高三数学导数专题例题及知识点总结

高
三数学导数专题例题及知识点总结
一、导数的基本应用
（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值
基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值 基本方法： 一般通法：利用导函数研究法 特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法
【例题1】已知函数22()(1)x b f x x -=
-，求导函数22()(1)x b f x x -=-，并确定2
2()(1)x b
f x x -=-的单调区间．
解：
22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b
f x x -=
-． 令22()(1)x b f x x -=-，得2
2()(1)x b
f x x -=-．
当
22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-，所以函数22()(1)x b
f x x -=
-在22()(1)x b f x x -=-和22()(1)x b
f x x -=
-上单调递减． 当
22()(1)x b f x x -=
-，即22()(1)x b f x x -=-2
2()(1)x b
f x x -=
-
当
22()(1)x b f x x -=
-，即2()(1)f x x =-2()(1)f x x =
-
所以，
22()(1)x b f x x -=
-时，函数2()(1)f x x =-在2()(1)f x x =-和2()(1)b
f x x =
-上单调递减，在
22()(1)x b
f x x -=
-上单调递增，
22()(1)x b f x x -=-时，函数22()(1)x b
f x x -=-在22()(1)x b
f x x -=
-和22()(1)x b
f x x -=
-上单调递减． 22()(1)x b f x x -=-时，函数2
2()(1)x b
f x x -=-在
2
2()(1)x b
f x x -=-和22()(1)x b
f x x -=-上单调递减，在
22()(1)x b
f x x -=
-上单调递增．
【例题2】已知函数22()(1)x b f x x -=
-的图象过点22()(1)x b f x x -=-，且函数2
2()(1)x b
f x x -=-的图象关于y 轴对称.（Ⅰ）求
22()(1)x b f x x -=-的值及函数22()(1)x b f x x -=-的单调区间；（Ⅱ）若22()(1)x b
f x x -=
-，求函数22()(1)x b f x x -=
-在区间2
2()(1)x b f x x -=-内的极值.
解：（Ⅰ）由函数
22()(1)x b f x x -=-图象过点22()(1)x b f x x -=-，得22()(1)x b
f x x -=
-，……… ① 由22()(1)x b f x x -=-，得22()(1)x b f x x -=-，则2
2()(1)x b
f x x -=-； 而
22()(1)x b f x x -=-图象关于2
2()(1)x b
f x x -=-轴对称，所以－22()(1)x b f x x -=-，所以22()(1)x b
f x x -=
-，
代入①得 22()(1)x b f x x -=-.于是2
2()(1)x b
f x x -=-. 由22()(1)x b f x x -=-得22()(1)x b f x x -=-或2
2()(1)x b
f x x -=-，故22()(1)x b
f x x -=-的单调递增区间是
22()(1)x b f x x -=
-，22()(1)x b
f x x -=
-； 由
22()(1)x b f x x -=-得22()(1)x b f x x -=-，故2
2()(1)x b
f x x -=-的单调递减区间是22()(1)x b
f x x -=-. （Ⅱ）由（Ⅰ）得22()(1)x b f x x -=-，令22()(1)x b f x x -=-得2
2()(1)x b
f x x -=-或22()(1)x b f x x -=-.
当
22()(1)x b f x x -=
-22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b
f x x -=
-
由此可得：当22()(1)x b f x x -=
-时，22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-内有极大值22()(1)x b
f x x -=
-，无极小
值；
当2
2()(1)x b
f x x -=
-时，22()(1)x b
f x x -=-在22()(1)x b
f x x -=
-内无极值； 当
2
2()(1)x b
f x x -=-时，2
2()(1)x b
f x x -=-在
22()(1)x b f x x -=-内有极小值22()(1)x b
f x x -=
-，无极大值；
当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-在2
2()(1)x b
f x x -=-内无极值.
