot(2,1,1),ezplot(f,[-2 2]); % 绘制三角波信号 axis([-3 3 0 1.1]);title('三角波信号'); subplot(2,1,2),ezplot(abs(F),[-8:0.01:8]); % 绘制三角波信号的频谱 title('三角波信号的频谱');
2 频谱密度的理解
1.F ( ) lim T1 Fn lim0 T1
1
2
Fn
1
可见, F ( ) 是单位频带的复振幅 具有密度的概念. , 称为频谱密度函数, 简称频谱函数或频谱密度,在 与周期信号频谱不混淆的情况下也称频谱. 2.周期信号频谱是离散的 非周期信号是连续的 , . 信号在时域 :连续,周期 信号在时域 :连续,非周期 信号在时域 : 离散, 非周期 信号在时域 : 离散, 周期 频谱在频域 :离散,非周期 频谱 在频域 :连续,非周期 频谱在频域 : 连续, 周期 频谱在频域 : 离散, 周期
本次课的主要内容
3.5 典型非周期信号的傅里叶变换
单边指数信号 双边指数信号 矩形脉冲信号 符号函数 3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 冲激函数的傅里叶变换 冲激偶的傅里叶变换 阶跃函数 的傅里叶变换 3.7 傅立叶变换的基本性质 对称性和叠加性 奇偶虚实性
3.5 典型非周期信号的傅里叶变换
xt
F (t )e dt F (t )
若f (t )为偶函数，则f ( ) f ( )
所以有：若 则
f (t ) F ( )
F (t ) 2 f ( )
若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。
(t )
1 1
f (t )
t 换成
F1 ( ) 2f ( ) 2e
a
二、线性（叠加性）
若
FT f i (t ) Fi ( )
FT ai f i (t ) ai Fi ( ) i 1 i 1
t
t 2
补充:信号频谱的MATLAB实现
• 运行结果： • F =-(cos(2*w)-1)/w^2 • 即：
3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 一、冲激函数的傅里叶变换
FT [ (t )]
(t )
t
(t )e
jt
dt 1
F ( j )
1
j 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或 “白色频谱”。 矩形方波演变成冲激函数.exe 单位冲激函数可矩形脉冲取极限 单位冲激函数.exe 得到 其傅立叶变换也可类似推得.
f1 (t ) f (t ) sgn(t ) e t u (t ) e t u (t )
F1 ( j ) F [ f1 (t )] ( e )e
t
0 j t
e
1
e
t
t
1
f1 (t )
dt e t e j t dt
0
e t
t
2 j 2 2
et
1
2 j F1 ( j ) 2 2
F ( j )
2 F ( j ) lim F1 ( j ) 0 j
F ( j ) 2
2 ( ) 2
0 0
2
一、单边指数信号
e t t 0 t f (t ) e u (t ) 0 t0
F ( ) f (t )e
j t
f (t )
1
( 0)
1 dt j
F ( )
1
2 2
1
F ( )
( ) arctan( ) ( )
复习
1 jt 3. f (t ) d表示非周期信号能分解 为 F ( )e 2 F ( ) jt 无限多个频率为 , 振幅为 d的指数分量e 的 2 连续和(积分).
4.周期信号各频率分量的 复振幅Fn为有限值, 而非周 期信号各频率分量的复 振幅为 F ( ) 2 限值, 则为无穷小量, 频谱不能用复振幅直接 表示, 改用 F ( )描述非周期信号频谱特 , 即比较各频率分量 性 的相对大小. d , 若F ( )为有
§3.7 傅立叶变换的基本性质
性质的用途： F √ y (t ) Y ( j ) ?
性 表 示 质 表 示
F ? y(t ) Y ( j )√
表 示 性 质 表 示
F x i (t ) X i ( j )
√
F X ( j ) x i (t ) i
√
F x(t )? h(t ) X ( j )? H ( j )
?
F y (t ) Y ( j )
?
