宁夏石嘴山市2019-2020学年高考数学考前模拟卷(3)含解析

宁夏石嘴山市2019-2020学年高考数学考前模拟卷（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）
A 53
B ．23
C ．33
D ．
3
3
【答案】D 【解析】 【分析】
设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得
sin sin120AB AC
α=︒
，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解. 【详解】
设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=， 则13AC =133
CD =
由正弦定理得
sin sin120AB AC α=︒，即3
sin 213
α=， 从而()3
cos cos 90sin 213
BCD αα-∠=︒+=-=
， 在BCD ∆中，由余弦定理得：21313349
923333
213BD =+
+⨯=
， 则73
BD =
. 故选：D 【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 2．函数2()1cos 1x
f x x e ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
图象的大致形状是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
判断函数()f x 的奇偶性，可排除A 、C ，再判断函数()f x 在区间0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上函数值与0的大小，即可得出答案. 【详解】
解：因为21()1cos cos 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫
=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
， 所以()()111()cos cos cos 111x x x
x x x
e e e
f x x x x f x e e e --⎛⎫----=-===- ⎪+++⎝⎭
， 所以函数()f x 是奇函数，可排除A 、C ； 又当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，()0f x <，可排除D ； 故选：B. 【点睛】
本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.
3．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2
x ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
恒成立，则a 的最小值是 （ ）
A ．0
B ．2-
C ．52
-
D ．3-
【答案】C 【解析】
【分析】 【详解】
试题分析：将参数a 与变量x 分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．
解：不等式x 2
+ax+1≥0对一切x ∈(0，12]成立，等价于a≥-x-1x 对于一切10,2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
成立，
∵y=-x-
1x 在区间10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
上是增函数 ∴11
522
2
x x
--≤--=-
∴a≥-
52
∴a 的最小值为-
5
2
故答案为C ． 考点：不等式的应用
点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题
4．设函数()2
2cos cos f x x x x m =++，当0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()17,22f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，则m =（ ） A ．
1
2
B ．
32
C ．1
D ．
72
【答案】A 【解析】 【分析】
由降幂公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得参数值． 【详解】
()
2
2cos cos f x x x x m =++1cos22x x m =+++2sin(2)16
x m π
=+++，
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，72[,]666x πππ+∈，1sin(2)[,1]62x π+∈-，∴()[,3]f x m m ∈+，
由题意17[,3][,]22m m +=，∴12
m =． 故选：A ． 【点睛】
本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数性质，掌握正弦函数性质是解题关键．
5．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】
由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()
10121024121212i z i i i i +=
==+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 6．下列四个图象可能是函数35log |1|
1
x y x +=
+图象的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
首先求出函数的定义域，其函数图象可由35log ||
x y x
=
的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，因为35log ||
x y x
=
为奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)-对称，即可排除A 、D ，再根据0x >时函数值，排除B ，即可得解. 【详解】 ∵35log |1|
1
x y x +=
+的定义域为{}|1x x ≠-，
其图象可由35log ||
x y x
=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到， ∵35log ||x y x
=为奇函数，图象关于原点对称，
∴35log |1|1
x y x +=+的图象关于点(1,0)-成中心对称.
可排除A 、D 项. 当0x >时，35log |1|
01
x y x +=>+，∴B 项不正确.
故选：C 【点睛】
本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.
7．()()()()(
)*
121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）
A ．3
n C B ．2
1n C +
C ．1
n n C -
D ．
3112
n C + 【答案】B 【解析】 【分析】
根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论． 【详解】
由题意展开式中x 的一次项系数为2
1(1)122
n n n n C +++++==L ． 故选：B ． 【点睛】
本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式． 8．在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．4711
B ．4712
C ．4713
D ．4715
【答案】B 【解析】 【分析】
计算出3a 的值，推导出(
)3n n a a n N *
+=∈，再由202036731=⨯+，结合数列的周期性可求得数列{}n
a 的
前2020项和. 【详解】
由题意可知128n n n a a a ++=，则对任意的n *∈N ，0n a ≠，则1238a a a =，312
8
4a a a ∴=
=， 由128n n n a a a ++=，得1238n n n a a a +++=，12123n n n n n n a a a a a a +++++∴=，3n n a a +∴=，
202036731=⨯+Q ，因此，()1220201231673673714712a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++=⨯+=.
