2020新人教A版高中数学必修1同步课件：第一章 函数习题课

都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),
那么函数f(x)就叫做奇函数.
【做一做4】 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数.当x<0时,f(x)=-
x2+2x,则f(1)=
.
解析:∵当x<0时,f(x)=-x2+2x,
<
2 3.
答案:(1)A (2)A
题型一 题型二 题型三 题型四
抽象函数的单调性与奇偶性问题 【例4】 设函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2. (1)求证:f(x)是奇函数. (2)试问:当-3≤x≤3时,f(x)是否有最值?如果有,求出最值;如果没 有,请说明理由. 分析:(1)f(x+y)=f(x)+f(y)对一切x,y∈R均成立, 先计算f(0),再令y=-x,可证得f(x)为奇函数. (2)利用函数的单调性来确定是否存在最值.
①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称.
若不对称,则函数f(x)为非奇非偶函数;若对称,则进行下一步.
②验证.f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x). ③下结论.
若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数; 若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数; 若f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠f(x),则f(x)为非奇非偶函数;若f(-x)=-f(x),且 f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数也是偶函数.
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 2】 已知函数 f(x)=
������
+
3 4
,-1
1 1+������
,0
≤
< ������ ������ ≤
< 1,
0,
则函数������(������)
的值域为__________________.
解析:当-1<x<0
时,−
1 4
<
������ + 3
(2)图象法 f(x)是奇(偶)函数的条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称. (3)性质法
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; ②奇函数的和、差仍为奇函数; ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
题型一 题型二 题型三 题型四
解得 ������ = -1, 或 ������ = -1 或������ = 3, ������ < 1 ������ ≥ 1,
故x=-1或x=3.
答案:(1){x|x≤4,且x≠-1} (2)-1或3
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的 取值集合.如果函数的解析式是由几部分组成,那么它的定义域就 是使各部分有意义的自变量的取值集合的交集.
∴f(-1)=-(-1)2+2×(-1)=-3.
又f(x)为奇函数,∴f(1)=-f(-1)=3.
答案:3
1.利用函数单调性的性质判断函数的单调性
剖析若函数f(x),g(x)在区间D上具有单调性,则在区间D上具有以
下性质:
(1)f(x)与-f(x)具有相反的单调性.
(2)f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.
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(2)解:由f(1-a2)+f(1-a)<0, 得f(1-a2)<-f(1-a).
∵y=f(x)在区间[-1,1]上是奇函数, ∴-f(1-a)=f(a-1), ∴f(1-a2)<f(a-1).
又f(x)在定义域[-1,1]上单调递减,
-1 ≤ 1-������2 ≤ 1,
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【变式训练3】 (1)设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)内单调递增,
则f(-2),f(-π),f(3)的大小顺序是 ( )
A.f(-π)>f(3)>f(-2) B.f(-π)>f(-2)>f(3)
C.f(3)>f(-2)>f(-π) D.f(3)>f(-π)>f(-2)
;
(2)已知 f(x)=
������-3,������ ������(������(������
≥ +
9, 4)),������
<
9,
则������(7)
=
______________.
解析:(1)根据题意知g(x)的定义域为B={x|x<a+1}.
∵A={x|x≥4},A∩B=⌀,∴a+1≤4,∴a≤3.
(2)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,则满足f(2x-1)<
������
1 3
的������的取值范围为(
)
A. 1 , 2 B. 1 , 2 C. 1 , 2 D. 1 , 2
33
33
23
23
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解析:(1)∵f(x)是R上的偶函数,
∴f(-2)=f(2),f(-π)=f(π),
函数习题课
1.能掌握函数的定义、三要素及其表示. 2.会求函数的定义域、值域、最值. 3.能利用函数单调性、奇偶性的定义研究函数的性质. 4.能解决简单的抽象函数问题.
1.函数的三要素:定义域、值域、对应关系.
【做一做 1】 已知函数 f(x)= ������2 + 1, ������∈[-1, 3], 则函数������(������) 的值域为_____________________.
定义域的表示方法与集合的表示方法相同. 2.对于分段函数的函数值,应采用分类讨论思想即分段进行求解. 各段独立进行,分别讨论求解.
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【变式训练 1】 (1)已知集合 A={x|x≥4},g(x)= 1 的定义域
1-������ +������
为������. 若������∩B=⌀,则实数 a 的取值范围是
可得f(x)的值域为[0,4].
(2)函数 y= 2������+1 可化为y=2+ 7 . ∵ 7 ≠0,
������-3
������-3 ������-3
∴y≠2,故函数值域为{y|y∈R,且y≠2}.
答案:(1)[0,4] (2){y|y∈R,且y≠2}
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反思求函数值域的方法: (1)观察法;(2)图象法;(3)单调性法;(4)分离常数法.
0 ≤ ������2 ≤ 2,
∴ -1 ≤ 1-������ ≤ 1, 解得 0 ≤ ������ ≤ 2,
1-������2 > ������-1,
-2 < ������ < 1.
∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1).
