辽宁省葫芦岛市普通高中2015-2016学年高一下学期期末数学试卷(理科) 含解析

2015-2016学年辽宁省葫芦岛市普通高中高一(下）期末数学试卷
（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．sin750°的值为(）
A．B．C． D．
2．在等比数列｛a n}中，a1=，q=，a n=，则项数n为（)
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知向量=（1，2），=(3，1),则﹣=（）
A．(﹣2，1）B．（2，﹣1）C．(2，0) D．（4，3）
4．在△ABC中,a=3，b=5,sinA=,则sinB=（）
A．B．C．D．1
5．已知α为第二象限角,且，则tan(π+α）的值是（）
A．B．C． D．
6．在递减数列{a n｝中，a n=﹣2n2+λn,求实数λ的取值范围是(）
A．（﹣∞,2） B．（﹣∞,3） C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，6）
7．若D点在三角形ABC的边BC上，且=4=γ+s，则3γ+s的值为(）A．B．C．D．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a、b、c，其中A=120°,b=1，且△ABC的面积为,则=()
A． B．C．2D．2
9．已知a n=log
（n+2）（n∈N*）．我们把使乘积a1•a2•a3•…•a n为整数的数n叫做“优数”，（n+1)
则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（）
A．1024 B．2003 C．2026 D．2048
10．函数f（x)=lgsin（﹣2x）的一个增区间是（）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（﹣,﹣）11．已知△ABC的重心为G，内角A,B，C的对边分别为a，b,c，若a+b+c=,则角A为（）
A．B．C．D．
12．在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB，AD的长分别为2，1，若M,N分别是边BC，CD上的点,且满足=，则•的取值范围是（）
A．［1，4］B．［2，5］C．［2，4］D．[1，5]
二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在△ABC中，a=5，b=8，C=60°，则的值为______．
14．设S n为等差数列{a n｝的前n项和，已知S5=5，S9=27，则S7=______．
15．已知tanβ=，sin（α+β)=,且α,β∈（0，π），则sinα的值为______．
=2a n+3×5n，a1=6，则数列{a n｝的通项公式为______．16．已知数列{a n｝满足a n
+1
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．已知函数f（x）=sin2x+cos2x．
（1）求函数f（x)的最小正周期和最值；
（2）求函数f（x)的单调递增区间．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b，c，已知a+b﹣5，c=，且4sin2﹣cos2C=．
（1)求角C的大小;
(2）求△ABC的面积．
19．已知数列｛a n}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3,a4+1成等比数列．
（Ⅰ)求数列{a n｝的通项公式；
（Ⅱ)设b n=，求数列｛b n}的前n项和S n．
20．如图，点A,B是单位圆O上的两点,点C是圆O与x轴正半轴的交点,将锐角α的终边OA按逆时针方向旋转到OB．
(1）若A的坐标为（，)，求点B的横坐标；
（2）求｜BC|的取值范围．
21．已知向量=（sinx，sinx），=（sinx，﹣cosx），设函数f（x)=•，若函数g（x）的图象与f(x）的图象关于坐标原点对称．
(1）求函数g(x）在区间［﹣,]上的最大值，并求出此时x的取值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边,若f(﹣)+g（+）=﹣，
b+c=7，bc=8，求边a的长．
(n∈N＊）．
22．已知S n为数列{a n}的前n项和,且有a1=1,S n+1=a n
+1
（1）求数列{a n｝的通项a n；
(2）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n;
(3）设c k=，｛c k｝的前n项和为A n，是否存在最小正整数m，使得不等式
A n＜m对任意正整数n恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
2015—2016学年辽宁省葫芦岛市普通高中高一（下）期
末数学试卷（理科)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．sin750°的值为（）
A．B．C． D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】原式利用诱导公式化简，计算即可得到结果．
【解答】解:sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=．
故选:D．
2．在等比数列｛a n｝中，a1=，q=，a n=，则项数n为(）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】根据等比数列的通项公式建立等式关系，然后根据指数函数的单调性解指数方程即可求出项数n．
【解答】解：∵{a n｝是等比数列
∴=a1q n﹣1=×==
