第5讲 一次方程(组)及应用-2021年中考数学一轮复习之考点讲解册(广东专用)

第5讲 一次方程(组)及应用
知识梳理
1. 等式的基本性质及方程的概念
(1) 用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式.
(2) 等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式． 若a b =，则a m b m ±=±；
等式性质2：等式两边都乘以或除以同一个数不为0的数，结果仍是等式．若a b =，则am bm =，a b m m
=(0)m ≠. 注意：在等式变形中，以下两个性质也经常用到：对称性，即：如果a b =，那么b a =． 传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =．
2. 一元一次方程的概念及其解法
(1) 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程．
(2) 解一元一次方程的一般步骤：
1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的 最小公倍数 ．
2．去括号：一般地，先去 小括号，再去 中括号，最后去 大括号．
3．移项：把含有 未知数 的项都移到方程的一边， 不含未知数的项移到方程的另一边． 4．合并同类项：把方程化成ax b =的形式．
5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a (0a ≠ )，得到方程的解 b x a
=
． 3. 二元一次方程（组）的相关概念及其解法
(1) 含有两个未知数，且未知项的最高次项的次数是1的整式方程，叫做二元一次方程．
(2) 二元一次方程组：两个含有相同未知数的方程合在一起，构成二元一次方程组．
(3) 使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解．
(4) 解二元一次方程组的基本思想是__消元__，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有__代入__消元法和__加减__消元法．
4.一次方程(组)的应用
(1)解应用题的步骤:①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.
(2)应用题的常见类型:
①工作(或工程)问题:工作量=工作效率×工作时间;
②利息问题:利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息;
③行程问题:路程=速度×时间;其中,相遇问题:s 甲+s 乙=s 总;
追及问题:(同地异时)前者走的路程=追者走的路程;
(异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程.
④航行问题:v 顺=v 静+v 水;v 逆=v 静-v 水.
⑤利润问题:利润=卖价-进价;利润率=利润进价×100%.
⑥数字问题:两位数=10×十位数字+个位数字;
三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字.
⑦增长率问题:增长后的量=基础量×(1+增长率).
5年真题
命题点1 二元一次方程组的解法
1．（6分）（2019•广东）解不等式组：{x −1＞2①2(x +1)＞4②
解：{x −1＞2①2(x +1)＞4②
，解不等式①，得x ＞3， 解不等式②，得x ＞1，则不等式组的解集为x ＞3.
命题点2 一次方程（组）的实际应用
2．（7分）（2019•广东）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？ 解：（1）设购买篮球x 个，购买足球y 个，
依题意得：{x +y =6070x +80y =4600
．解得{x =20y =40． 答：购买篮球20个，购买足球40个；
（2）设购买了a 个篮球，依题意得：70a ≤80（60﹣a ）,解得a ≤32．
答：最多可购买32个篮球．
3．（6分）（2017•广东）学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？
解：设男生志愿者有x 人，女生志愿者有y 人，根据题意得：{30x +20y =68050x +40y =1240
， 解得：{x =12y =16
．答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人． 3年模拟
1．（2020•英德市一模）方程kx ﹣4＝0的根是x ＝1，则k 的值是（ ）
A ．﹣4
B ．﹣1
C ．4
D ．﹣3
2．（2020•顺德区模拟）解方程2x +x−13=2−3x−12，去分母，得（ B ）
A ．12x +2（x ﹣1）＝12+3（3x ﹣1）
B ．12x +2（x ﹣1）＝12﹣3（3x ﹣1）
C ．6x +（x ﹣1）＝4﹣（3x ﹣1）
D ．12x ﹣2（x ﹣1）＝12﹣3（3x ﹣1）
3．（2020•宝安区二模）小天使童装店一件童装标价80元，在促销活动中，该件童装按标价的6折销售，仍可获利20%，则这种童装每件的进价为（ B ）元．
A ．30
B ．40
C ．50
D ．60
4．（2020•天河区模拟）已知关于x 的方程
a−x 2=bx−33的解是x ＝2，则代数式a 8−b 6的值为（ B ） A ．−124 B ．0 C ．124 D ．2
5．（2020•深圳模拟）对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义新运算：|
a b c d |=ad −bc ，已知|2x −4x 1
|=18，则x ＝（ C ） A ．﹣1 B ．2 C ．3 D ．4
6．（2020•顺德区模拟）x 等于 56 数时，代数式3x−23的值比4x−14的值的2倍小1．
7．（2020•顺德区模拟）若方程2x +y ＝3，2x ﹣my ＝﹣1，3x ﹣y ＝2有公共解，则m 的值为 3 ．
8．（2020•东莞市一模）已知a ，b 满足方程组{4a +3b =83a +4b =6
，则a ﹣b 的值为 2 ． 9．（2020•顺德区模拟）如果（x +y ﹣2）2与|x ﹣3y +4|互为相反数，那么x ﹣y 的值为 ﹣1 ．
10．（2020•顺德区三模）中国清代数学著作《御制数理精蕴》中有这样一道题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（“两”是我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．则马每匹价 6 两．
11．（2020•顺德区模拟）解方程
（1）x ﹣2（x ﹣4）＝3（1﹣x ）;
（2）1−3x−14=3+x 2.
解：（1）去括号得：x ﹣2x +8＝3﹣3x ，
移项合并得：2x ＝﹣5，
解得：x ＝﹣2.5；
（2）去分母得：4﹣3x +1＝6+2x ，
移项合并得：﹣5x ＝1，
解得：x ＝﹣0.2．
12．（2020•白云区一模）新冠肺炎疫情发生后，为支援疫情防控，某企业研发14条口罩生产线，生产普通防护口罩和普通N 95口罩，现日总产量达170万只，已知每条生产线可日产普通防护口罩15万只或普通N 95口罩5万只．
（1）将170万用科学记数法表示为 1.7×106 ；
（2）这14条生产线中，生产普通防护口罩和普通N 95口罩的生产线分别有多少条？ 解：（1）将170 0000用科学记数法表示为：1.7×106．
故答案为：1.7×106．
（2）设这14条生产线中有普通防护口罩生产线x 条，普通N 95口罩的生产线y 条，
根据题意得：{x +y =1415x +5y =170
，解得：{x =10y =4， 答：这14条生产线中有普通防护口罩生产线10条，普通N 95口罩的生产线4条．
13．（2020•南山区模拟）桃花中学计划购买A 、B 两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A 型小黑板比买一块B 型小黑板多20元，且购买5块A 型小黑板和4块B 型小黑板共需820元．（1）求购买一块A 型小黑板和一块B 型小黑板各需要多少元？
（2）根据学校的实际情况，需购买A 、B 两种型号的小黑板共60块，并且购买A 型小黑板的数量不少于购买B 型小黑板的数量，请问学校购买这批小黑板最少要多少元？ 解：（1）设A 型小黑板x 元/块，B 型小黑板y 元/块，
{x −y =205x +4y =820
，解得，{x =100y =80， 答：A 型小黑板100元/块，B 型小黑板80元/块；
（2）设购买A 型小黑板a 块，学校购买这批小黑板共需m 元，
a ≥60﹣a ，解得，a ≥30，
m ＝100a +80（60﹣a ）＝20a +4800，∵m 随着a 的增大而增大，
∴a ＝30时，m 有最小值为5400，答：学校购买这批小黑板最少要5400元．。