§3.7 傅立叶变换的基本性质
一、对称性
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
jt
反变换 正变换
F ( j ) f (t )e
dt
FALSH\对偶性质.swf
若f (t ) F ( )则F (t ) 2f ( ) 1 证明：f (t ) F ( )e jt d 2 2f (t ) F ( )e jt d
1 FT [ ( )] 2
1
( )e jt d
1 0
f (t ) 1
1 常函数变换.exe 2 ( ) 2
2
t 0
1
f1 (t )
f (t )
1
/ 2
/2
F1 ( j ) Sa (
2
t
)
t
F ( j ) 2 ( )
n
n
e jt d
同理：
d FT (t ) 2 ( j ) n ( ) dt
n n
三、阶跃函数的傅立叶变换
1 1 F ( j ) F [u(t )] F [ ]F [ sgn(t )] 0 2 2
1 1 u (t ) sgn(t ) 2 2
u(t)
t
1 ( ) j F ( )
( (
4 n
2 ( 2 n 1)
2 ( 2 n 1)
4 ( n 1)
) )
E
E
F ( j )
t
2
0
2
F ( ) ESa (
2
4
2
2
4
)
E
F ( j )
F ( ) E Sa( ) 2
0 ( )
1 傅立叶变换对
1 jt x(t ) X ( j )e d 2 X ( j ) x(t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
F ( ) f (t )e jt dt
n ( 4 2 ( 2 n 1)
4 2 n 1)
4 ( n 1)
) )
4
2
( )
2 4
与傅立叶级数比较:
F ( ) ESa (
E
2
)
E n1 Fn Sa ( ) T1 2
(2 )
4
2
2
4
二、冲激偶的傅里叶变换
1 FT[ (t )] 1 即： (t ) 2 上式两边对t 求导得：
d 1 jt (t ) ( j )e d dt 2 d FT (t ) j dt
d FT n (t ) ( j ) n dt
1 t 1 e 2 2 1 1 1 2 2 e e t 1 2
a 1, t 0
f (t ) e
f 换成 F1 换 成
at
FT
1 F ( ) a j
t
1 F1 ( ) FT ? a jt
对 称 性
2f (t ) F ( )e
jt
d F ( x)e jxt dx
2f (t ) F ( )e
jt
d F ( x)e jxt dx
2f ( ) F ( x)e jx dx
jt
2 a2
;
X ( j ) tan 1 ( ) a
2a 2 a2
ESa(
u (t ) X ( j )
(t ) 2 (t ) 2
) F( j
2
)
sin(
2
)
2
补充:
1, sin Bt x(t ) X ( j ) t 0,
( ) 2
2
0
小结
(t )
F ( j )
1
j
t
f (t ) ' (t )
1 1 u (t ) sgn(t ) 2 2
F ( j ) j
11 ] [ 1 s F ( j ) u(t )] [ [ ( ) 2 2 j
j j E 2 (e e 2 ) E j
E f (t ) 0
( t 2)
/ 2
/2
2
t
(t ) 2
sin
2
2
ESa (
2
2
)
F ( ) E Sa( ) 2
0 ( )
( ) 2
这个例子也给了一种求傅立叶变换的方法.是什么方法呢?
小结
x(t ) e at u (t ) X ( j )
F
1 (a>0) j a
X ( j )称为x(t )的频谱
X ( j )
x(t ) e
E f (t ) 0
a t
1
| | B | | B
小结
1 t 0 sgn(t ) 1 t 0
2 F lim ( j ) 0 F1 ( j ) j
2 F ( j )
2 ( ) 2
0 0
补充:信号频谱的MATLAB实现
t t
F ( )
2 ( )
F ( )
1
1
f (t )
F ( )
0
2
2
t
2
0
2
c 2
f (t )
1
c 0
2
F ( )
2
0
2
t
c
2
c
c
例:
1 求: F 2 t 1
解：p114 .双边指数信号
e
at
2a 2 a 2
E T1
F ( j )
Fn
2 4
4
2
2
4
1 21
可以从中看出什么问题?
四、符号函数
1 t 0 sgn(t ) 1 t 0
sgn( ) t
1
1
f (t )
t
t
f (t ) e t u(t ) e t u(t )
2
t
1 2a
3a
2
3.5 典型非周期信号的傅里叶变换
二、双边指数信号
f(t)
f (t ) e
t
( t )
0
F ( )
2 F ( ) 2 2
t
( ) 0
0
3.5 典型非周期信号的傅里叶变换
E
f (t )
三、矩形脉冲信号
E e jt jt jt 2 F ( ) f (t )e dt E e dt 2 j
例:如图所示三角波信号，即：f (t ) 1 ,2 t 2 ，试求其频谱
2
f(t) 1 三角形频谱.m： syms t w f ft; % 定义符号变量 f=(1-(abs(t)/2)); % 三角波信号 -2 0 ft=f*exp(-j*w*t); % 计算被积函数 F=int(ft,t,-2,2); % 计算傅立叶变换F(w) F=simple(F);F % 化简 subplot(2,1,1),ezplot(f,[-2 2]); % 绘制三角波信号 axis([-3 3 0 1.1]);title('三角波信号'); subplot(2,1,2),ezplot(abs(F),[-8:0.01:8]); % 绘制三角波信号的频谱 title('三角波信号的频谱');