解得：n=5
故选C．
3．已知向量=（1,2），=（3，1），则﹣=（)
A．（﹣2，1) B．(2，﹣1）C．（2，0) D．（4，3）
【考点】平面向量的坐标运算；向量的减法及其几何意义．
【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可．
【解答】解：∵向量=（1，2），=(3，1），
∴﹣=（2，﹣1）
故选:B．
4．在△ABC中，a=3，b=5,sinA=,则sinB=（）
A．B．C．D．1
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理列出关系式，将a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值．
【解答】解：∵a=3，b=5，sinA=，
∴由正弦定理得:sinB===．
故选B
5．已知α为第二象限角，且，则tan（π+α）的值是()
A．B．C． D．
【考点】诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系．
【分析】由α为第二象限角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出tanα的值，原式利用诱导公式化简，将tanα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵α为第二象限角，sinα=，
∴cosα=﹣=﹣,
∴tanα==﹣，
则tan(π+α）=tanα=﹣．
故选D
6．在递减数列{a n｝中，a n=﹣2n2+λn，求实数λ的取值范围是(）
A．（﹣∞，2）B．(﹣∞，3）C．（﹣∞,4) D．（﹣∞，6）
【考点】数列的函数特性．
＜a n,化简利用数列的单调性即可得出．
【分析】由数列{a n}是递减数列，可得a n
+1
＜a n，
【解答】解:∵数列｛a n}是递减数列，∴a n
+1
∴﹣2（n+1）2+λ（n+1）＜﹣2n2+λn,
化为:λ＜4n+2，
∵数列{4n+2｝为单调递增数列,
∴λ＜6，
∴实数λ的取值范围是(﹣∞，6)．
故选:D．
7．若D点在三角形ABC的边BC上，且=4=γ+s，则3γ+s的值为（）
A．B．C．D．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】可作图，根据便可得到，而由条件，这样
根据平面向量基本定理便可得出r，s的值,从而求出3r+s的值．
【解答】解：如图，
；
∴;
又；
∴；
∴．
故选：C．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a、b、c,其中A=120°,b=1，且△ABC的面积
为，则=（）
A． B．C．2D．2
【考点】正弦定理．
【分析】利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinA与b的值,以及已知面积代入求出c的长，再由b,c及cosA的值，利用余弦定理求出a的长，由a与sinA的值，利用正弦定理求出三角形外接圆的半径R，利用正弦定理及比例的性质即可求出所求式子的值．
=bcsin120°=，即c×=，
【解答】解：∵S
△ABC
∴c=4，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccos120°=21,
解得：a=,
∵，
∴2R===2,
则=2R=2．
故选：D．
9．已知a n=log
（n+2）(n∈N*）．我们把使乘积a1•a2•a3•…•a n为整数的数n叫做“优数”，（n+1)
则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（）
A．1024 B．2003 C．2026 D．2048
【考点】对数的运算性质．
（n+2)代入a1•a2…a n并且化简，转化【分析】根据换底公式，把a n=log(n
+1）
为log2（n+2），
由log2(n+2)为整数,即n+2=2m，m∈N*，令m=1，2,3，…，10，可求得区间[1,2004]内的所有优数的和．
【解答】解:由换底公式：．
∴a1•a2•a3•…•a n
=log23•log34…log(n
（n+2）
+1）
=
==log2(n+2)，
∵log2（n+2）为整数,
∴n+2=2m，m∈N＊．
n分别可取22﹣2，23﹣2，24﹣2，最大值2m﹣2≤2004，m最大可取10,
故和为22+23++210﹣18=2026．
故选：C．
10．函数f（x）=lgsin(﹣2x）的一个增区间是（）
A．（，）B．(，）C．（，）D．（﹣,﹣）【考点】复合函数的单调性．
【分析】函数y=lgsin（﹣2x)=lg[﹣sin（2x﹣)］，令t=sin(2x﹣）,则有y=lg(﹣t），
本题即求函数t在满足t＜0时的减区间．令2kπ+π＜2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得结论．
【解答】解：∵函数y=lgsin(﹣2x)=lg[﹣sin（2x﹣)］,令t=sin（2x﹣)，则有y=lg （﹣t)，
故本题即求函数t在满足t＜0时的减区间．
令2kπ+π＜2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ+＜x≤kπ+，
故函数t在满足t＜0时的减区间为（kπ+，kπ+］，k∈z，
所以函数y=lgsin（﹣2x)的一个单调递增区间为(,）．
故选：C．
11．已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b+c=，则角A为（）
A．B．C．D．
【考点】余弦定理．
【分析】根据G为三角形重心，化简已知等式，用c表示出a与b，再利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a与b代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．