综上所述，当
22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-有极大值22()(1)x b
f x x -=
-，无极小值；当22()(1)x b
f x x -=
-时，22()(1)x b f x x -=
-有极小值22()(1)x b f x x -=-，无极大值；当22()(1)x b
f x x -=
-或2
2()(1)x b
f x x -=-时，22()(1)x b
f x x -=-无极值.
点评：本题是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数
自变量的研究范围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平.
【例题3】已知函数
22()(1)x b
f x x -=
-，a ＞0，
(I)讨论2
2()(1)x b
f x x -=
-的单调性;
(II)设a=3，求
22()(1)x b f x x -=-在区间[1，22()(1)x b
f x x -=
-]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数.
解：（Ⅰ）由于22()(1)x b f x x -=
-,令22()(1)x b f x x -=-得2
2()(1)x b
f x x -=-
① 当
22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-恒成立，∴22()(1)x b
f x x -=
-在22()(1)x b
f x x -=
-上都是增函数.
② 当22()(1)x b f x x -=
-，即2
2()(1)x b
f x x -=-时， 由22()(1)x b f x x -=-得22()(1)x b f x x -=-或2
2()(1)x b
f x x -=- ∴22()(1)x b f x x -=-或22()(1)x b f x x -=-或2
2()(1)x b
f x x -=-
又由2
2()(1)x b f x x -=-
得t <
，∴x <
综上,当22()(1)x b f x x -=
-22()(1)x b f x x -=-在2
2()(1)x b
f x x -=-上都是增函数； 当22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-及2
2()(1)x b
f x x -=-上都是增函数，
在
22()(1)x b
f x x -=
-是减函数. （2）当22()(1)x b f x x -=-时，由（1）知，22()(1)x b f x x -=-在[1，2]上是减函数，在[2
2()(1)x b
f x x -=-上是增函数.
又
22()(1)x b f x x -=
- ∴函数22()(1)x b f x x -=-在区间[1，22()(1)x b f x x -=-]上的值域为2
2()(1)x b
f x x -=-. 点评：
（1）第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数
技巧；
（2）第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简单，是一个承上启下的过渡性问题. （二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围
基本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值范围 基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等
【例题4】已知函数22()(1)x b f x x -=-的图象在与2
2()(1)x b f x x -=-轴交点处的切线方程是22()(1)x b f x x -=-.
（I ）求函数22()(1)x b
f x x -=
-的解析式；
（II ）设函数22()(1)
x b f x x -=-，若
22()(1)x b f x x -=
-的极值存在，求实数22()(1)x b f x x -=-的取值范围以及函数22()(1)x b f x x -=
-取得极值时对应的自变量22()(1)x b f x x -=-的值. 解：（I ）由已知,切点为(2,0),故有22()(1)x b f x x -=
-,即
22()(1)x b f x x -=- ……①
又22()(1)x b f x x -=-，由已知22()(1)x b f x x -=
-得22()(1)x b f x x -=-……② 联立①②，解得22()(1)x b f x x -=
-.所以函数的解析式为22()(1)x b f x x -=
-
（II ）因为22()(1)x b f x x -=- 令2
2()(1)x b
f x x -=-
当函数有极值时，方程22()(1)
x b f x x -=-有实数解.则
22()(1)x b f x x -=
-，得22()(1)x b f x x -=-. ①当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=
-有实数22()(1)x b f x x -=
-，在2
2()(1)x b f x x -=-左右两侧均有
22()(1)x b f x x -=
-，故22()(1)x b
f x x -=
-无极值
②当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-有两个实数根2
2()
(1)
x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-情况如下表： 所以在22()(1)x b f x x -=-时，函数2()(1)f x x =-有极值；
当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-有极大值；当22()(1)x b f x x -=-时，
22()(1)x b
f x x -=
-有极小值； 点评：
（1） 本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.
（2） 本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大.