故选：B. 【点睛】
本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
9．将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移
4
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ）
A ．
8
π B ．
4
π C ．
2
π D ．34
π
【答案】B 【解析】 【分析】
根据条件先求出()g x 的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可. 【详解】
将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移
4
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象， 则()cos 2cos 242g x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
设22
x πθ=+
， 则当0x a <≤时，022x a <≤，
222
2
2
x a π
π
π
<+
≤+
，
即
222
a ππθ<≤+， 要使()g x 在区间[]0,a 上单调递减， 则22
a π
π+
≤得22
a π
≤
，得4
a π
≤
，
即实数a 的最大值为4
π， 故选：B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题. 10．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移1
8
个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．
8
π B ．
34
π C ．
2
π D ．
4
π 【答案】D 【解析】 【分析】
由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于ϕ的方程，对k 赋值即可求解. 【详解】
由题意知，函数()sin(2)f x x ϕ=-的最小正周期为22T π
π=
=,即88
T π=, 由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式可得， 将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移
1
8
个周期后的解析式为 ()sin 2sin 284g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
因为函数()g x 的图象关于y 轴对称， 所以,4
2
k k z π
π
ϕπ-
-=
+∈，即3,4
k k z π
ϕπ=-
+∈， 所以当1k =时，ϕ有最小正值为4
π. 故选：D 【点睛】
本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
11．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )
A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
B ．9
32,2ln 2ln 5⎛⎫
⎪⎝⎭ C ．9
32,2ln 2ln 5⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．9,2ln 2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
由题可知，设函数()ln(1)f x a x =+，32
()2g x x x =-，根据导数求出()g x 的极值点，得出单调性，根据32
ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，转化为()()f x g x >在区间
(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数a 的取值范围.
【详解】
设函数()ln(1)f x a x =+，32
()2g x x x =-，
因为2
()34g x x x '=-， 所以()0g x '=，
0x ∴=或43x =
， 因为4
03
x << 时，()0g x '<，
4
3
x >
或0x <时，()0g x '>，(0)(2)0g g ==，其图象如下：
当0a „时，()()f x g x >至多一个整数根；
当0a >时，()()f x g x >在(0,)+∞内的解集中仅有三个整数，只需(3)(3)
(4)(4)f g f g >⎧⎨⎩
„，
3232
ln 4323ln 5424
a a ⎧>-⨯∴⎨-⨯⎩„， 所以
932
2ln 2ln 5
a <„. 故选：C. 【点睛】
本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.
12．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2o 的近似值为（ ）
A ．
π90
B ．
π180
C ．
π270
D ．
π360
【答案】A 【解析】 【分析】
设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n ︒
,则每个等腰三角形的面积为21360sin 2r n
︒,由割圆术可得圆的面积为2
21360sin 2r n r n π︒=⋅,整理可得3602sin n n
π
︒=,当180n =时即可为所求. 【详解】
由割圆术可知当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n
︒
, 所以每个等腰三角形的面积为
21360sin 2r n ︒, 所以圆的面积为2
21360sin
2r n r n π︒=⋅,即3602sin n n π︒=, 所以当180n =时,可得3602sin sin 218018090
ππ
︒=︒==, 故选:A 【点睛】
本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知圆22 : 4O x y +=，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，()2,2A ，若2240AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为___________. 【答案】22 【解析】
【分析】
取PQ 的中点为M ，由2
2
40AP AQ +=可得2216AM OM -=，可得M 在20x y ++=上，当OM 最
小时，弦PQ 的长才最大. 【详解】
设M 为PQ 的中点，(
)22
2
22(2)
AP AQ AM PQ +=+，即222222AP AQ AM MQ +=+，
即(
)2
2
2
4022AM OQ OM
=+-，2
2204AM
OM =+-，2216AM OM -=.
设(),M x y ，则(
)2
2
2
2
(2)(2)16x y x y
-+--+=，得20x y ++=.
所以min 22
OM =
=，max 22PQ =.
故答案为：2 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.