【解答】解：∵△ABC的重心为G，
∴++=,即+=﹣，
∵a+b+c=，
∴(a﹣c）+（b﹣c）=，
∴a﹣c=0，b﹣c=0，即a=c，b=c，
∴cosA===，
则A=．
故选：A．
12．在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB，AD的长分别为2，1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足=,则•的取值范围是（）
A．［1，4］B．[2，5]C．[2，4]D．［1，5]
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】画出图形，建立直角坐标系,利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2,0），A（0，0），
D（，)，设==λ，λ∈[0，1］,则M（2+,），N（﹣2λ，）,
所以=(2+,)•（﹣2λ，）=5﹣4λ+λ﹣λ2+λ=﹣λ2﹣2λ+5，
因为λ∈[0，1],二次函数的对称轴为：λ=﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈［2，5]．故选:B．
二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在△ABC中，a=5,b=8,C=60°，则的值为20．
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．
【分析】根据向量数量积的定义，结合题中数据加以计算,即可得到的值为20．【解答】解：∵在△ABC中，=a=5,=b=8，
∴根据向量数量积的定义,得
=•cos∠C=5×8×cos60°=20
故答案为：20
14．设S n为等差数列｛a n｝的前n项和，已知S5=5，S9=27，则S7=14．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：∵数列｛a n｝是等差数列，S5=5，S9=27，
∴,
解得．
∴S7==﹣7+21=14．
故答案为：14．
15．已知tanβ=，sin（α+β）=,且α，β∈（0,π），则sinα的值为．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】求得sinβ和cosβ的值，根据已知条件判断出α+β的范围，进而求得cos（α+β）的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．
【解答】解：∵α，β∈（0，π),tanβ=,sin（α+β）=，
∴sinβ=，cosβ=，0＜β＜，
∴0＜α+β＜，
∵0＜sin （α+β)=＜,
∴0＜α+β＜
,或
＜α+β＜π，
∵tan β=＞1， ∴＞β＞
，
∴
＜α+β＜π,
∴cos （α+β）=﹣
=﹣
，
∴sin α=sin （α+β﹣β）=sin(α+β)cos β﹣cos(α+β）sin β=×+
×=
．
故答案为：
．
16．已知数列｛a n }满足a n +1=2a n +3×5n ，a 1=6，则数列{a n }的通项公式为 a n =2n ﹣1+5n ． 【考点】数列递推式．
【分析】由a n +1=2a n +3×5n ，变形为a n +1﹣5n +1=2(a n ﹣5n ），利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵a n +1=2a n +3×5n ，变形为a n +1﹣5n +1=2(a n ﹣5n ）， ∴数列{a n ﹣5n ｝是等比数列，首项为1,公比为2． ∴a n ﹣5n =2n ﹣1．即a n =5n +2n ﹣1． 故答案为：a n =5n +2n ﹣1．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知函数f （x ）=sin2x +cos2x ． （1）求函数f （x ）的最小正周期和最值； （2）求函数f （x)的单调递增区间．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象． 【分析】（1）利用两角和公式对函数解析式化简整理，利用周期公式求得最小正周期T 和函数的最大和最小值．
（2）利用三角函数的图象和性质求得函数的单调增区间． 【解答】解：（1）f （x ）=sin2x +cos2x=2(sin2xcos
+cos2xsin
)=2sin(2x +
）
∴T==π, 当2x +=2k π+，k ∈Z ，即x=+k π，k ∈Z 时，函数取得最大值2． 当2x +
=2k π﹣
,即x=k π﹣
，k ∈Z 时,函数取得最小值﹣2．
（2）当2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z时，即kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z，函数单调
增，
∴f（x）的单调递增区间为:［kπ﹣，kπ+］，k∈Z．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b,c，已知a+b﹣5，c=，且4sin2﹣cos2C=．
（1)求角C的大小;
（2）求△ABC的面积．
【考点】解三角形；二倍角的余弦；余弦定理．
【分析】(1)由三角形的内角和定理及诱导公式化简已知的等式，
再根据二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后得到关于cosC的方程，求出方程的解得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数;