【例题5】 设22()(1)x b f x x -=
-，函数2
2()(1)x b
f x x -=-． （Ⅰ）若
22()(1)x b f x x -=-是函数22()(1)x b f x x -=-的极值点，求22()(1)x b
f x x -=
-的值； （Ⅱ）若函数22()(1)x b f x x -=-，在22()(1)x b f x x -=-处取得最大值，求2
2()(1)x b
f x x -=-的取值范围．
解：（Ⅰ）2
()363(2)f xa xx x a x '=-=-．
因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =．
经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点． （Ⅱ） 由题设，3222
()336(3)3(2)g x a x x a x x a x x x x =-+-=+-+．
当()g x 在区间[02]，
上的最大值为(0)g 时， (0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得
6
5a ≤
反之，当6
5a ≤
时，对任意[02]x ∈，， 2
6()(3)3(2)5
gx x x xx +-+≤23(210)5x x x =+-3(25)(2)
5x x x =+-0≤， 而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，
上的最大值为(0)g ． 综上，a 的取值范围为65⎛
⎤-∞
⎥⎝
⎦，． 点评：
（1） 本题是求函数最值的逆向问题，答案所用的解法是一种比较特殊的方法，具有一定的思维难度.
（2） 本题若用一般方法，则可求出g(0)=0，将问题转化为g(x)≤0的恒成立问题，此种解法的计算量将有
所加大.
（三）导数的几何意义
【例题6】设函数
22()(1)x b f x x -=
-，曲线22()(1)x b f x x -=-在点22()(1)x b
f x x -=
-处的切线方程为
22()(1)x b
f x x -=
-.
（Ⅰ）求2
2()(1)x b
f x x -=
-的解析式；
（Ⅱ）证明：曲线22()(1)x b f x x -=-上任一点处的切线与直线22()(1)x b f x x -=-和直线2
2()(1)x b
f x x -=-所
围成的三角形面积为定值，并求此定值.
解：（Ⅰ）方程22()(1)x b f x x -=
-可化为22()(1)x b f x x -=-，当22()(1)x b f x x -=-时，2
2()(1)x b
f x x -=-；
又22()(1)x b f x x -=-，于是22()(1)x b f x x -=-，解得22()(1)x b f x x -=-， 故2
2()(1)x b
f x x -=-
（Ⅱ）设22()(1)x b f x x -=
-为曲线上任一点，由22()(1)x b f x x -=-知曲线在点2
2()(1)x b
f x x -=-处的切线方程为
22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x b
f x x -=
-
令
2
2()(1)x b
f x x -=
-，得2
2()(1)x b
f x x -=-，从而得切线与直线2
2()(1)x b
f x x -=-的交点坐标为22()(1)x b f x x -=-； 令2
2()(1)x b
f x x -=-，得22()(1)x b
f x x -=-，从而得切线与直线
22()(1)x b
f x x -=
-的交点坐标为
22()(1)x b f x x -=
-；
所以点22()(1)x b f x x -=
-处的切线与直线22()(1)x b f x x -=-所围成的三角形面积为2
2()(1)x b
f x x -=-； 故曲线
22()(1)x b f x x -=-上任一点处的切线与直线22()(1)x b
f x x -=
-所围成的三角形面积为定值6. 二、导数应用的变式与转化
（一）函数的零点存在与分布问题
问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围 基本方法： 通性通法：函数最值控制法
特殊方法：（1）二次函数判别式法；（2）零点存在性定理
二次函数 （2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平； （3） 研究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值（最值）控制法，为三次函数零点
分布研究做方法上的铺垫. 【例题7】设函数2
2()(1)x b
f x x -=
-．
（1）略；（2）若方程
22()(1)x b f x x -=
-有且仅有一个实根，求
22()(1)x b f x x -=
-的取值范围.