14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1352a a +=，且24
54a a +=，则66
=S a __________. 【答案】63 【解析】 【分析】 由题意知24131
2
a a q a a +==+，继而利用等比数列{}n a 的前n 项和为n S 的公式代入求值即可.
【详解】
解：由题意知241312a a q a a +==+，所以616
66556
61(1)11()112631(1)()2
a q S q q a a q q q ----====-. 故答案为：63. 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题.
15．
在2n
x ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.
【答案】1 【解析】 【分析】
由题意可得8n =，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值． 【详解】
2
)n x
的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，8n ∴=，
通项公式为4843
3
1
8
(2)(2)n r r r
r
r
r
r n
T
C x
C x
--+=-=-g g g g ，令
8403
r
-=，求得2r =， 可得二项展开式常数项等于284112C ⨯=， 故答案为1． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足2n n S a +=-，则数列{}n a 的通项n a =_______．
【答案】1
12n -⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
先求得1n =时11a =-；再由2n n S a +=-可得2n ≥时112n n S a --+=-,两式作差可得120n n a a --=,进而求解. 【详解】
当1n =时,11122S a a +==-,解得11a =-；
由2n n S a +=-,可知当2n ≥时,112n n S a --+=-,两式相减,得120n n a a --=,即11
(2)2
n n a a n -=≥, 所以数列{}n a 是首项为1-,公比为
1
2
的等比数列,
所以
1 1
2
n
n
a
-
⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
,
故答案为:
1
1
2
n-
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
【点睛】
本题考查由n S与n a的关系求通项公式,考查等比数列的通项公式的应用.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.
将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为t；y表示全国GDP总量，表中()
ln1,2,3,4,5
i i
z y i
==，
5
1
1
5i
i
z z
=
=∑.
t y z()
52
1
i
i
t t
=
-
∑()()
5
1
i i
i
t t y y
=
--
∑()()
5
1
i i
i
t t z z
=
--
∑
3 26.47
4 1.903 10 209.76 14.05
（1）根据数据及统计图表，判断ˆy bt a
=+与ˆdt
y ce
=（其中e 2.718
=L为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量y关于t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出y关于t的回归方程.
（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.
线性回归方程ˆ
ˆˆ
y bx a
=+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
()()
()
1
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
--
=
-
∑
∑
，ˆ
ˆa y bx
=-.
参考数据：
n 4 5 6 7 8
n
e的近似值55 148 403 1097 2981
【答案】（1）dt
y ce =，()1.405 2.312
2.312 1.405ˆt t y
e e e --==；（2）148万亿元.
【解析】 【分析】
（1）由散点图知dt
y ce =更适宜，对dt
y ce =两边取自然对数得ln ln y c dt =+，令ln z y =，ln a c =，
b d =，则z a bt =+，再利用线性回归方程的计算公式计算即可；
（2）将 5.2t =代入所求的回归方程中计算即可. 【详解】
（1）根据数据及图表可以判断，
dt y ce =更适宜作为全国GDP 总量y 关于t 的回归方程.
对dt
y ce =两边取自然对数得ln ln y c dt =+，令ln z y =，ln a c =，b d =，得z a bt =+.
因为()()
(
)
5
1
5
2
1
14.05
ˆ 1.40510
i i
i i i t t z
z
b
t t
==--==
=-∑∑， 所以$ˆ 1.903 1.4053 2.312a
z bt =-=-⨯=-， 所以z 关于t 的线性回归方程为 1.405 2.312z
t =-$， 所以y 关于t 的回归方程为()1.405 2.312
2.312 1.405ˆt t y e e e --==.
（2）将 5.2t =代入 1.405 2.312
ˆt y
e -=，其中1.405 5.2 2.312 4.994⨯-=，
于是2020年的全国GDP 总量约为： 4.994
5ˆ148y
e e =≈=万亿元.
【点睛】
本题考查非线性回归方程的应用，在处理非线性回归方程时，先作变换，转化成线性回归直线方程来处理，是一道中档题.