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反思奇偶性与单调性综合的两种题型及解法 1.比较大小问题,一般解法是先利用奇偶性,将不在同一单调区间 上的两个或多个自变量的函数值,转化为其对称区间上的函数值, 使其在同一单调区间上,然后利用单调性比较大小. 2.抽象不等式问题,解题步骤是:(1)将所给的不等式转化为两个函 数值的大小关系;(2)利用奇偶性得出区间上的单调性,再利用单调 性“脱去”函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题. 需要注意的是:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上; 当不等式一边没有符号“f”时,需转化为含符号“f”的形式,如 0=f(1),f(x-1)<0,则f(x-1)<f(1).注意偶函数中结论f(x)=f(|x|)的灵活运 用.
解析:(1)(方法1)函数f(x)=-x2+4x为二次函数,图象开口向下,且对
称轴为x=2.故当x∈[0,2]时,f(x)单调递增;当x∈(2,3)时,f(x)单调递
减.∴当x∈[0,3)时,f(x)max=f(2)=4,f(x)min=f(0)=0.∴f(x)的值域为[0,4].
(方法2)画出函数f(x)=-x2+4x,x∈[0,3)的图象,如图所示,观察图象
求函数的定义域和函数值
4-������
【例 1】 (1)函数 f(x)= ������+1 的定义域为________________;
(2)已知函数 f(x)=
-2������ + 1,������ < 1, ������2-2������,������ ≥ 1,
若������(������)
=
3,
【做一做3-1】 下列函数在区间(0,+∞)内为增函数的是( )
A.y=3-x B.y=x2+2x
C.y=-x2+1
D.y=
4 ������
解析:对于B,函数y=x2+2x为二次函数,且图象开口向上,对称轴为
x=-1,故函数y=x2+2x在(0,+∞)内为增函数;A,C,D在(0,+∞)内均为减
函数.
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(1)解析:由(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0 得f(x)在区间(-∞,0]上为增函数.
∵f(x)为偶函数, ∴f(x)在区间[0,+∞)内为减函数.
又f(-n)=f(n),且0≤n-1<n<n+1,
∴f(n+1)<f(n)<f(n-1),
即f(n+1)<f(-n)<f(n-1). 答案:C
解析:∵-1≤x≤ 3, ∴ 0≤x2≤3, ∴1≤x2+1≤4, ∴1≤ ������2 + 1≤2, ∴函数f(x)的值域为[1,2].
答案:[1,2]
2.函数的表示法:图象法、列表法、解析法. 【做一做2】 已知函数f(x+1)=x,则函数f(x)的图象是( )
解析:∵f(x+1)=x, ∴f(x+1)=(x+1)-1.∴f(x)=x-1. ∴f(x)=x-1的图象如图所示.故选C.
答案:B
【做一做3-2】 已知函数f(x)=|2x-1|,则函数f(x)的递减区间
是
.
解析:∵f(x)=|2x-1|=
2������-1,������
≥
1 2
,
-2������
+
1,������
<
1 2
,
∴f(x)的递减区间是
-∞,
1 2
.
答案: -∞, 1
2
4.函数的奇偶性:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,
又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且2<3<π,
∴f(π)>f(3)>f(2),即f(-π)>f(3)>f(-2).
(2)由于f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,
则不等式 f(2x-1)<������
1 3
,
即|2x-1|<
1 3
,
即
−
1 3
<
2������
−
1
<
1,
3
解得
1 3
<
������
4
< 3,故−1 <
4
4
������
������
< 3;
4
当0≤Байду номын сангаас≤1
时,f(x)=
1 1+������
为减函数,故
12≤f(x)≤1.
综上,原函数 f(x)的值域为 - 1 ,1 .
4
答案:
-
1 4
,1
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函数单调性与奇偶性的综合运用 【例3】 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈ (-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则当n∈N*时,有( ) A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1) B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n) (2)已知函数y=f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,又是减函数.若 f(1-a2)+f(1-a)<0,求实数a的取值范围.
(2)f(7)=f(f(11))=f(8)=f(f(12))=f(9)=6. 答案:(1)a≤3 (2)6
题型一 题型二 题型三 题型四
求函数的值域
【例2】 (1)函数f(x)=-x2+4x,x∈[0,3)的值域为
;
(2)函数
y=
2������ +1 ������-3
的值域为_________________.
(3)当a>0时,f(x)与af(x)具有相同的单调性;当a<0时,f(x)与af(x)具
有相反的单调性.
(4)当
f(x)恒大于零或恒小于零时,f(x)与
1 ������(������)
具有相反的单调性.
(5)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)也是增(减)函数.
2.函数奇偶性的判断方法 剖析:(1)定义法 根据函数奇偶性的定义进行判断,步骤如下:
则������
=
_________.
解析:(1)当 f(x)有意义时,需满足
4-������ ������ +
≥ 1
0, ≠ 0,
解得x≤4,且
x≠-1,
故函数 f(x)的定义域为{x|x≤4,且 x≠-1}.
(2)由已知得
-2������ + 1 = 3, 或 ������ < 1
������2-2������ = 3, ������ ≥ 1,
答案:C
3.函数的单调性:一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域
I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1) > f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.