解：因为 当
22()(1)x b f x x -=
-时, 22()(1)x b f x x -=-;当22()(1)x b f x x -=-时, 22()(1)x b f x x -=-;当
22()(1)x b f x x -=
-时, 22()(1)x b f x x -=
-;
所以 当22()(1)x b f x x -=-时,22()(1)
x b f x x -=-取极大值 2
2()(1)x b f x x -=-; 当2
2()(1)x b f x x -=-时,22()(1)x b f x x -=-取极小值 22()(1)x b f x x -=-; 故当22()(1)x b f x x -=- 或22()(1)x b f x x -=-时, 方程22()(1)x b f x x -=
-仅有一个实根. 解得
22()(1)x b f x x -=-或2
2()(1)x b
f x x -=-.
点评：本题是零点问题的方程形式，用函数最值控制法解答，属于本类问题的原型题.
【例题8】已知二次函数22()(1)x b f x x -=
-的导函数的图像与直线22()(1)x b f x x -=-平行，且2
2()(1)x b
f x x -=
-在22()(1)x b f x x -=-=－1处取得最小值m －1(m 22()(1)x b
f x x -=-).设函数22()(1)x b
f x x -=-
（1）若曲线22()(1)x b f x x -=
-上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为
22()(1)x b f x x -=-,求m 的值； （2）22()(1)x b f x x -=
-如何取值时,函数22()(1)x b
f x x -=
-存在零点,并求出零点.
解：（1）设22()(1)x b f x x -=-，则22()(1)x b
f x x -=
-；
又22()(1)
x b f x x -=-的图像与直线22()(1)x b f x x -=-平行 22()(1)x b f x x -=-，解得22()(1)x b f x x -=- 又22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-取极小值，∴22()(1)
x b f x x -=-，解得2
2()(1)x b f x x -=- 22()(1)x b f x x -=-，解得2
2()(1)x b f x x -=-；所以22()(1)x b f x x -=-， 设22()(1)x b
f x x -=-，则2
2()(1)
x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=- 22()(1)x b
f x x -=-,解得2
2()(1)x b
f x x -=-；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）由22()(1)
x b f x x -=-，得22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=- 当
2
2()(1)x b f x x -=
-时，方程22()(1)x b f x x -=-有一解22()(1)x b f x x -=-，函数22()(1)x b f x x -=-有一零点
2
2()(1)x b
f x x -=
-；
当2
2()(1)x b f x x -=-时，方程22()(1)x b f x x -=-有二解22()(1)x b f x x -=-，
若22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-有两个零点22()(1)x b f x x -=-； 若22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-有两个零点2
2()(1)x b f x x -=-； 当2
2()(1)x b f x x -=-时，方程22()(1)x b f x x -=-有一解22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x b f x x -=-,2
2()(1)x b f x x -=-有一零点22()(1)x b
f x x -=-
点评：
（1） 本题第一问是涉及均值定理的最值问题，题目计算量中等，思维难度不大；
（2） 第二问涉及到的函数为二次函数，故而用含参二次方程的根系关系研究根的分布问题，是本部分
的原型问题和重点问题.
【例题9】已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222
，如果函数()x f y =在区间[
]1,1-上有零点，求a 的取值范围.
解：若0a = , ()23fx x =- ,显然函数在[
]1,1-上没有零点. 若0a ≠，令
()
2
48382440a a a a ∆=++=++=, 解得
a =
①当
a =
时,
()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即
15
a <<时，
()y f x =在
[]1,1-上也恰有一个零点.
③当
()
y f x =在
[]1,1-上有两个零点时, 则
()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或 ()()20824401
1121010a a a a f f <⎧
⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨
⎪≤⎪
⎪
-≤⎩
解得5a ≥
或
a <
，综上，所求实数a 的取值范围是1a >
或a ≤.
点评：本题以
二次函数为载体，设定在区间范围上的零点存在性问题，解答时依零点个数进行分类讨论，涉及到含参二次方程根的分布研究、零点存在性定理. 是原型问题和重点题.