18．已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1a 、2a 、5a 成等比数列，
749=S .设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足(
)2log 2n T +=（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令()*n
n n
a c n N
b =
∈，证明：123n c c c +++<L . 【答案】（1）21n a n =-,2n
n b =
（2）证明见解析 【解析】
【分析】
（1）利用首项1a 和公差d 构成方程组，从而求解出{}n a 的通项公式；由{}n a 的通项公式求解出n S 的表达式，根据(
)2log 2n T +=
()12n n n b T T n -=-≥，求解出{}n b 的通项公式；
（2）利用错位相减法求解出{}n c 的前n 项和n H ，根据不等关系证明即可. 【详解】
（1）设首项为1a ，公差为d .
由题意，得22151767492a a a d
a ⎧=⋅⎪
⎨⨯+=⎪⎩
，解得11a =，2d = ∴21n a n =-，()()211211(1)2
n n n S n ++++==+
∴(
)2log 21n T n +=+，∴122n n T +=-
当2n ≥时，122n
n T -=-
∴12n
n n n b T T -=-=，2n ≥.当1n =时，112b T ==满足上式.
∴2n
n b = （2）21
2n n
n c -=
，令数列{}n c 的前n 项和为n H . 123135212222n n n H -=++++L
234111352321222222
n n n n n H +--=+++++L 两式相减得12311111121
2222
222
n n n n H +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 1
1
11112
212132312222
12
n n n n n -++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-+⎝
⎭=+-=-- ∴23
332
n n
n H +=-<恒成立，得证. 【点睛】
本题考查等差数列、等比数列的综合应用，难度一般.（1）当用()12n n n a S S n -=-≥求解{}n a 的通项公式时，一定要注意验证1n =是否成立；（2）当一个数列符合等差乘以等比的形式，优先考虑采用错位相减法进行求和，同时注意对于错位的理解.
19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()22
22:10,0x y C a b a b
+=>>的短轴长为2，直线l 与椭圆C 相
交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .当M 与O 连线的斜率为12-时，直线l 的倾斜角为4
π
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若2,AB P =是以AB
为直径的圆上的任意一点，求证：OP ≤
【答案】（1）2
212
x y +=；（2）详见解析.
【解析】 【分析】
（1）由短轴长可知1b =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由设而不求法作差即可求得21212
21212
y y x x b x x a y y -+=--+g ，
将相应值代入即求得a =
（2）考虑特殊位置，即直线l 与x
轴垂直时候，1OP =≤l 斜率存在时，设出直线l 方程y kx m =+，与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到m 与k 的关系，将2
||OM 表示出来，结
合基本不等式求最值，证明最后的结果 【详解】
解：（1）由已知，得1b =
由22
1122
22
2222
11x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得 21212
21212
y y x x b x x a y y -+=--+g
根据已知条件有，
当1212
2x x y y +=-+时，
12
121y y x x -=- ∴221
2
b a =
，即a =∴椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=
（2）当直线l
斜率不存在时，1OP =<. 当直线l 斜率存在时，设:l y kx m =+
由22
22
y kx m x y =+⎧⎨
+=⎩得()222
214220k x kmx m +++-= ∴2121222
422,2121
km m x x x x k k --+==++，22
16880k m ∆=-+> ∴()22222
22241,,212121km
m k M OM m k k k -+⎛⎫= ⎪++⎝⎭+g
由2AB == 化简，得22
2
21
22
k m k +=+ ∴()
222
22241
212221k k OM k k ++=++g ()()22241
2122k k k +=
++
令2411k t +=≥，则
()()2
44
3134t OM t t t t
=
=
++++
4≤=-
当且仅当t =
∴1OM ≤
=
∵1OP OM ≤+
∴OP ≤
当且仅当2k =
时取等号
综上，OP ≤ 【点睛】
本题为直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆方程的求法，点差法处理多未知量问题，能够利用一元二次方程的知识转化处理复杂的计算形式，要求学生计算能力过关，为较难题
20．已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 43sin
4x t y t ππ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（
t
为参数）.
（1）求1C 和2C 的普通方程；
（2）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求
||
||
ON OM 的最小值.
【答案】（1）曲线1C 的普通方程为：2
2
(2)4x y -+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +-=（2
）1) 【解析】 【分析】
（1）消去曲线12,C C 参数方程中的参数，求得1C 和2C 的普通方程.
