空间角的求法

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空间角的求法
两条异面直线的夹角的求法（注意夹角范围为（0°，90°]），通过平移让两直线有交点，
直线与平面所成的角的求法（注意夹角范围为[0°，90°]），寻找斜线、垂线、射影三条线
两个半平面的夹角的求法（注意夹角的范围为[0°，180°]），两个半平面内分别找垂直于相交线的直线 关键是找出要求的空间角。

1、在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知AB = 4， AD =3， AA 1= 2．E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB = FB =1．（1）求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值； （2）求二面角C -DE -C 1的平面角的正切值．
解：A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系A -xyz ，则有D (0，3，0)、 D 1(0，3，2)、E (3，0，0)、F (4，1，0)、C 1(4，3，2)．于是，1(3,3,0),(1,3,2)DE EC =-=，1(4,2,2)FD =-．
（1）设EC 1与FD 1所成角为β
，则1111cos |||||||1EC FD EC FD β==⨯． （2）设向量(,,)x y z =n 与平面C 1DE 垂直，则有133013202DE x y x y z x y z EC ⎫⊥-=⎫⎪⇒⇒==-⎬⎬++=⊥⎭
⎪⎭n n ． ∴(,,)(1,1,2),222z z z z =--=--n 其中z ＞0．取n 0=(-1，-1，
2)，则n 0是一个与平面C 1DE 垂直的向量． ∵向量1AA =（0，0，2）与平面CDE 垂直，∴n 0与1AA 所成的角θ为二面角C -DE -C 1的平面角．
∵01
01cos ||||1AA AA θ===⨯n n ，∴tan θ=． 2、如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N 是PB 中点，截面DAN 交PC 于M.（Ⅰ）求PB 与平面ABCD 所成角的大小； （Ⅱ）求证：PB ⊥平面ADMN ；（Ⅲ）求以AD 为棱，PAD 与ADMN 为面的二面角的大小.
（I ）解：取AD 中点O ，连结PO ，BO.△PAD 是正三角形，所以PO ⊥AD ， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以，PO ⊥平面ABCD ，
BO 为PB 在平面ABCD 上的射影，所以∠PBO 为PB 与平面ABCD 所成的角.
由已知△ABD 为等边三角形，所以PO=BO=3，
所以PB 与平面ABCD 所成的角为45°.（Ⅱ）△ABD 是正三角形，所以AD ⊥BO ，所以AD ⊥PB ，
又，PA=AB=2，N 为PB 中点，所以AN ⊥PB ， 所以PB ⊥平面ADMN.（Ⅲ）连结ON ，因为PB ⊥平面ADMN ，所以ON 为PO 在平面ADMN 上的射影，因为AD ⊥PO ，所以AD ⊥NO ， 故∠PON 为所求二面角的平面角.因为△POB 为等腰直角三角形，N 为斜边中点，所以∠PON=45°
3、如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，BC AC ⊥，且BC AC =．（1）求证：⊥AM 平面EBC ；（2）求直线AB 与平面EBC 所成的角的大小；
（3）求二面角C EB A --的大小．
解法一：(Ⅰ)∵四边形ACDE 是正方形， EC AM AC EA ⊥⊥∴,．∵平面⊥ACDE 平面ABC ，又∵AC BC ⊥，⊥∴BC 平面EAC ． ⊂AM 平面EAC ，⊥∴BC AM ． ⊥∴AM 平面EBC ． (Ⅱ)连结BM ，⊥AM 平面EBC ，ABM ∠∴是直线AB 与平面EBC 所成的角．
设a BC AC EA 2===，则a AM 2=，a AB 22=， 2
1sin ==∠∴AB AM ABM ， ︒=∠∴30ABM ．
即直线AB 与平面EBC 所成的角为︒30
（Ⅲ）过A 作EB AH ⊥于H ，连结HM ． ⊥AM 平面EBC ，EB AM ⊥∴．⊥∴EB 平面AHM ． AHM ∠∴是二面角C EB A --的平面角． ……10分
∵平面⊥ACDE 平面ABC ，⊥∴EA 平面ABC ．
⊥∴EA AB ．
在EAB Rt ∆中， EB AH ⊥，有AH EB AB AE ⋅=⋅．
由(Ⅱ)所设a BC AC EA 2===可得
a AB 22=，a EB 32=， 3
22a EB AB AE AH =⋅=∴． ………………10分 2
3sin ==
∠∴AH AM AHM ．︒=∠∴60AHM ． ∴二面角C EB A --等于︒60． ……………………12分 84、如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F
为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ；
（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的余弦值；
（Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离.
（Ⅳ）求证：平面BDF ⊥平面ABCD
解法一：（Ⅰ）⊥BF 平面ACE. .AE BF ⊥∴
∵二面角D —AB —E 为直二面角，且AB CB ⊥， ⊥∴CB 平面ABE.
.AE CB ⊥∴ .B C E AE 平面⊥∴
（Ⅱ）连结BD 交AC 于C ，连结FG ，
∵正方形ABCD 边长为2，∴BG ⊥AC ，BG=2， ⊥BF 平面ACE ，
（Ⅲ）过点E 作AB EO ⊥交AB 于点O. OE=1.
∵二面角D —AB —E 为直二面角，∴EO ⊥平面ABCD.
设D 到平面ACE 的距离为h ，,ACD E ACE D V V --=
.3
131EO S h S ACD ACB ⋅=⋅∴∆∆ ⊥AE 平面BCE ，.EC AE ⊥∴ .332622
1122212121=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴EC AE EO DC AD h ∴点D 到平面ACE 的距离为
.332
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