【例题10】已知函数32
()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (
,)ab ∈R ． （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围．
解：（Ⅱ）函数22()(1)x b f x x -=
-在区间22()(1)x b
f x x -=
-不单调，等价于
导函数22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b
f x x -=
-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数
即函数22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b
f x x -=
-上存在零点，根据零点存在定理，有
22()(1)x b f x x -=-，即：22()(1)x b
f x x -=
-
整理得：22()(1)x b f x x -=
-，解得
22()(1)x b f x x -=-
三次函数
（2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；
（3） 本组题旨在加深对二次函数、三次函数零点分布问题的认识，进而深化对导数方法、极值、最值
的理解. 【例题11】已知函数
22()(1)x b f x x -=
-
（I ）求22()(1)x b
f x x -=
-的单调区间；
（II ）若22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-处取得极值，直线y=m 与22()(1)x b f x x -=-的图象有三个不同的
交点，
求m 的取值范围. 解：（1）
22()(1)x b f x x -=
-
当
2
2()(1)x b
f x x -=
-时，对22()(1)x b f x x -=-，有22()(1)x b f x x -=-所以22()(1)x b
f x x -=
-的单调增区间为
22()(1)x b
f x x -=
- 当2
2()(1)x b
f x x -=-时，由22()(1)x b f x x -=-解得22()(1)x b f x x -=-或22()(1)x b f x x -=-，由22()(1)x b
f x x -=
-解
得
22()(1)x b
f x x -=
-，
所以22()(1)x b f x x -=
-的单调增区间为22()(1)x b f x x -=-，单调减区间为22()(1)x b
f x x -=
-.
（2）因为22()(1)x b f x x -=
-在
22()(1)x b f x x -=-处取得极大值， 所以22()(1)x b
f x x -=-
所以22()(1)x b
f x x -=-
由2
2()(1)x b f x x -=
-解得22()(1)x b
f x x -=-.
由（1）中22()(1)x b
f x x -=
-的单调性可知，
22()(1)x b f x x -=
-在
22()(1)x b f x x -=-处取得极大值1，在22()(1)x b f x x -=-处取得极小值-3. 因为直线22()(1)x b f x x -=-与函数22()(1)x b
f x x -=
-的图象有三个不同的交点，
所以2
2()(1)x b f x x -=-的取值范围是22()(1)x b f x x -=-. 点评：
（1） 本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系； （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；
（3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，
以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质.
（二）不等式恒成立与存在解问题
问题设置：当不等关系在某个区间范围内恒成立或存在解为条件，求参数的取值范围 基本思路：转化为函数最值与参数之间的不等关系问题 基本方法： 通性通法：变量分离法、变量转换、最值控制法
特殊方法：二次函数判别式法、二次函数根的分布研究
【例题12】设函数2
2()(1)x b
f x x -=
-为实数.
（Ⅱ）若22()(1)x b f x x -=-对任意22()(1)x b f x x -=-都成立，求实数2
2()(1)x b
f x x -=-的取值范围.
解：法一（变量转换，最值控制法）：223(1)1a x x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立.
即22
(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立
设22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈，则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈
所以对任意(0,)a ∈+∞，()0ga >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥. 即 2
20x x --≥，20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是
}{|20x x -≤≤
法二（变量分离法）：由题设知：22
3(1)1a x x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，
即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立.
于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22202x x
x +≤+.解得x 的取值范围是}{|20x x -≤≤.
点评：变量分离法可以任何一个变量分离出来，例如本题也可以求出二次方程的根，这样就是将变量x 分离出来了，但过程较复杂，不宜在此处选用.