（2）设出过原点O 的直线的极坐标方程，代入曲线12,C C 的极坐标方程，求得,ON OM 的表达式，结合三角函数值域的求法，求得||
||
ON OM 的最小值.
【详解】
（1）曲线1C 的普通方程为：2
2
(2)4x y -+=； 曲线2C 的普通方程为：80x y +-=.
（2）设过原点的直线的极坐标方程为30,,4R πθββπβρ⎛⎫
=≤<≠∈ ⎪⎝⎭
； 由22(2)4x y -+=得22
40x y x +-=，所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=
在曲线1C 中，4|o |c s OM β=.
由80x y +-=得曲线2C 的极坐标方程为cos sin 80ρθρθ+-=，所以 而O 到直线与曲线2C 的交点N 的距离为8
||sin cos ON ββ
=
+，
因此
28
||2
4
sin cos ||4cos sin cos cos 21
4ON OM ββπββββ
β+===+⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭，
即||||ON OM
1)=. 【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.
21．某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统
计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
（1）经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y
关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为
16，获得“二等奖”的概率为1
3
．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X 的分布列及数学期望．
参考公式：1
2
21
ˆn
i i
i n
i i x y nx y
b
x nx
==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-，71
364i i i x y ==∑，7
21
140i i x ==∑． 【答案】（1）ˆ23y x =+；（2）见解析
【解析】 试题分析：
（I ）由题意可得4x =，11y =，则ˆ2b
=，ˆ3a =，y 关于x 的线性回归方程为ˆ23y x =+． （II ）由题意可知二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：()104P X ==
，()13003P X ==，()560018P X ==，()1
90036
P X ==．据此可得分布列，计算相应的数学期望为400EX =元． 试题解析： （I ）依题意：()1
123456747
x =
++++++=， ()158810141517117y =++++++=，72
1140i i x ==∑，7
1
364i i i x y ==∑，
7
172217364741121407167ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，11243ˆˆa y bx =-=-⨯=， 则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23y
x =+． （II ）二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：
()1110224P X ==⨯=，()1113002233P X ==⨯⨯=，()111156002332618
P X ==⨯+⨯⨯=，
()1119002369P X ==⨯⨯=，()111
12006636
P X ==⨯=．
所以，总金额X 的分布列如下表：
总金额X 的数学期望为030060090012004004318936
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元． 22．已知函数2
1()ln ()2f x x ax x a R =-
+∈，函数()23g x x =-+. （Ⅰ）判断函数1
()()()2
F x f x ag x =+的单调性；
（Ⅱ）若21a -≤≤-时，对任意12,[1,2]x x ∈，不等式1212()()()()f x f x t g x g x -≤-恒成立，求实数t 的最小值.
【答案】 (1) 故函数()y F x =在10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
上单调递减;(2)114. 【解析】 试题分析：
（Ⅰ）根据题意得到()F x 的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立，构造函数
()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+，则有()()1
120h x ax t x
'=-+-≤对任意
[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．
试题解析：
（I ）由题意得()()()()2113
ln 1222
F x f x ag x x ax a x a =+
=-+-+，()x 0,∈+∞， ∴()()2111
1ax a x F x ax a x x
-+-+=-+-=' ()()11ax x x -++=
. 当0a ≤时，()0F x '≥，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增； 当0a >时，令()0F x '>，解得10x a <<
；令()0F x '<，解得1
x a >. 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递增，在1,a
⎛⎫+∞ ⎪⎝
⎭
上单调递减.
综上，当0a ≤时，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增； 当0a >时，函数()y F x =在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.
（II ）由题意知0t ≥.
()211
1ax x f x ax x x
-+=
=
'+-+， 当21a -≤≤-时，函数()y f x =单调递增． 不妨设1≤ 122x x ≤≤，又函数()y g x =单调递减，
所以原问题等价于：当21a -≤≤-时，对任意1212x x ≤≤≤，不等式()()21f x f x -≤
()()12t g x g x ⎡⎤-⎣⎦恒成立，
即()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立. 记()()()()2
1ln 1232
h x f x tg x x ax t x t =+=-
+-+， 由题意得()h x 在[]
1,2上单调递减. 所以()()1
120h x ax t x
'=
-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立. 令()()1
12H a xa t x
=-++-，[]2,1a ∈--，
则()()max 1
22120H a H x t x
=-=++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立.