（2）利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，再根据完全平方公式变形后，将a+b，c及cosC的值代入求出ab的值，然后再由ab，sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】解：(1)∵A+B+C=180°,
∴=90°﹣，
由得：，
∴，
整理得：4cos2C﹣4cosC+1=0，
解得：,
∵0°＜C＜180°，
∴C=60°;
(2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab,
∴7=(a+b）2﹣3ab=25﹣3ab⇔ab=6，
∴．
19．已知数列｛a n}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．
(Ⅰ）求数列｛a n}的通项公式；
(Ⅱ）设b n=，求数列{b n｝的前n项和S n．
【考点】数列的求和;等比数列的通项公式．
【分析】（Ⅰ）设出数列｛a n}的公差,由已知条件列式求出公差,则数列｛a n}的通项公式可求;
(Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入b n=，整理后利用裂项相消法求数列｛b n}的前
n项和S n．
【解答】解：（Ⅰ）设数列｛a n｝的公差为d，由a1=2和a2，a3,a4+1成等比数列，得
(2+2d）2﹣（2+d）(3+3d），解得d=2，或d=﹣1，
当d=﹣1时，a3=0，与a2,a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去．
∴d=2，
∴a n=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n．
即数列｛a n}的通项公式a n=2n；
（Ⅱ)由a n=2n，得
b n==，
∴S n=b1+b2+b3+…+b n
==．
20．如图，点A，B是单位圆O上的两点，点C是圆O与x轴正半轴的交点，将锐角α的终边OA按逆时针方向旋转到OB．
(1）若A的坐标为（，）,求点B的横坐标；
（2）求｜BC|的取值范围．
【考点】任意角的三角函数的定义；三角函数线．
【分析】（1）利用三角函数的定义可得cosα=，sinα=，∠COB=α+，利用两角和的余弦可求得cos（α+）=,从而可得点B的横坐标;
（2)先求|BC｜2=2﹣2cos(α+）的取值范围,再开方即可求得|BC｜的取值范围．
【解答】解：(1）由于A的坐标为(，),由三角函数的定义知,cosα=，sinα=…2分
又∠COB=α+,
∴cos(α+）=cosαcos﹣sinαsin=…5分
∴点B的横坐标为…6分
（2)｜BC|2=2﹣2cos（α+)…9分
∵0＜α＜，故＜α+＜,
∴cos(α+）∈（﹣,﹣）,
∴｜BC｜2∈（1，2+）,
∴|BC|∈(1,）…12分
21．已知向量=（sinx，sinx），=（sinx,﹣cosx），设函数f（x）=•，若函数g(x)的图象与f（x）的图象关于坐标原点对称．
（1)求函数g(x）在区间[﹣,］上的最大值,并求出此时x的取值;
（2）在△ABC中，a，b,c分别是角A，B,C的对边，若f（﹣）+g（+）=﹣，
b+c=7，bc=8，求边a的长．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算;正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由向量的数量积运算求得f(x）的解析式,化简后取x=﹣x，y=﹣y求得g(x）
的解析式，则函数g(x）在区间上的最大值及取得最大值时的x的值可求；（Ⅱ）由求得角A的正弦值，利用同角三角函数的基本关系求得角A的余弦值，在利用余弦定理求边a的长．
【解答】解:（Ⅰ)由向量，且，得，，
∴．
∵，
∴，
∴当，即时，
函数g(x）在区间上的最大值为；
（Ⅱ)∵，，
由,得
,
∴．
又∵0＜A ＜π，解得：或， 由题意知：bc=8，b +c=7，
∴a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b +c ）2﹣2bc （1+cosA ）=33﹣16cosA ，
则a 2=25或a 2=41，
故所求边a 的长为5或．
22．已知S n 为数列｛a n ｝的前n 项和,且有a 1=1，S n +1=a n +1(n ∈N *)．
（1）求数列｛a n ｝的通项a n ;
（2)若b n =
，求数列｛b n ｝的前n 项和T n ； （3）设c k =，｛c k }的前n 项和为A n ,是否存在最小正整数m ，使得不等式A n ＜m 对任意正整数n 恒成立?若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
【考点】数列的求和．
【分析】(1）在数列递推式中取n=n ﹣1得另一递推式，作差后即可证得数列为等比数列，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把数列｛a n ｝的通项代入b n =
,然后利用错位相减法求数列｛b n }的前n 项和T n ； （3）把S k ，T k 代入c k =
，整理后利用裂项相消法化简,放缩后可证得数列不
等式．
【解答】（1）当n=1时，a 2=S 1+1=a 1+1=2；
当n ≥2时，S n +1=a n +1，S n ﹣1+1=a n ，相减得a n +1=2a n ,
又a 2=2a 1，
｛a n ｝是首项为1，公比为2的等比数列, ∴
； (2）由(1）知
， ∴
， ∴, ， 两式相减得=，
∴；
(3)C K==
=．
∴==．
若不等式∴＜m对任意正整数n恒成立，则m≥2,
∴存在最小正整数m=2，使不等式∴＜m对任意正整数n恒成立．…
2016年10月9日。