【例题13】已知定义在正实数集上的函数22()(1)x b f x x -=
-，2
2()(1)x b
f x x -=-，其中
22()(1)x b f x x -=-．设两曲线22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b
f x x -=
-有公共点，且在该点处的切线相同．
（I ）用
22()(1)x b f x x -=
-表示22()(1)x b f x x -=-，并求22()(1)x b f x x -=-的最大值；（II ）求证：f(x )≥
g(x)，其中x > 0． 解：（Ⅰ）设22()(1)x b f x x -=
-与22()(1)x b f x x -=-在公共点22()(1)x b f x x -=-处的切线相同．
22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-，由题意22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-． 即22()(1)x b f x x -=-由22()(1)x b f x x -=-得：22()(1)x b f x x -=-，或22()(1)x b f x x -=-（舍去）． 即有
22()(1)x b
f x x -=
-． 令22()(1)x b f x x -=-，则22()(1)x b f x x -=-． 于是当
22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-；当22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-． 故
22()(1)x b f x x -=
-在22()(1)x b f x x -=-为增函数，在22()(1)x b f x x -=-为减函数， 于是22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-的最大值为
22()(1)x b f x x -=-． （Ⅱ）设22()(1)x b f x x -=-， 则22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-． 故22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-为减函数，在22()(1)x b f x x -=-为增函数， 于是函数22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-上的最小值是22()(1)x b f x x -=-． 故当
22()(1)x b f x x -=
-时，有22()(1)x b f x x -=-，即当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-．
点评：
（1） 本题以曲线的切线问题的载体，在第一问中考查了函数最值的求法；
（2） 第二问是恒成立问题的应用.两函数比较大小通过相减构造新函数运用导数知识
（三）“零点存在与分布问题”与“恒成立、存在解问题”之间的关系
（1） 研究对象的本质相同，因此解题方向一致：函数的极值或最值控制是解决这两类问题的通性通法，
针对特殊类型的函数，如二次函数，又都可以用相应的函数性质进行研究；
（2） 研究对象的载体不同，因此解题方法不同：前者是函数与其所对应的方程之间关系的问题，后者是
函数与其所对应的不等式之间关系的问题；
（3）原型问题是根本，转化命题是关键：二者都可以进一步衍生出其他形式的问题，因此往往需要先将
题目所涉及的问题转化为原型问题，然后利用通性通法加以解决，在转化过程中应注意命题的等价
性.
【例题14】设函数2
2()(1)x b f x x -=- （Ⅰ）略；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值； （Ⅲ）已知函数22()(1)x b f x x -=
-有三个互不相同的零点0，22()(1)x b f x x -=-，且22()(1)x b f x x -=-.若对任意的22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-恒成立，求m 的取值范围.
解：（2）22()(1)x b f x x -=-，令22()(1)x b f x x -=-，得到22()(1)x b f x x -=- 因为22()(1)x b f x x -=-，当x 变化时，22()(1)x b f x x -=-的变化情况如下表：
22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=- 22()(1)x b f x x -=-2
2()(1)x b f x x -=-2
2()(1)x b f x x -=-+ 0 - 0 + 2
2()(1)x b f x x -=- 极小值 极大值 22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-和22()(1)x b f x x -=-内减函数，在22()(1)x b f x x -=-内增函数. 函数22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-处取得极大值22()(1)x b f x x -=-，且22()(1)x b f x x -=-=2
2()(1)x b f x x -=- 函数22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-处取得极小值22()(1)x b f x x -=-，且22()(1)x b f x x -=-=
2
2()(1)x b f x x -=- （3）解：由题设， 2
2()(1)x b f x x -=- 所以方程22()(1)
x b f x x -=-=0由两个相异的实根22()(1)x b f x x -=-，故22()(1)x b f x x -=-， 且22()(1)x b f x x -=-，解得2
2()(1)x b f x x -=- 因为2
2()(1)x b f x x -=- 若22()(1)
x b f x x -=-，而22()(1)x b f x x -=-，不合题意 若22()(1)x b f x x -=-则对任意的22()(1)x b f x x -=-有22()(1)x b f x x -=-
则22()(1)x b f x x -=-又22()(1)x b f x x -=-，所以函数22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-的最小值为0，于是对任意的22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-恒成立的充要条件是22()(1)x b f x x -=-,解得2
2()(1)x b f x x -=- w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
综上，m 的取值范围是2
2()(1)x b f x x -=
- 四、其它形式的问题 【例题15】设函数
22()(1)x b f x x -=
-其中实数22()(1)x b f x x -=-． （Ⅰ）若22()(1)x b f x x -=-，求函数22()(1)x b f x x -=-的单调区间； （Ⅱ）当函数
22()(1)x b f x x -=
-与22()(1)x b f x x -=-的图象只有一个公共点且22()(1)x b f x x -=-存在最小值时，记22()(1)x b
f x x -=
-
的最小值为22()(1)x b f x x -=-，求22()(1)x b f x x -=-的值域；
（Ⅲ）若22()(1)x b f x x -=-与22()(1)x b f x x -=-在区间22()(1)x b f x x -=-内均为增函数，求22()(1)x b f x x -=-的取值范围． 解：（Ⅰ）22()(1)x b f x x -=- 22()(1)x b f x x -=-，又22()(1)x b f x x -=-，
22()(1)x b f x x -=- 当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-；当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-，
22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-和22()(1)x b f x x -=-内是增函数，在
22()(1)x b
f x x -=
-内是减函数．
（Ⅱ）由题意知 22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x b f x x -=-恰有一根（含重根）．
22()(1)x b f x x -=- 22()(1)x b f x x -=-≤22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x b f x x -=-≤22()(1)x b f x x -=-≤22()(1)x b f x x -=-，又22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=- 22()(1)x b f x x -=-． 当
22()(1)x b f x x -=