故max 1212t x x ⎛
⎫-≥+ ⎪⎝
⎭，
而1
2y x x
=+
在[]1,2上单调递增， 所以函数12y x x =+在[]1,2上的最大值为9
2
.
由9212t -≥，解得11
4
t ≥
. 故实数t 的最小值为11
4
．
23．如图，平面四边形ABCD 中，//,90,120BC AD ADC ABC ︒︒∠=∠=，E 是AD 上的一点，
2,AB BC DE F ==是EC 的中点，以EC 为折痕把EDC △折起，使点D 到达点P 的位置，且PC BF ⊥.
（1）证明：平面PEC ⊥平面ABCE ；
（2）求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2
【解析】
【分析】
（1）要证平面PEC ⊥平面ABCE ，只需证BF ⊥平面PEC ，而PC BF ⊥，所以只需证BF EC ⊥，
而由已知的数据可证得BCE ∆为等边三角形，又由于F 是EC 的中点，所以BF EC ⊥，从而可证得结论；
（2）由于在Rt PEC ∆中，122
PE DE PF EC a ====，而平面PEC ⊥平面ABCE ，所以点P 在平面ABCE 的投影恰好为EF 的中点，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【详解】
（1）由//,90,2BC AD ADC AB BC DE ︒
∠===，所以平面四边形ABCD 为直角梯形，设24AB BC DE a ===，因为120ABC ︒∠=.
所以在Rt CDE △
中，,4,tan 3
DE CD EC a ECD CD ==∠==，则30ECD ︒∠=，又90ADC BCD ︒∠=∠=，所以60BCE ︒∠=，由4EC BC AB a ===，
所以BCE ∆为等边三角形，
又F 是EC 的中点，所以BF EC ⊥，又,,BF PC EC PC ⊥⊂平面,PEC EC PC C ⋂=，
则有BF ⊥平面PEC ，
而BF ⊂平面ABCE ，故平面PEC ⊥平面ABCE .
（2）解法一：在Rt PEC ∆中，122
PE DE PF EC a ====，取EF 中点O ，所以PO EF ⊥， 由（1）可知平面PEC ⊥平面ABCE ，平面PEC I 平面ABCE EC =，
所以PO ⊥平面ABCE ，
以O 为坐标原点，OC u u u r
方向为y 轴方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则),,3,0),,,0),(0,3,0)P A a B a C a -
，,3,),,,),(0,3,)PA a PB a PC a =-==u u u v u u u v u u u v ，
设平面PAB 的法向量(,,)m x y z =u r ，由0,0m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v
得30,0,
ay ay ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩取1x =，则(1,0,2)m =v 设直线PC 与平面PAB 所成角大小为θ，
则
2222
235 sin
5
12(3)(3)
m PC a
m PC
a a
θ
⋅
===
+⋅+-
u u u v
v
u u u v
v，
故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为
5
5
.
解法二：在Rt PEC
V中，
1
2
2
PE DE PF EC a
====，取EF中点O，所以PO EF
⊥，由（1）可知平面PEC⊥平面ABCE，平面PEC I平面ABCE EC
=，
所以PO⊥平面ABCE，
过O作OH AB
⊥于H，连PH，则由PO⊥平面,
ABCE AB⊂平面ABCE，所以AB PO
⊥，又
AB OH PO OH O
⊥⋂=
，，则AB⊥平面POH，又PH⊂平面POH所以AB PH
⊥，在Rt POH
V中，3,23
PO a OH BF a
===，所以15
PH a
=，设C到平面PAB的距离为d，由C PAB P ABC
V V
--
=，即
11
33
PAB BEC
S d S OP
⨯⨯=⨯⨯
V V
，即
1111
4154233
3232
a ad a a a
⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，
可得
15
d a
=，
设直线PC与平面PAB所成角大小为θ，则5
15
sin
23
a
d
PC a
θ===.
故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为
5
.
【点睛】
此题考查的是立体几何中的证明面面垂直和求线面角，考查学生的转化思想和计算能力，属于中档题.。