2 频谱密度的理解
1.F ( ) lim T1 Fn lim0 T1
1
2
Fn
1
可见, F ( ) 是单位频带的复振幅 具有密度的概念. , 称为频谱密度函数, 简称频谱函数或频谱密度,在 与周期信号频谱不混淆的情况下也称频谱. 2.周期信号频谱是离散的 非周期信号是连续的 , . 信号在时域 :连续,周期 信号在时域 :连续,非周期 信号在时域 : 离散, 非周期 信号在时域 : 离散, 周期 频谱在频域 :离散,非周期 频谱 在频域 :连续,非周期 频谱在频域 : 连续, 周期 频谱在频域 : 离散, 周期
本次课的主要内容
3.5 典型非周期信号的傅里叶变换
单边指数信号 双边指数信号 矩形脉冲信号 符号函数 3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 冲激函数的傅里叶变换 冲激偶的傅里叶变换 阶跃函数 的傅里叶变换 3.7 傅立叶变换的基本性质 对称性和叠加性 奇偶虚实性
3.5 典型非周期信号的傅里叶变换
xt
F (t )e dt F (t )
若f (t )为偶函数，则f ( ) f ( )
所以有：若 则
f (t ) F ( )
F (t ) 2 f ( )
若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。
(t )
1 1
f (t )
t 换成
F1 ( ) 2f ( ) 2e
a
二、线性（叠加性）
若
FT f i (t ) Fi ( )
FT ai f i (t ) ai Fi ( ) i 1 i 1
t
t 2
补充:信号频谱的MATLAB实现
• 运行结果： • F =-(cos(2*w)-1)/w^2 • 即：
3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 一、冲激函数的傅里叶变换
FT [ (t )]
(t )
t
(t )e
jt
dt 1
F ( j )
1
j 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或 “白色频谱”。 矩形方波演变成冲激函数.exe 单位冲激函数可矩形脉冲取极限 单位冲激函数.exe 得到 其傅立叶变换也可类似推得.
f1 (t ) f (t ) sgn(t ) e t u (t ) e t u (t )
F1 ( j ) F [ f1 (t )] ( e )e
t
0 j t
e
1
e
t
t
1
f1 (t )
dt e t e j t dt
0
e t
t
2 j 2 2
et
1
2 j F1 ( j ) 2 2
F ( j )
2 F ( j ) lim F1 ( j ) 0 j
F ( j ) 2
2 ( ) 2
0 0
2
一、单边指数信号
e t t 0 t f (t ) e u (t ) 0 t0
F ( ) f (t )e
j t
f (t )
1
( 0)
1 dt j
F ( )
1
2 2
1
F ( )
( ) arctan( ) ( )
复习
1 jt 3. f (t ) d表示非周期信号能分解 为 F ( )e 2 F ( ) jt 无限多个频率为 , 振幅为 d的指数分量e 的 2 连续和(积分).
4.周期信号各频率分量的 复振幅Fn为有限值, 而非周 期信号各频率分量的复 振幅为 F ( ) 2 限值, 则为无穷小量, 频谱不能用复振幅直接 表示, 改用 F ( )描述非周期信号频谱特 , 即比较各频率分量 性 的相对大小. d , 若F ( )为有
§3.7 傅立叶变换的基本性质
性质的用途： F √ y (t ) Y ( j ) ?
性 表 示 质 表 示
F ? y(t ) Y ( j )√
表 示 性 质 表 示
F x i (t ) X i ( j )
√
F X ( j ) x i (t ) i
√
F x(t )? h(t ) X ( j )? H ( j )
?
F y (t ) Y ( j )
?
§3.7 傅立叶变换的基本性质
一、对称性
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
jt
反变换 正变换
F ( j ) f (t )e
dt
FALSH\对偶性质.swf
若f (t ) F ( )则F (t ) 2f ( ) 1 证明：f (t ) F ( )e jt d 2 2f (t ) F ( )e jt d
1 FT [ ( )] 2
1
( )e jt d
1 0
f (t ) 1
1 常函数变换.exe 2 ( ) 2
2
t 0
1
f1 (t )
f (t )
1
/ 2
/2
F1 ( j ) Sa (
2
t
)
t
F ( j ) 2 ( )
n
n
e jt d
同理：
d FT (t ) 2 ( j ) n ( ) dt
n n
三、阶跃函数的傅立叶变换
1 1 F ( j ) F [u(t )] F [ ]F [ sgn(t )] 0 2 2
1 1 u (t ) sgn(t ) 2 2
u(t)
t
1 ( ) j F ( )
( (
4 n
2 ( 2 n 1)
2 ( 2 n 1)
4 ( n 1)
) )
E
E
F ( j )
t
2
0
2
F ( ) ESa (
2
4
2
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F ( ) E Sa( ) 2
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