-时，22()(1)x b f x x -=-才存在最小值，22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-． 22()(1)x b f x x -=- 22()(1)x b f x x -=-，∴22()(1)x b f x x -=-.∴22()(1)x b f x x -=-的值域为22()(1)x b f x x -=-． （Ⅲ）当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-和22()(1)x b f x x -=-内是增函数，22()(1)x b f x x -=
-在22()(1)x b f x x -=-内是增函数． 由题意得
22()(1)x b f x x -=-，解得22()(1)x b f x x -=-≥22()(1)x b f x x -=-； 当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-和22()(1)x b f x x -=-内是增函数，
22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-内是增函数． 由题意得22()(1)x b f x x -=
-，解得22()(1)x b f x x -=-≤22()(1)x b f x x -=-； 综上可知，实数
22()(1)x b f x x -=-的取值范围为22()(1)x b f x x -=-． 【例题16】已知函数22()(1)x b f x x -=-有三个极值点. （I ）证明：22()(1)x b f x x -=
-；
（II ）若存在实数c ，使函数
22()(1)x b f x x -=-在区间22()(1)x b f x x -=-上单调递减，求22()(1)x b f x x -=-的取值范围.
解：（I ）因为函数22()(1)x b
f x x -=
-有三个极值点， 所以22()(1)x b f x x -=-有三个互异的实根.
设
2
(1)
x-则2
(1)
x-
当
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-时，2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-在2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-上为增函数；
当
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-时，2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-在2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-上为减函数；
当
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-时，2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-在2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-上为增函数；
所以函数
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-在2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-时取极大值，在2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-时取极小值.
当
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-或2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-时，2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-最多只有两个不同实根.
因为
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-有三个不同实根，所以2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-且2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-.
即
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-，且2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-，解得2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-且2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-
故
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-.
（II）由（I）的证明可知，当
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-时, 2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-有三个极值点.
不妨设为
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-（2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-），则2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-
所以
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-的单调递减区间是2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-,2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-.
若
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-在区间2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-上单调递减，
则
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-, 或2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-,
若
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-，则2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-.由（I）知，2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-,于是2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-
若
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-,则2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-且2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-.由（I）知，
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-
又
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-当2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-时，2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-；
当
2
(1)
x-时，2
(1)
x-.
因此，当
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-时，2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-所以2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-且2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-
即
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-故2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-或2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-
反之, 当
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-或2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-时，总可找到2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-使函数2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-
在区间
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-上单调递减.
综上所述，
2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-的取值范围是2
2
()
(1)
x b
f x
x
-
=
-。